Chuyên đề Đạo hàm cấp hai (2022) - Toán 11
Với Chuyên đề Đạo hàm cấp hai (2022) - Toán 11 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 11 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.
Chuyên đề Đạo hàm cấp hai - Toán 11
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y” hoặc f”(x).
Chú ý:
+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y”’ hoặc f”’(x) hoặc f(3)(x).
+ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1 , kí hiệu f(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f(n–1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y(n) hoặc f(n)(x).
f(n)(x) = (f(n–1)(x))’.
Ví dụ 1. Với y = 7x4 + 8x + 12. Tính y(5)
Lời giải
Ta có: y’ = 28x3 + 8, y” = 84x2, y”’ = 168x, y(4) = 168, y(5) = 0.
Vậy y(5) = 0.
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t).
Lấy số gia tại t thì v(t) có số gia tương ứng là
Tỉ số được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian . Nếu tồn tại: .
Ta gọi là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.
Vì v(t) = f’(t) nên: .
Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.
Ví dụ 2. Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do
Lời giải
Ta có:
Gia tốc tức thời của sự tơi tự do là: .
Vậy gia tốc tức thời của sự rơi tự do là:
B. Bài tập
I. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Hàm số y = (2x + 5)5 có đạo hàm cấp 3 bằng :
A. y‴ = 80(2x + 5)3.
B. y‴ = 480(2x + 5)2.
C. y‴ = -480(2x + 5)2.
D. y‴ = -80(2x + 5)3.
Lời giải:
Chọn đáp án B
Bài 2: Hàm số y = tanx có đạo hàm cấp 2 bằng :
Lời giải:
Chọn đáp án D
Bài 3: Hàm số 
có đạo hàm cấp 2 bằng :
Lời giải:
Chọn đáp án B
Bài 4: Cho hàm số f(x) = (x + 1)3. Giá trị f''(0) bằng
A. 6
B. 3
C. 12
D. 24
Lời giải:
Chọn đáp án A
Bài 5: Cho hàm số f(x) = sin3x + x2. Giá trị f''(π/2) bằng
A. 0
B. – 1
C. –2
D. 5
Lời giải:
Chọn đáp án B
Bài 6: Cho hàm số f(x) = 5(x + 1)3 + 4(x + 1). Tập nghiệm của phương trình f''(x) = 0 là
A. [-1; 2].
B. (-∞].
C. {-1}.
D. ∅.
Lời giải:
Chọn đáp án C
Bài 7: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = t3 - 3t2 - 9t + 2 ( t tính bằng giây; S tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t =0 hoặc t = 2 .
B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là v = 18 m/s.
C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t= 3 là a = 12 m/s2.
D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0.
Lời giải:
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t
Chọn đáp án C
Bài 8: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3 - 3t2 (t tính bằng giây; S tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là a = 18 m/s2.
B. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là a = 9 m/s2.
C. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 12 m/s.
D. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 24 m/s.
Lời giải:
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t.
Chọn đáp án A
Bài 9: Hàm số 
có đạo hàm cấp hai là:
Lời giải:
Chọn đáp án D
Bài 10: Hàm số y = (x2 + 1)3 có đạo hàm cấp ba là:
A. y''' = 12(x2 + 1).
B. y''' = 24(x2 + 1).
C. y''' = 24(5x2 + 3).
D. y''' = -12(x2 + 1).
Lời giải:
Chọn đáp án C
II. Bài tập tự luận có lời giải
Bài 1: Hàm số
có đạo hàm cấp hai bằng?
Lời giải:
Bài 2: Cho hàm số 
. Khi đó y''' =?
Lời giải:
Bài 3: Cho hàm số y = sin2x. Tính 
Lời giải:
Bài 4: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3 - 3t2 + 5t + 2, trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là?
Lời giải:
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t.
Bài 15: Hàm số 
có đạo hàm cấp 2 bằng?
Lời giải:
Bài 6:
Lời giải:
Bài 7 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
Lời giải:
Bài 8 a) Cho .Tính .
b) Cho .Tính , , .
Bài 9 Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a)
b)
c)
d)
Bài 10 Tìm các đạo hàm sau:
III. Bài tập vận dụng
Bài 1 Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
Bài 2
Bài 3 Hàm số y = (2x + 5)5 có đạo hàm cấp 3 bằng?
Bài 4 Hàm số y = tanx có đạo hàm cấp 2 bằng?
Bài 5 Hàm số có đạo hàm cấp 2 bằng?
Bài 6 Cho hàm số f(x) = (x + 1)3. Giá trị f''(0) bằng?
Bài 7 Cho hàm số f(x) = sin3x + x2. Giá trị f''(π/2) bằng?
Bài 8 Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = t3 - 3t2 - 9t + 2 ( t tính bằng giây; S tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng ?
Bài 9 Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3 - 3t2 (t tính bằng giây; S tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
Bài 10 Cho hàm số y = sin2x. Tính
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:
Chuyên đề Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Chuyên đề Quy tắc tính đạo hàm
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 11 | Giải bài tập Hóa học 11 Học kì 1, Học kì 2 (Sách mới)
- Lý thuyết Hóa học 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Hóa 11
- Giải sbt Hóa học 11 (sách mới) | Sách bài tập Hóa học 11
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 11
- Giáo án Hóa học lớp 11 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 11 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ Văn 11 (sách mới)
- Soạn văn 11 (ngắn nhất) | Để học tốt Ngữ văn 11 (sách mới)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 | Giải bài tập Tiếng anh 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (sách mới) | Sách bài tập Tiếng Anh 11
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Lịch sử 11 | Giải bài tập Lịch sử 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Lịch Sử 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Lịch Sử 11
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 11
- Giải sgk Vật Lí 11 | Giải bài tập Vật lí 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Vật Lí 11 (sách mới) | Sách bài tập Vật Lí 11
- Lý thuyết Vật Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Vật Lí 11
- Các dạng bài tập Vật Lí lớp 11
- Giáo án Vật lí lớp 11 mới nhất
- Giải sgk Sinh học 11 | Giải bài tập Sinh học 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Sinh học 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Sinh 11
- Giải sgk Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Địa Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Địa lí 11
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 11
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 11