Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh

Giải Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Video Giải Bài tập 5 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 5 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là $\frac{n(n-3)}{2}$.

Lời giải:

Kí hiệu đường chéo của đa giác n cạnh là C_n.

Ta chứng minh $C_n=\frac{n\left(n-3\right)}{2}$ (1) với mọi  $n\in \mathbb{N}*,n\ge 4$.

Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có 2 đường chéo.

Mặt khác 4(4 − 3) : 2 = 2 nên (1) đúng với n = 4.

Vậy khẳng định đúng với n = 4.

Giả sử (1) đúng với  $n=k\ge 4$, tức là

 $C_k=\frac{k(k-3)}{2}$

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Tức là 

$C_{k+1}=\frac{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)-3\right]}{2}$

Xét đa giác lồi k + 1 cạnh 

Đa giác k cạnh A₁A₂...A_k có $\frac{k\left(k-3\right)}{2}$  đường chéo (giả thiết quy nạp).

Nối A_{k + 1}với các đỉnh A₂,...,A_k−1, ta được thêm k − 2 đường chéo.

Ngoài ra A₁A_k cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là

$$\begin{gathered} \frac{k\left(k-3\right)}{2}+k-2+1 \\ =\frac{k^2-3k}{2}+k-1 \\ =\frac{k^2-3k+2k-2}{2} \\ =\frac{k^2-k-2}{2} \\ =\frac{\left(k+1\right)\left(k-2\right)}{2} \\ =\frac{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)-3\right]}{2} \end{gathered}$$

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh.

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai...

Hoạt động 2 trang 81 SGK Toán lớp 11 Đại số:Chứng minh rằng với $n\in \mathbb{N}*$ thì1+2+3+...+n=$\frac{n(n+1)}{2}$...

Hoạt động 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: So sánh $3^n$với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5...

Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: 2+5+8+...+3n−1=$\frac{n(3n+1)}{2}$...

Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: $n^3$+3$n^2$+5nchia hết cho 3...

Bài tập 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$, ta có các bất đẳng thức...

Bài tập 4 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dự đoán công thức tính tổng $S_n$ và chứng minh bằng quy nạp...

Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học

Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học có đáp án