Chuyên đề Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song (2022) - Toán 11

Chuyên đề Đường thẳng và mặt phẳng song song - Toán 11

A. Lý thuyết.

I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Tùy theo số điểm chung của d và (α), ta có ba trường hợp sau:

- d và (α) không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với (α) hay (α) song song với d và kí hiệu là d // (α) hay (α) // d.

- d và (α) chỉ có một điểm chung duy nhất M. Khi đó ta nói d và (α) cắt nhau tại điểm M và kí hiệu $d\cap \left(\alpha \right)=M$.

- d và (α) có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó, d nằm trong (α) hay (α) chứa d và kí hiệu $d\subset \left(\alpha \right)$.

II. Tính chất

- Định lí. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) và d song song với đường thẳng d’ nằm trong (α) thì d song song với (α).

- Định lí. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa a và cắt (α) theo giao tuyến b thì b song song với a.

- Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

- Định lí. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O, O₁ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF, gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh:

a) OO₁ // mp (BEC).

b) OO₁ // mp (AFD)

Lời giải.

a)  Xét tam giác ACE có O; O₁ lần lượt là trung điểm của AC; AE (tính chất hình hình hành).

Suy ra OO₁ là đường trung bình trong tam giác ACE và OO₁ // EC.

Mà EC thuộc mp (BEC) nên OO₁ // mp (BEC)  (đpcm).

b) Tương tự; OO₁ là đường trung bình của tam giác BFD nên OO₁ // FD.

Mà FD nằm trong mp(AFD)

Suy ra: OO₁ // mp (AFD) (đpcm).

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC và (α)  là mặt phẳng đi qua H song song với AB và CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mp (α) là hình gì?

Lời giải:

+ Qua H kẻ đường thẳng song song AB và đường thẳng này cắt BC, AC lần lượt tại M, N.

+ Từ N kẻ NP song song với CD $\left(P\in AD\right)$

 Từ P kẻ PQ song song với AB $\left(Q\in BD\right)$.

+ Ta có: MN // PQ // AB

Suy ra 4 điểm M; N; P và Q đồng phẳng .

Suy ra thiết diện của tứ diện cắt bởi mp (α) là tứ giác MNPQ.

+ Ta chứng minh MNPQ là hình bình hành.

Trước tiên, ta chứng minh  PN // QM.

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}PN\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}CD\\ \begin{array}{l}PN\subset mp\left(MNPQ\right),\\ \hspace{0.17em}CD\subset mp\left(BCD\right)\\ QM=mp\left(MNPQ\right)\cap \\ mp\left(BCD\right)\end{array}\end{array}\right.$

Suy ra: QM // PN // CD

Lại có: PQ // MN

Do đó, tứ giác MNPQ là hình bình hành.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

A. AC      

B. BD

C. AD      

D. SC

Lời giải:

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. MNPQ là hình bình hành.

B. MNPQ là hình thoi.

C. MNPQ là hình thang chỉ có một cặp cạnh đối song song.

D. MNPQ là tứ giác không có cặp cạnh nào song song.

Lời giải:

Bài 3: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là giao điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK) là hình gì?

A. thiết diện là hình thang cân.

B. hình bình hành.

C. tam giác.

D. tứ giác không có cặp cạnh nào song song.

Lời giải:

Bài 4: Cho hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ:

A. song song với hai đường thẳng đó

B. song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

C. trùng với một trong hai đường thẳng đó

D. cắt một trong hai đường thẳng đó

Lời giải:

Bài 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi IJ lần lượt là trung điểm của BC và BD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (AIJ) và (ACD) là đường nào sau đây?

A. đường thẳng d đi qua A và d // BC.

B. đường thẳng d đi qua A và d // BD.

C. đường thẳng d đi qua A và d // CD.

D. đường thẳng d đi qua A, M trong đó M là giao điểm IJ và CD.

Lời giải:

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SAD. E, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?  

A. IJ // (SBD)      

B. IJ // (SEF)

C. IJ // (SAB)      

D. IJ // (SAD)

Lời giải:

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD đấy ABCD là hình bình hành tâm O. gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNC) và (ABD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?

A. OA      

B. OM

C. OC      

D. CD

Lời giải:

Bài 8: Với điều kiện nào sau đây thì đường thẳng a song song với mặt phẳng (∝) ?

A. a // b và b ∩ (∝) = ∅

B. a // b và b // (∝)

C. a // b và b ⊂ (∝)

D. a ∩ (∝) = ∅

Lời giải:

Bài 9: Cho tứ diện ABCD, M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

(1) MN //(BCD)

(2) MN //(ACD)

 (3) MN // (ABD)

A. Chỉ có (1) đúng      

B. (2) và (3)

C. (1) và (2)      

D. (1) và (3)

Lời giải:

Bài 10: Cho tứ diện ABCD, điểm M thuộc AC. Mặt phẳng (∝) đi qua M, song song với AB và AD. Thiết diện (∝) với tứ diện ABCD là hình gì?

A. Thiết diện là tam giác      

B. Hình bình hành

C. Hình thoi      

D. Hình thang

Lời giải:

Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Giả sử M thuộc đoạn BC. Một mặt (∝) qua M song song với AB và CD. Thiết diện của (∝) và hình tứ diện ABCD là hình gì?

Bài 2: Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng ?

Lời giải:

Bài 3: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b ?

Lời giải: vô số