Chuyên đề Nhị thức Niu-tơn (2022) - Toán 11
Với Chuyên đề Nhị thức Niu-tơn (2022) - Toán 11 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 11 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.
Chuyên đề Nhị thức Niu-tơn - Toán 11
A. Lý thuyết.
I. Công thức nhị thức Niu- tơn
Ta có:
- Công thức nhị thức Niu – tơn.
- Hệ quả:
Với a = b = 1 ta có:
Với a = 1; b = – 1 ta có:
- Chú ý:
Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1):
a) Số các hạng tử là n + 1.
b) Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0; số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước ).
c) Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
- Ví dụ 1. Khai triển biểu thức: (a – b)5.
Lời giải:
Áp dụng công thức nhị thức Niu – tơn ta có:
- Ví dụ 2. Khai triển biểu thức: (3x – 2)4.
II. Tam giác Pa- xcan
Trong công thức nhị thức Niu – tơn ở mục I, cho n = 0; 1; … và xếp các hệ số thành dòng, ta nhận được tam giác sau đây, gọi là tam giác Pa- xcan.
- Nhận xét:
Từ công thức suy ra cách tính các số ở mỗi dòng dựa vào các số ở dòng trước nó.
Ví dụ 3. .
B. Bài tập
I. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển (x3 + xy)21
Lời giải:
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
Suy ra khai triển (x3 + xy)21 có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 (ứng với k = 10) và số hạng thứ 12 (ứng với k = 11). Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là
Chọn đáp án D
Bài 2: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P(x) = x(1 - 2x)5 + x2(1 + 3x)10
A. 80
B. 3240
C. 3320
D. 259200
Lời giải:
Chọn đáp án C
Bài 3: Tìm hệ số của x5 trong khai triển : P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 + ... + 8(1 + x)8.
A. 630
B. 635
C. 636
D.637
Lời giải:
Các biểu thức (1 + x), (1 + x)2, ⋯, (1 + x)4 không chứa số hạng chứa x5.
Chọn đáp án C
Bài 4: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 
.
A.n = 8
B.n = 9
C.n = 10
D. n = 11
Lời giải:
Chọn đáp án C
Bài 5: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 
.
A.n = 5
B.n = 9
C.n = 10
D.n = 4
Lời giải:
Chọn đáp án A
Bài 6: Tìm số nguyên dương n sao cho: 
A. 5
B. 11
C. 12
D. 4
Lời giải:
Chọn đáp án A
Bài 7: Tính 
Lời giải:
Chọn đáp án D
Bài 8: Khai triển biểu thức (x-m2)4 thành tổng các đơn thức:
A. x4 –x3m+x2m2 + m4
B. x4 –x3m2+x2m4 –xm6+ m8
C. x4 –4x3m+6x2m2 -4xm+ m4
D. x4 –4x3m2+6x2m4 – 4xm6+ m8
Lời giải:
Sử dụng nhị thức Niuton với a = x, b = - m2
Chọn đáp án D
Bài 9: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
A. 2268
B. -2268
C. 84
D. -27
Lời giải:
Chọn đáp án là B
Bài 10: Xác định hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển (x2-2/x)n nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 49.
A. 160
B. -160
C. 160x3
D. -160x3
Lời giải:
Chọn đáp án là B
II. Bài tập tự luận có lời giải
Bài 1: Tính tổng S = 32015.C2015o-32014C20151+32013C20152-…+3C20152014 -C20152015?
Lời giải:
Bài 2: Trong khai triển nhị thức (a + 2)n + 6, (n ∈ N). Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:
Lời giải:
Bài 3: Tìm hệ số của x12 trong khai triển (2x - x2)10
Lời giải:
Bài 4: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển 
Lời giải:
Bài 5: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn:
a) (a + 2b)5
b) (a - √2)6
c) (x - 1/x)13
Lời giải:
a) Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:
(a + 2b)5 = a5 + 5a4(2b) + 10a3(2b)2 + 10a2(2b)3 + 5a(2b)4 + (2b)5
= a5 + 10a4b + 40a3b2 + 80a2b3 + 80ab4 + 32b5
b) Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:
(a - √2)6 = [a + (-√2)]6 = a6 + 6a5 (-√2) + 15a4 (-√2)2 + 20a3 (-√2)3 + 15a2 (-√2)4 + 6a(-√2)5 + (-√2)6 = a6 - 6√2a5 + 30a4 - 40√2a3 + 60a2 - 24√2a + 8.
c) Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có:
Nhận xét: Trong trường hợp số mũ n khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.
Bài 6 Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức:
Lời giải:
Trong tổng này, số hạng Ck6 . 2k . x6 - 3k có số mũ của x bằng 3 khi và chỉ khi
Do đó hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức đã cho là: 
= 2 . 6 = 12
Bài 7: Tìm hệ số của x5 trong khai triển : P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 + ... + 8(1 + x)8.
Lời giải:
Các biểu thức (1 + x), (1 + x)2, ⋯, (1 + x)4 không chứa số hạng chứa x5.
Bài 8 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn
Lời giải:
Bài 9 Tính
Lời giải:
Bài 10 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
Lời giải:
III. Bài tập vận dụng
Bài 1 Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1 - 3x)n là 90. Tìm n.
Bài 2 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (x3 + )8
Bài 3 Từ khai triển biểu thức (3x – 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.\
Bài 4 Chứng minh rằng:
a) 1110 – 1 chia hết cho 100;
b) 101100– 1 chia hết cho 10 000;
c) là một số nguyên
Bài 5 Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn:
a) (a + 2b)5
b) (a - √2)6
c) (x - 1/x)13
Bài 6 Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức:
Bài 7 Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1 - 3x)n là 90. Tìm n.
Bài 8 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (x3 + 1/x)8
Bài 9 Từ khai triển biểu thức (3x – 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được?
Bài 10 Chứng minh rằng:
a) 1110 – 1 chia hết cho 100;
b) 101100 – 1 chia hết cho 10 000;
c) là một số nguyên.
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:
Chuyên đề Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
Chuyên đề Phép thử và biến cố
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 11 | Giải bài tập Hóa học 11 Học kì 1, Học kì 2 (Sách mới)
- Lý thuyết Hóa học 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Hóa 11
- Giải sbt Hóa học 11 (sách mới) | Sách bài tập Hóa học 11
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 11
- Giáo án Hóa học lớp 11 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 11 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ Văn 11 (sách mới)
- Soạn văn 11 (ngắn nhất) | Để học tốt Ngữ văn 11 (sách mới)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 | Giải bài tập Tiếng anh 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (sách mới) | Sách bài tập Tiếng Anh 11
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Lịch sử 11 | Giải bài tập Lịch sử 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Lịch Sử 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Lịch Sử 11
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 11
- Giải sgk Vật Lí 11 | Giải bài tập Vật lí 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Vật Lí 11 (sách mới) | Sách bài tập Vật Lí 11
- Lý thuyết Vật Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Vật Lí 11
- Các dạng bài tập Vật Lí lớp 11
- Giáo án Vật lí lớp 11 mới nhất
- Giải sgk Sinh học 11 | Giải bài tập Sinh học 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Sinh học 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Sinh 11
- Giải sgk Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Địa Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Địa lí 11
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 11
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 11