Chuyên đề Phép thử và biến cố (2022) - Toán 11

Chuyên đề Phép thử và biến cố - Toán 11

A. Lý thuyết

I. Phép thử, không gian mẫu

1. Phép thử.

Một trong những khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất là phép thử. Một thí nghiệm, một phép đo, hay một sự quan sát hiện tượng nào đó… được hiểu là phép thử.

- Ví dụ 1. Gieo ba đồng tiền xu liên tiếp, chọn ba cây tú lơ khơ từ bộ bài 52 cây tứ lơ khơ, chọn 3 bông hoa từ 10 bông hoa trong lọ… đây đều là phép thử.

- Khi gieo một đồng tiền, ta không thể đoán trước được mặt xuất hiện là sấp hay ngửa. Đó là ví dụ về phép thử ngẫu nhiên.

- Tổng quát. Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

2. Không gian mẫu.

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là $\Omega$ (đọc là ô-mê-ga).

- Ví dụ 2. Nếu phép thử là gieo một con súc sắc một lần, thì không gian mẫu gồm 6 phần tử là: $\Omega$ = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

- Ví dụ 3. Nếu phép thử là gieo một đồng tiền ba lần thì không gian mẫu gồm tám phần tử là:

{SSS; SSN; SNS; SNN; NSS; NSN; NNS; NNN} .

II. Biến cố.

- Một cách tổng quát, mỗi biến cố liên quan đến một phép thử được mô tả bởi một tập con của không gian mẫu.

- Định nghĩa: Biến cố là một tập con của không gian mẫu.

Ta thường kí hiệu các biến cố bằng các chữ in hoa A; B; C…

- Tập $\varnothing$ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập  được gọi là biến cố chắc chắn.

- Ví dụ 4. Gieo con súc sắc liên tiếp hai lần thì biến cố: “lần thứ nhất ra mặt 5 chấm, lần thứ 2 ra mặt 8 chấm” là biến cố không. (vì súc sắc không có mặt 8 chấm)

Còn biến cố: “Tổng số chấm hai lần gieo lớn hơn 1 và nhỏ hơn 13” là biến cố chắc chắn.

- Ta nói rằng biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi các kết quả của phép thử đó là một phần tử của A (hay thuận lợi cho A).

Như vậy, biến cố không thể không bao giờ xảy ra. Trong khi đó, biến cố chắc chắn luôn luôn xảy ra.

III. Phép toán trên các biến cố.

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử

- Tập $\Omega$\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là $\overline{A}$.

$\overline{A}$ xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.

- Ví dụ 5. Nếu phép thử là chọn một học sinh trong lớp làm lớp trường thì:

Biến cố A: “bạn đó là nữ”.

Biến cố B: “bạn đó là nam”.

Ta thấy, B là biến cố đối của biến cố A: $B=\overline{A}$.

 - Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có định nghĩa:

Tập $A\cup B$ được gọi là hợp của các biến cố A và B.

Tập $A\cap B$ được gọi là giao của các biến cố A và B.

Nếu $A\cap B=\varnothing$ thì ta còn nói A và B xung khắc.

- Biến cố $A\cup B$ xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra.

Biến cố $A\cap B$ xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra.

Biến cố $A\cap B$ còn được viết là A.B.

A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra.            

- Ta có bảng sau:

- Ví dụ 6. Xét phép thử: gieo súc sắc hai lần liên tiếp, với các biến cố:

A: “Kết quả hai lần gieo giống nhau”.

B. “Lần đầu xuất hiện mặt 5 chấm”.

Liệt kê các kết quả thuận lợi cho các biến A và B.

Lời giải:

A = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)}.

B = {(5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5); (5; 6)}.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a lấy 6 điểm phân biệt. Trên đường thẳng b lấy 5 điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm. Xác định số phần tử của biến cố A: "Ba điểm được chọn tạo thành một tam giác".

A. 135

B. 165

C. 990

D. 360

Lời giải:

Bài 2: Có ba chiếc hộp: hộp thứ nhất chứa 6 bi xanh được đánh số từ 1 đến 6, hộp thứ hai chứa 5 bi đỏ được đánh số từ 1 đến 5, hộp thứ ba chứa 4 bi vàng được đánh số từ 1 đến 4. Lấy ngẫu nhiên ba viên bi. Tính số phần tử của biến cố A: "Ba bi được chọn vừa khác màu vừa khác số"

A. 120

B. 64

C. 60

D. 84

Lời giải:

Bài 3: Một nhóm bạn có 4 bạn gồm 2 bạn nam Mạnh, Dũng và hai nữ là Hoa, Lan được xếp ngẫu nhiên trên một ghế dài. Kí hiệu (MDHL) là cách sắp xếp theo thứ tự: Mạnh, Dũng, Hoa, Lan

a) Tính số phần tử của không gian mẫu

A. 6      

B. 24

C. 1      

D. 4

b) Xác định biến cố M:”xếp hai nam ngồi cạnh nhau”

A. M={(MDHL),(HMDL),(HLMD)}      

B. M={(MDHL),(LMDH),(LHMD)}

C. M={(MDHL),(MDLH),(HMDL),(LMDH),(HLMD),(LHMD)}

D. M={(MDHL),(DMHL),(MDLH),(DMLH),(HMDL),(HDML),(LMDH),(LDMH),(HLMD),(HLDM),(LHMD),(LHDM)}

c) Tìm số phần tử của biến cố N:”xếp nam và nữ ngồi xen kẽ nhau”

A. 24      

B. 4

C. 8      

D. 6

Lời giải:

Bài 4: Gieo ngẫu nhiên ba đồng xu phân biệt một lần. Kí hiệu S, N lần lượt chỉ đồng xu lật sấp, lật ngửa

a) Hãy mô tả không gian mẫu

A. Ω={S,N,S}      

B. Ω={SSS,SSN,SNS,NSS}

C. Ω={SSS,SSN,SNS,NSS,NNS,NSN,SNN,NNN}

D. Ω={NNN,NSN,SNS}

b) Xác định biến cố C:”có ít nhất hai đồng tiền xuất hiện mặt ngửa”

A. C={NNS,NSN,SNN}      

B. C={NNS,NSN,SNN,NNN}

C. C={N,N,S}      

D. C={N,N,N}

Lời giải:

Bài 5: Xét phép thử tung con súc sắc 6 mặt hai lần. Cho các biến cố:

A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần tung giống nhau”

B: “ Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần tung chia hết cho 3”

Tính |ΩA| + |ΩB|?

A. 18

B. 12

C. 16

D. 20

Lời giải:

Bài 6: Bộ bài tú - lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Tính xác suất của các biến cố A: “Rút ra được tứ quý K”.

Lời giải:

Bài 7: Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ.

Lời giải:

Bài 8. Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện

a) Hãy mô tả không gian mẫu

A. Ω={2,4,6}      

B. Ω={1,3,5}

C. Ω={1,2,3,4}      

D. Ω={1,2,3,4,5,6}

b) Xác định biến cố A: ”Xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn 2”

A. A={1,2}            

B. A={2,3}

C. A={2,3,4,5,6}      

D. A={3,4,5,6}

Lời giải:

Bài 9. Gieo một con súc sắc sau đó gieo một đồng tiền. Quan sát số chấm xuất hiện trên con súc sắc và sự xuất hiện của mặt sấp (S), mặt ngửa (N) của đồng tiền.

a) Hãy mô tả không gian mẫu

A. Ω={1S,2N,3S,4N,5S,6N}

B. Ω={1N,2S,3N,4S,5N,6S}

C. Ω={1S,2,S,3S,4S,5S,6S,1N,2N,3N,4N,5N,6N}

D. Ω={SS,SN,NS}

b) Xác định biến cố M:”con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm và đông tiền xuất hiện mặt sấp”

A. M={2S}      

B. M={4S}

C. M={6S}      

D. M={2S,4S,6S}

Lời giải:

Bài 10. Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả năm lần ngửa thì dừng lại.

a. Mô tả không gian mẫu.

b. Xác định các biến cố:

A: “Số lần gieo không vượt quá ba”

B: “Có ít nhất 2 lần gieo xuất hiện mặt ngửa”

Lời giải:

Bài 1:Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của

1. Không gian mẫu

2. Các biến cố:

a) A: “ 4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng”.

b) B : “ 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”.

c) C: “ 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”.

Lời giải:

Bài 2: Gieo hai đồng tiền một lần. Kí hiệu S,N để chỉ đông tiền lật sấp, lật ngửa

a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định biến cố M: “hai đồng tiền xuất hiện hai mặt không giống nhau”

Lời giải:

Bài 3: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau. Tính số phần tử của

a. Không gian mẫu?

b. Biến cố A: “Số được chọn chia hết cho 5”

Lời giải:

Bài 4: Từ các chữ số 1,2,3,4 ta lập các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.

a) Tính số phần tử không gian mẫu

b) Phát biểu biến cố A={123,234,124,134} dưới dạng mệnh đề

Lời giải: