Chuyên đề Một số phương trình lượng giác thường gặp (2024) và cách giải các dạng bài tập

Chuyên đề Một số phương trình lượng giác thường gặp - Toán 11

A. Lý thuyết tổng hợp

I. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

1. Định nghĩa.

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at + b = 0 (1)

Trong đó; a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

- Ví dụ 1.

a) – 3sinx + 8 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx.

b) 6cotx + 10 = 0 là phương trình bậc nhất đối với cotx.

2. Cách giải

Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

- Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

Lời giải:

a) Từ 2sinx – 4 = 0, chuyển vế ta có: 2sinx = 4 (2)

Chia 2 vế của phương trình (2) cho 2, ta được: sinx = 2.

Vì 2 > 1 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Từ $3\tan x-\sqrt{3}=0$, chuyển vế ta có: $3\tan x=\sqrt{3}$ (3)

Chia cả 2 vế của phương trình (3) cho ta được: $\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$$\begin{gathered} \iff \tan x=\tan \frac{\pi }{6} \\ \iff x=\frac{\pi }{6}+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã được học để đưa về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác hoặc đưa về phương trình tích để giải phương trình.

- Ví dụ 3. Giải các phương trình:

a) sin2x – cosx = 0;

b) – 4sinx. cosx. cos2x = 1.

Lời giải:

a) Ta có: sin2x – cosx = 0

2sinx. cosx – cosx = 0

cosx. (2sinx – 1) = 0

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$; $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ và $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

1. Định nghĩa.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at² + bt + c = 0

Trong đó a; b; c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

- Ví dụ 4.

a) 3cos²x – 5cosx + 2 = 0 là phương trình bậc hai đối với cosx.

b) – 10tan²x + 10tanx = 0 là phương trình bậc hai đối với tanx.

2. Cách giải.

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này.

Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

- Ví dụ 5. Giải phương trình: 2cos²x – 4 cosx = 0.

Lời giải:

Đặt t = cosx với điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1 .

Ta được phương trình bậc hai ẩn t là: 2t² – 4t = 0 $\iff \left[\begin{array}{c}t=0\\ t=2\end{array}\right.$

Trong hai nghiệm này chỉ có nghiệm t = 0 thỏa mãn.

Với t = 0 thì cos x = 0

$\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

3. Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức lượng giác đã học để biến đổi đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Ví dụ 6. Giải phương trình 3sin²x – 6cosx – 3 = 0.

Lời giải:

Vì sin²x = 1 – cos²x nên phương trình đã cho tương đương:

3(1 – cos²x) – 6cosx – 3 = 0

– 3cos² x – 6cosx = 0 (*)

Đăt t = cosx với điều kiện: – 1 ≤ t ≤ 1 , phương trình (*) trở thành:

– 3t² – 6t = 0 $\iff \left[\begin{array}{c}t=0\\ t=-2\end{array}\right.$.

Trong hai nghiệm này, chỉ có nghiệm t = 0 thỏa mãn.

Với t = 0 thì; cosx = 0 $v\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

- Ví dụ 7. Giải phương trình: sin²x – 3sinx. cosx + 2cos²x = 0 (1).

Lời giải:

+ Nếu cosx = 0 thì sin²x = 1 nên phương trình (1) có :

VT(1) = 1 và VP(1) = 0

Suy ra, cos x = 0 không thỏa mãn phương trình (1) . Vậy cosx ≠ 0.

+ Vì cosx ≠ 0 nên chia hai vế của phương trình (1) cho cos² x, ta được:

tan²x – 3tanx + 2 = 0 (2)

Đặt t = tanx, phương trình (2) trở thành: t² – 3t + 2 = 0

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là

III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

1. Công thức biến đổi biểu thức a.sinx + b.cosx

Ta có công thức biến đổi sau:

$$\begin{gathered} a\sin x+\text{\hspace{0.17em}}b.c\text{osx \hspace{0.17em}=} \\ \sqrt{a{}_2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{b}^2}.\sin (x+\text{}\alpha ) \left(1\right) \end{gathered}$$

Trong đó;

$$\begin{gathered} \text{cos}\alpha \text{ \hspace{0.17em}= \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}; \\ \sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{gathered}$$

2. Phương trình dạng: asinx + b.cosx = c.

Xét phương trình: asinx + bcosx = c (2)

Với a; b; c ; a, b không đồng thời bằng 0.

- Nếu a = 0 ; b ≠ 0 hoặc a ≠ 0; b = 0 phương trình (2) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản.

- Nếu a ≠ 0; b ≠ 0, ta áp dụng công thức (1).

Ví dụ 8. Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin x-c\text{osx = \hspace{0.17em}}2$.

Lời giải:

Theo công thức (1) ta có:

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Điều kiện để phương trình 3sinx + mcosx = 5 vô nghiệm là:

B. m > 4

C. m < - 4

D. -4 < m < 4

Lời giải:

Phương trình 3sinx + mcosx= 5 vô nghiệm khi:

32+ m2 < 52 ↔ m2 < 16 ↔ -4 < m < 4

Chọn đáp án D

Bài 2: Phương trình 3sin2x + msin2x – 4cos2x = 0 có nghiệm khi:

A. m = 4

B. m ≥ 4

C. m ≤ 4

D. m ∈R

Lời giải:

Ta có:

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm.

Do đó: 4m² + 49 ≥ 1 ⇔ 4m² + 48 ≥ 0 ( luôn đúng )

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Chọn đáp án D

Bài 3: Nghiệm dương bé nhất của phương trình 2sin2x – 5sinx + 3 = 0 là:

A. x = π/6

B. x = π/2

C. x = 5π/2

D. x = 5π/6

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 4: Phương trình cos²2x + cos2x - 3/4 = 0 có nghiệm khi:

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 5: Số nghiệm của phương trình 2sin2x – 5sinx + 3 = 0 thuộc [0; 2π] là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 6: Số nghiệm của phương trình cos2x + sin2x + 2cosx + 1= 0 thuộc [0; 4π] là:

A. 1

B. 2

C. 4

D. 6

Lời giải:

Ta có:

Các nghiệm của phương trình thuộc đoạn [0; 4π] là: π; 3π

Chọn đáp án B

Bài 7: Nghiệm của phương trình 2sin2x + 5sinx + 3 = 0 là:

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 8: Nghiệm của phương trình sin2x – sinxcosx = 1 là:

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 9: Nghiệm của phương trình 2cos2x + 3sinx – 3 = 0 thuộc (0; π/2) là:

A. x = π/3

B. x = π/4

C. x = π/6

D. x = 5 π/6

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 10: Tập nghiệm của phương trình: 3sin2x - 2√3sinxcosx - 3cos2x = 0 là:

Lời giải:

- Nếu cosx = 0 phương trình trở thành 3sin2x = 0 ⇒ sinx = 0(vô lí) vì khi cosx = 0 thì sin2x = 1 nên sinx = ±1.

- Nếu cosx ≠ 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos2x, ta được:

3tan2x - 2√3tanx – 3 = 0

Chọn đáp án A

II. Bài tập tự luận có giải

Bài 1: Tập nghiệm của phương trình: sinx + √3cosx = - 2 là?

Lời giải:

Bài 2 Tổng các nghiệm của phương trình:

sin2(2x - π/4) - 3cos(3 π/4 -2x)+ 2 = 0 (1) trong khoảng (0;2π) là?

Bài 3 Phương trình (2 – a)sinx + (1+ 2a)cosx = 3a – 1 có nghiệm khi:?

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

(2 – a)2 + (1 +2a)2 ≥ (3a – 1)2

⇔ 4 - 4a + a2 + 1 + 4a + 4a2 ≥ 9a2 - 6a + 1

⇔ 4a2 – 6a – 4 ≤ 0 ⇔ (-1)/2 ≤ a ≤ 2.

Chú ý. Với bài toán: Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của a để phương trình:

(2 – a)sinx + (1+ 2a)cosx = 3a – 1

Có nghiệm, ta cũng thực hiện lời giải tương tự như trên.

Bài 4 Nghiệm của phương trình sinx + cosx = 1 là?

Bài 5 Phương trình √3sin3x + cos3x = - 1 tương đương với phương trình nào sau đây?

Bài 6 Giải các phương trình sau:

Lời giải:

b) sin3x = 1 ⇔ 3x = π/2 + k2π

⇔ x = π/6 + k(2π/3), (k ∈ Z).

(k ∈ Z).

d) Vì -√3/2 = sin(-60⁰) nên phương trình đã cho tương đương với sin (2x + 20⁰) = sin(-60⁰)
⇔

Bài 7: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau?

Lời giải:

x thỏa mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi

Bài 8 Giải các phương trình sau:

a) cos(x – 1) = 2/3

b) cos3x = cos12⁰

c) cos(3x/2 – π/4) = -1/2

d) cos²2x = 1/4

Lời giải:

a) cos(x - 1) = 2/3 ⇔ x - 1 = ±arccos2/3 + k2π

⇔ x = 1 ± arccos2/3 + k2π, (k ∈Z)

b) cos3x = cos12⁰ ⇔ 3x = ±12⁰ + k360⁰ ⇔ x = ±4⁰ + k120⁰, (k ∈ Z).

c) Vì -1/2 = cos2π/3 nên cos(3x/2 - π/4) = -1/2

⇔ cos(3x/2 - π/4) = cos2/3

⇔ 3x/2 - π/4 = ±2π/3 + k2π

⇔ x = 2/3(π/4 + 2π/3) + 4kπ/3

d) Sử dụng công thức hạ bậc (suy ra trực tiếp từ công thức nhan đôi) ta có

cos²2x = 1/4 ⇔ 1 + cos4x/2 = 1/4 ⇔ cos4x = -1/2

⇔ 4x = ±2π/3 + 2kπ ⇔ x = ±π/6 + kπ/2, (k ∈ Z)

Bài 9 Giải phương trình

Lời giải:

⇔ sin2x = -1 ⇔ 2x = -π/2 + k2π ⇔ x = -π/4 + kπ, (k ∈ Z).

Bài 10 Giải các phương trình sau:

a) tan(x – 150) = (√3)/3 b) cot(3x – 1) = -√3

c) cos2x . tanx = 0 d) sin3x . cotx = 0

Lời giải:

a) Vì = tan30⁰ nên tan(x – 15⁰) =

⇔ tan(x – 15⁰) = tan30⁰

⇔ x – 150 = 30⁰ + k180⁰

⇔ x = 45⁰ + k180⁰, (k ∈ Z).

b) Vì -√3 = cot(-π/6) nên cot(3x – 1) = -√3

⇔ cot(3x – 1) = cot(-π/6)

⇔ 3x – 1 = -π/6 + kπ

⇔ x = -π/18 + 1/3 + k(π/3), (k ∈ Z)

c) Đặt t = tan x thì cos2x = , phương trình đã cho trở thành
. t = 0

⇔ t ∈ {0; 1; -1} .

Vì vậy phương trình đã cho tương đương với

d) sin3x . cotx = 0

⇔ Với điều kiện sinx # 0, phương trình tương đương với

sin3x . cosx = 0 ⇔ sin3x = 0; cos3x = 0

Với cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z thì sin2x = 1 – cos2x = 1 – 0 = 1 => sinx # 0, điều kiện được thỏa mãn.

Với sin3x = 0 ⇔ 3x = kπ ⇔ x = k(π/3), (k ∈ Z). Ta còn phải tìm các k nguyên để x = k(π/3) vi phạm điều kiện (để loại bỏ), tức là phải tìm k nguyên sao cho sink(π/3) = 0, giải phương trình này (với ẩn k nguyên), ta có sink(π/3) = 0 ⇔ k(π/3)= lπ, (l ∈ Z) ⇔ k = 3l ⇔ k : 3.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm là x = π/2 + kπ, (k ∈Z) và x = k(π/3) (với k nguyên không chia hết cho 3).

Nhận xét: Các em hãy suy nghĩ và giải thích tại sao trong các phần a, b, c không phải đặt điều kiện có nghĩa và cũng không phải tìm nghiệm ngoại lai.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Giải các phương trình sau

a) $\sin 3x-\cos 5x=0$.

b) $\tan 3x.\tan x=1$.

Bài 2 Giải các phương trình sau

a) $\tan (x-{15}^0)=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

b) $\cot (3x-1)=-\sqrt{3}$.

c) $\cos 2x.tanx=0$.

d) $\sin 3x.\cot x=0$.

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) $\cos (x-1)=\frac{2}{3}$.

b) $\cos 3x=\cos {12}^0$.

c). $\cos (\frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=-\frac{1}{2}$.

d) ${\cos }^{2}2x=\frac{1}{4}$.

Bài 4 Giải các phương trình sau

a) $\sin (x+2)=\frac{1}{3}$.

b) $\sin 3x=1$.

c) $\sin (\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3})=0$

d) $\sin (2x+{20}^0)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Bài 5 Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau?

Bài 6 Giải các phương trình sau

a) $\sin 3x-\cos 5x=0$.

b) $\tan 3x.\tan x=1$.

Bài 7 Giải phương trình $\sin \left(\frac{2x}{3}- \frac{\pi }{3}\right) = 0$

Bài 8 Giải phương trình

Bài 9 Giải các phương trình sau:

a) tan(x – 150) = (√3)/3 b) cot(3x – 1) = -√3
c) cos2x . tanx = 0 d) sin3x . cotx = 0

Bài 10 Với những giá trị nào của x thì gia trị của các hàm số y = tan(π/4 - x) và y = tan2x bằng nhau?

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Quy tắc đếm

Chuyên đề Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Chuyên đề Hàm số lượng giác

Chuyên đề Phương trình lượng giác cơ bản

Chuyên đề Ôn tập chương 1