Chuyên đề Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng (2022) - Toán 11

Chuyên đề Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng - Toán 11

A. Lý thuyết

I. Khái niệm mở đầu.

1. Mặt phẳng

- Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn.

- Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng các chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc ( ). Ví dụ: mp(P), mp(Q), mp(α), mp(β)…

2. Điểm thuộc mặt phẳng.

Cho điểm A và mặt phẳng (α).

- Khi điểm A thuộc mặt phẳng (α) ta nói A nằm trên (α) hay (α) chứa A, hay (α) đi qua A và kí hiệu là $A\in \left(\alpha \right)$.

- Khi điểm A không thuộc mặt phẳng (α) ta nói điểm A nằm ngoài (α) hay (α)  không chứa A và kí hiệu là $A\notin \left(\alpha \right)$.

Hình trên cho ta hình biểu diễn của điểm A thuộc mặt phẳng , còn điểm B không thuộc (α).

3. Hình biểu diễn của một hình trong không gian

Để nghiên cứu hình học không gian người ta thường vẽ các hình không gian lên bảng, lên giấy. Ta gọi hình vẽ đó là hình biểu diễn của một hình không gian.

- Dưới đây là một vài hình biểu diễn của hình hộp chữ nhật.

Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian người ta dựa vào những quy tắc sau đây:

- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.

- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.

- Dùng nét liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất.

II. Các tính chất thừa nhận

- Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

- Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng. Ta kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C là mặt phẳng (ABC) hoặc mp(ABC) hoặc (ABC).

- Tính chất 3. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (α) thì ta nói đường thẳng d nằm trong (α) hay (α) chứa d và kí hiệu là $d\subset \left(\alpha \right)$ hay $\left(\alpha \right)\supset d$.

- Tính chất 4. Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói chúng không đồng phẳng.

- Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.

Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) được gọi là giao tuyến của (α) và (β) và kí hiệu là $d=\left(\alpha \right)\cap \left(\beta \right)$.

- Tính chất 6. Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

III. Cách xác định mặt phẳng

1) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

2) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Khi đó điểm A và đường thẳng d xác định một mặt phẳng, kí hiệu là mp(A, d) hay (A, d) hoặc mp(d, A) hay (d, A).

3) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Khi đó hai đường thẳng a và b xác định một mặt phẳng và kí hiệu là mp(a, b) hay (a, b) hoặc mp(b, a) hay (b, a).

IV. Hình chóp và hình tứ diện

1. Hình chóp

Trong mp(α) cho đa giác lồi A₁A₂…A_n. Lấy điểm S nằm ngoài (α). Lần lượt nối S với các đỉnh A₁, A₂,..,A_n ta được n tam giác SA₁A₂, SA₂A₃,…, SA_nA₁.

Hình gồm đa giác A₁A₂…A_n và n tam giác SA₁A₂, SA₂A₃,…, SA_nA₁ gọi là hình chóp, kí hiệu là S.A₁A₂…A_n.

Ta gọi S là đỉnh và đa giác A₁A₂…A_n là mặt đáy. Các tam giác SA₁A₂, SA₂A₃,…, SA_nA₁ gọi là các mặt bên, các đoạn SA₁, SA₂, …, SA_n là các cạnh bên; các cạnh của đa giác đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp.

Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,.. lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác…

2. Hình tứ diện

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay tứ diện) và được kí hiệu là ABCD.

Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ diện.

Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện.

Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện.

Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt của tứ diện. Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.

Hình tứ diện có 4 mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.

- Chú ý. Khi nói đến tam giác ta có thể hiểu là tập hợp các điểm thuộc các cạnh hoặc cũng có thể hiểu là tập hợp các điểm thuộc các cạnh và các điểm trong của tam giác đó. Tương tự có thể hiểu như vậy đối với đa giác.

3. Một số ví dụ

Ví dụ 1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB // CD).

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

a) (SAC) và (SBD).

b) (SAD) và (SBC).

Lời giải:

a) Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của AC  và BD.

Ta có S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Lại có:  

$\left\{\begin{array}{l}O\in AC\subset \left(SAC\right)\Rightarrow O\in \left(SAC\right)\\ O\in BD\subset \left(SBD\right)\Rightarrow O\in \left(SBD\right)\end{array}\right.$

Suy ra, O là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO.

b) Trong mp(ABCD), gọi I là giao điểm của AD và BC.

Ta có S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Lại có:  $\left\{\begin{array}{l}I\in AD\subset \left(SAD\right)\Rightarrow I\in \left(SAD\right)\\ I\in BC\subset \left(SBC\right)\Rightarrow I\in \left(SBC\right)\end{array}\right.$

Suy ra, I là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI.

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD)?

Lời giải:

Vì G là trọng tâm tam giác BCD, F là trung điểm của CD nên

Ta có E là trung điểm của AB nên .

Chọn mp phụ chứa EG là (ABF)

+ Tìm giao tuyến của mp(ABF) và mp(ACD) ta có:

A là điểm chung thứ nhất.

$\left\{\begin{array}{l}F\in \left(A\text{}BF\right)\\ F\in CD\subset \left(ACD\right)\Rightarrow F\in \left(ACD\right)\end{array}\right.$

Suy ra F là điểm chung thứ hai .

Do đó, giao tuyến của mp(ABF) và mp(ACD) là AF.

Trong mp(ABF), kéo dài AF cắt EG tại M. Khi đó, M là giao điểm của EG và mp(ACD).

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A. Hình tứ diện có 4 cạnh

B. Hình tứ diện có 4 mặt

C. Hình tứ diện có 6 đỉnh

D. Hình tứ diện có 6 mặt

Lời giải:

Bài 2: Số cạnh của hình chóp tam giác là:

A. 5      

B. 4      

C. 6      

D. 3

Lời giải:

Bài 3: Hình biểu diễn nào sau đây vẽ đúng hình chóp ?

Bài 4: Hình biểu diễn nào sau đây vẽ đúng hình hộp.

Lời giải:

Bài 5: Cho 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào là sai?

A. Trong 4 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng

B. Trong 4 điểm đã cho luôn luôn tồn tại 3 điểm thuộc cùng 1 mặt phẳng

C. Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điểm đã cho là 4

D. Số đoạn thẳng nối hai điểm trong 4 điểm đã cho là 6.

Lời giải:

Bài 6: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua

A. Hai đường thẳng

B. Một điểm và một đường thẳng

C. Ba điểm

D. Hai đường thẳng cắt nhau

Lời giải:

Bài 7: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua

A. Ba điểm

B. Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó.

C. Hai điểm

D. Bốn điển

Lời giải:

Bài 8: Hai đường thẳng chéo nhau nếu.

A. Chúng không có điểm chung

B. Chúng không cắt nhau và không song song với nhau

C. Chúng không cùng nằm trong bất kì một mặt phẳng nào

D. Chúng không nằm trong bất cứ hai mặt phẳng nào cắt nhau.

Lời giải:

Bài 9: Cho 4 điểm không đông phẳng. số mặt phẳng phân biệt mà mỗi mặt phẳng đi qua ba trong bốn điểm đó là:

A. 1      

B. 2      

C. 3      

D. 4

Lời giải:

Bài 10: Trong phát biểu sau đây, phát biểu nào đúng?

A. Hình chóp có tất cả các mặt là hình tam giác

B. Tất cả các mặt bên của hình chóp là hình tam giác

C. Tồn tại một mặt bên của hình chóp không phải là hình tam giác

D. Số cạnh bên của hình chóp bằng số mặt của nó

Lời giải:

Bài 1: Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biếu điều nào sau đây?

Lời giải:

Bài 2: Trong các phát biều sau, phát biểu nào đúng?

A. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

B. Hai mặt phẳng có thể có đúng hai điểm chung

C. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng duy nhất hoặc mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia.

D. Hai mặt phẳng luôn có điểm chung.

Bài 3: Cho hình tứ diện ABCD, phát biểu nào sau đây là đúng?

A. AC và BD cắt nhau

B. AC và BD không có điểm chung

C. Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC

D. AB và CD song song với nhau

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD, phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO.

B. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là điểm S.

C. Giao tuyến của (SBC) và (SCD) là SK, với K là giao điểm của SD và BC.

D. Giao tuyến của (SOC) và (SAD) là SM, với M là giao điểm của AC và SD.

Bài 5: Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA; các điểm B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng. 

A. Giao tuyến của (OBC) và (A’B’C’) là A’B’;

B. Giao tuyến của (ABC) và (OC’A’) là CK, với K là giao điểm của C’B’ với CB

C. (ABC) và (A’B’C’) không cắt nhau

D. Giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’) là MN, với M là giao điểm của AC và A’C’, N là giao điểm của BC và B’C’.