Chuyên đề Vectơ trong không gian (2022) - Toán 11

Chuyên đề Vectơ trong không gian - Toán 11

A. Lý thuyết.

I. Định nghĩa và các phép toán về vecto trong không gian.

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vecto, được kí hiệu là →AB.

1. Định nghĩa.

- Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu →AB chỉ vecto có điểm đầu là A, điểm cuối là B. Vecto còn được kí hiệu là →a;  →b;  →x;  →y....

- Các khái niệm liên quan đến vecto như giá của vecto, độ dài của vecto, sự cùng phương, cùng hướng của vecto, vecto – không, sự bằng nhau của hai vecto … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

2. Phép cộng và phép trừ vecto trong không gian

- Phép cộng và phép trừ của hai vecto trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai vecto trong mặt phẳng.

- Phép cộng vecto trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vecto trong mặt phẳng. Khi thực hiện phép cộng vecto trong không gian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vecto trong hình học phẳng.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh →DA +​  →BC =  →BA  +​  →DC

Lời giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: →DA  = →DC + →CA

Ta có: 

→DA +​  →BC = →DC + →CA   +​  →BC=  →DC +​  (→BC +​  →CA)=  →DC  +​  →BA

( điều phải chứng minh).

II. Điều kiện đồng phẳng của ba vecto.

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vecto trong không gian.

Trong không gian cho ba vecto →a; →b ;  →c  ≠→0. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ: →OA  = →a; →OB  = →b ; →OC=  →c  thì có thể xảy ra hai trường hợp:

+ Trường hợp các đường thẳng OA; OB; OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng ba vecto →a; →b ;  →c   không đồng phẳng.

+ Trường hợp các đường thẳng OA; OB; OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói rằng ba vecto →a; →b ;  →c   đồng phẳng.

Trong trường hợp này, giá của các vecto →a; →b ;  →c   luôn luôn song song với một mặt phẳng.

- Chú ý. Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vecto nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

2. Định nghĩa:

Trong không gian ba vecto được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành  ABEF  và K  là tâm hình bình hành BCGF. Chứng minh →BD,→IK,→GF đồng phẳng.

Lời giải:

Xét  tam giác FAC có I ; K lần lượt là trung điểm của AF và FC nên IK là  đường trung bình của tam   giác.

⇒ IK// AC nên  IK// mp ( ABCD) .

Vì BC// GF nên GF // mp( ABCD)

Ta có : {IK//(ABCD)GF//(ABCD)BD⊂(ABCD)  

⇒→BD,→IK,→GF đồng phẳng.

3. Điều kiện để ba vecto đồng phẳng.

- Định lí 1.

Trong không gian cho hai vecto →a; →b không cùng phương và vecto →c. Khi đó, ba vecto →a;  →b;  →c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m; n sao cho →c  =  m→a+ n  →b. Ngoài ra, cặp số m; n là suy nhất.

- Định lí 2.

Trong không gian cho ba vecto không đồng phẳng →a;  →b;  →c. Khi đó, với mọi vecto ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho →x  = m→a+n  →b+p  →c. Ngoài ra, bộ ba số m; n; p là duy nhất.

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M  là trung điểm của  BB’ . Đặt →CA  = →a;  →CB = →b; →A​A'=  →c. Phân tích vecto →AM theo →a;  →b;  →c.

Lời giải:

 Áp dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hiệu hai vecto ta có :

→AM=→AB+→BM=→CB−→CA+12→BB' (vì  M là  trung  điểm của BB’) .

=→b−→a+12→AA'=→b−→a+12→c

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với G là trọng tâm của tam giác A’B’C’. Đặt AA'→ = a→, AB→ = b→, AC→ = c→

a) Vecto B'C→ bằng:

A. a→ - b→ - c→

B. c→ - a→ - b→

C. b→ - a→ - c→

D. a→ + b→ + c→

b) Vecto AG→ bằng:

A. a→ + 1/6(b→ + c→)

B. a→ + 1/4(b→ + c→)

C. a→ + 1/2(b→ + c→)

D. a→ + 1/3(b→ + c→)

Lời giải:

Đáp án: a - B, b - D

a. B'C→ = AC→ - AB'→ = AC→ - (AA'→ + AB→ ) = c→ - a→ - b→

b. AG→ = AA'→ + A'G→ = AA'→ + 1/3 (A'B'→+ A'C'→ ) = a→ + 1/3(b→ + c→)

Bài 2: Cho tứ diện ABCD và AB→ = a→,AC→ = b→,AD→ = c→. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, và DA.

a) Vecto MQ→bằng:

A. 1/2(c→ - a→)      

B. 1/2(a→ - c→)

C. 1/2(c→ + a→)      

D. 1/4(c→ + a→)

b) Vecto MP→ bằng:

A. 1/2(c→ - a→)      

B. 1/2(a→ - c→)

C. 1/2(b→ + c→ - a→)      

D. 1/2(a→ + b→ - c→)

c) Bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc mặt phẳng vì:

A. MP→ = $\frac{1}{2}$(AC→ + AD→ - AB→)

B. MP→ = $\frac{1}{2}$ (MN→ + MQ→ )

C. MP→ = MB→ + BP→

D. MP→ = MN→ + MQ→

Lời giải:

Đáp án: a - A, b - C, c - D

a. MQ=1$\underset{MQ}{\to }= \frac{1}{2}\underset{BD}{\to }=\frac{1}{2}.(\underset{AD}{\to }-\underset{AB}{\to })=\frac{1}{2}(\underset{c}{\to }-\underset{a}{\to })$

b.Loại ngay hai phương án A và B vì MP→ không đồng phẳng có vecto a→ và c→. Phương án đúng là C vì MP→ = MN→ + NP→ = $\frac{1}{2}$(b→ + C→- a→)

c. Phương án A loại vì đẳng thức MP→ = $\frac{1}{2}$ (AC→ + AD→ - AB→) đúng nhưng chưa chứng tỏ được bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Phương án B loại vì đẳng thức. MP→ = $\frac{1}{2}$(MN→+ MQ→) sai

Phương án C loại vì đẳng thức MP→ = MB→ + BP→ đúng nhưng không liên quan đến hai điểm N và Q.

Phương án D đúng vì đẳng thức MP→ = MN→ + MQ→ đúng và chứng tỏ ba vecto MP→, MN→ và MQ→ đồng phẳng.

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh bằng a.

a) Số đo góc giữa BC→ và SA→ bằng:

A. 300      

B. 600

C. 900      

D. 1200

b) Gọi M là điểm bất kì trên AC. Góc giữa MS→ và BD→ bằng 900 khi M:

A. Trùng với A

B. Trùng với C

C. Là trung điểm của AC

D. Bất kì vị trí nào trên AC.

Lời giải:

Đáp án: a - B, b - C

Bài 4: Cho tứ diện ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD, AB = 2a, CD = 2b và EF = 2c. M là một điểm bất kì.

a) MA2 + MB2 bằng:

A. 2ME2 + 2a2      

B. 2MF2 + 2a2

C. 2ME2 + 2b2      

D. 2MF2 + 2b2

b) MC2 + MD2 bằng:

A. 2ME2 + 2a2      

B. 2MF2 + 2a2

C. 2ME2 + 2b2      

D. 2MF2 + 2b2

c) Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. ME2 + MF2 bằng:

A. 2MG2 + 2a2      

B. 2MG2 + 2b2

C. 2MG2 + 2c2      

D. 2MG2 + 2(a2 + b2 + c2)

d) MA2 + MB2 + MC2 + MD2 bằng:

A. 4MG2 + 2a2      

B. 4MG2 + 2b2

C. 4MG2 + 2c2      

D. 4MG2 + 2(a2 + b2 + c2)

Lời giải:

Đáp án: a - A, b - D, c - C

a. MA2 = (ME→ + EA→ )2 = ME2 + EA2 + 2ME→.EA→

MB2 = (ME→ + EB→ )2 = ME2 + EB2 + 2ME→.EB→

Suy ra: MA2 + MB2 = 2ME2 + 2a2 (do EA→ + EB→ = 0→)

b. Tương tự MC2 + MD2 = 2MF2 + 2b2

c. Tương tự ME2 + MF2 = 2MG2 + 2c2

d. MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2ME2 + 2MF2 + 2a2 + 2b2 = 4MG2 + 2(a2 + b2 + c2)

Bài 5: Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và đều có độ dài là l. Gọi M là trung điểm của các cạnh AB. Góc giữa hai vecto OM→ và BC→ bằng:

A. 00      

B. 450

C. 900      

D. 1200

Lời giải:

Đáp án: D

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC bằng a√2.

a) Tích vô hướng SA→.AB→ bằng:

b) Tích vô hướng SC→.AB→ bằng:

c) Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng:

A00

B. 1200

C. 600

D. 900

Lời giải:

Đáp án: a - C, b - D, c - C

 Phương án A sai vì SA→.SB→ ≠ |SA→|.|SB→| = a2

Phương án B sai vì:

Phương án C đúng:

Phương án D sai vì SA→.AB→ = -AS→.AB→ ≠ -|AS→ |.|AB→ | = -a2

 Tam giác SAC; SAB là tam giác đều

tam giác SCB; ABC vuông cân.

Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy hai điểm P và Q lần lượt thuộc AD và BC sao cho PA→ = mPD→ và QB→ = mQC→, với m khác 1. Vecto MP→ bằng:

A. MP→ = mQC→

B. MN→ = mPD→

C. MA→ = mPD→

D. MN→ = mQC→

Lời giải:

Đáp án: C

Phần dẫn ví dụ 1 là một câu chưa hoàn chỉnh, người làm chắc nghiệm phải lựa chọn một trong bốn phương án đưa ra để được một khẳng định đúng.

Có thể loại các phương án A, B và D vì các cặp ba vecto (MP→,MB→,và QC→), (MP→,MN→,PD→) và (MP→,MN→ và QC→) đều không đồng phẳng.

Phương án C đúng vì : MP→ = MA→ + AP→ = MA→ - mPD→

Bài 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, và DA.

a) Vecto (MN) ⃗ cùng với hai vecto nào sau đây là ba vecto đồng phẳng?

A. MA→ và MQ→

B. MD→ và MQ→

C. AC→ và AD→

D. MP→ và CD→

b) Vecto AC→ cùng với hai vecto nào sau đây là ba vecto không đồng phẳng?

A. AB→ và AD→

B. MN→ và AD→

C. QM→ và BD→

D. QP→ và CD→

Lời giải

Đáp án: a - C, b - A

a) Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra: MN// AC và $MN = \frac{1}{2}AC$  (1)

Tương tự: QP là đường trung bình của tam giác ACD nên QP // AC và $QP=\frac{1}{2}AC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác MNPQ là hình bình hành ( có các cạnh đối song song và bằng nhau

 ⇒ MN→ = QP→     (3)

Lại có: QP→ = 1/2 AC→ + 0. AD→     (4)

Từ (3); (4) ⇒ MN→ = 1/2 AC→ + 0. AD→

Do đó, 3 vecto MN→; AC→; AD→ đồng phẳng

b) Phương án A là đúng.

B sai vì MN→ = 1/2 AC→ nên 3 vecto MN→; AC→ và AD→ đồng phẳng

C sai vì QM→ = - 1/2 BD→ nên 3 vecto QM→ và BD→; AC→ đồng phẳng

D sai vì QP→ = 1/2 AC→ nên 3 vecto QP→; AC→ và CD→ đồng phẳng

Bài 9: Cho ba vecto a→, b→, C→. Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vecto đó đồng phẳng.

A. Một trong ba vecto đó bằng 0→.

B. Có hai trong ba vecto đó cùng phương.

C. Có một vecto không cùng hướng với hai vecto còn lại

D. Có hai trong ba vecto đó cùng hướng.

Lời giải:

Đáp án: C

Nếu hai trong ba vecto đó cùng hướng thì ba vecto đồng phẳng; nếu hai trong ba vecto đó không cùng hướng thì chưa thể kết luận được ba vecto đó đồng phẳng.

Bài 10: Ba vecto a→, b→, c→ không đồng phẳng nếu?

A. Ba đường thẳng chứa chúng không cùng một mặt phẳng.

B. Ba đường thẳng chứa chúng cùng thuộc một mặt phẳng.

C. Ba đường thẳng chứa chúng không cùng song song với một mặt phẳng.

D. Ba đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Lời giải:

Đáp án: C

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Cho tứ diện ABCD với G là trọng tâm và các điểm M, N, P, Q, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD, AC, BD.

a) Những vecto khác 0→ bằng nhau là:

MN→,CI→,QP→

MI→,IQ→,QM→

MQ→,NP→, 1/2 (CB→ - CD→)

MQ→,NP→, 1/2(CD→ - CB→)

b) AB→ + AC→ + AD→ bằng:

A. 4AG→      

B. 2AG→

C. AG→      

D. 1/2 AG→

Lời giải:

a.MQ→ = NP→ = 1/2 BD→ = 1/2(CD→ - CB→);

b. AB→ + AC→ + AD→ = 2AN→ + AD→ = 4AG

Bài 1 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A^'B^'C^'D^'. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên AA^', BB^', CC^', DD^' lần lượt tại I, K, L, M. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ:

Lời giải:

Bài 2 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A^'B^'C^'D^'. Chứng minh rằng:

Lời giải:

Bài 3 Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng: 

Lời giải:

Bài 4 Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của AB và CD.

Lời giải:

 

 

 

 

Bài 5 Cho hình tứ diện ABCD. Hãy xác định hai điểm E, F sao cho :

Lời giải:

 

 

 

 

a) Lấy điểm G sao cho $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

⇒ G là đỉnh còn lại của hình bình hành ABGC.

Khi đó $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AD}$

⇒ E là đỉnh còn lại của hình bình hành AGED.

Hay E là đường chéo của hình hộp có ba cạnh lần lượt là AB; AC; AD.

⇒ F là đỉnh còn lại của hình bình hành ADGF

Hay F là điểm đối xứng với E qua G.

Bài 6 Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. CMR: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DG}$

Lời giải

Bài 7 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kỳ trong không gian. Chứng minh rằng :

Lời giải:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bài 8 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có AA'→=a→; AB→=b→; AC→=c→ .Hãy phân tích (hay biểu thị) các vectơ B'C→, BC'→ qua các vectơ a→ ,b→ , c→

Lời giải:

 

 

 

 

 

Bài 9 Cho tam giác ABC. Lấy một điểm S ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho $\overrightarrow{MS}=-2\overrightarrow{MA}$ và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho $\overrightarrow{NB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$. Chứng minh ba vector AB, MN, SC đồng phẳng

Lời giải:

Do đó, ba vecto AB→ , MN→ , SC→ đồng phẳng

III. Bài tập vận dụng

Bài 1

Bài 2 Cho hình lăng trụ tứ giác: $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh bên $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },D{D}^{\prime }$ lần lượt tại $I,K,L,M$. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm $I,K,L,M$ và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ:

 a) Các vectơ cùng phương với $\overrightarrow{IA}$;

b) Các vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{IA}$;

c) Các vectơ ngược hướng với $\overrightarrow{IA}$.

Bài 3 Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ + $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ = $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$;

b)  $\overrightarrow{BD}$ - $\overrightarrow{D^{\prime }D}$ - $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ = $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$;

c)  $\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}$ + $\overrightarrow{DB}$ + $\overrightarrow{C^{\prime }D}$ = $\overrightarrow{0}$.

Bài 4 Cho hình bình hành . Gọi  là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa hình bình hành. chứng minh rằng:  +  =  + .

Bài 5 Cho hình tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng: 

a) $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$

b) $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})$

Bài 6 Cho hình tứ diện $ABCD$. Hãy xác định hai điểm $E,F$ sao cho:

a) $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD};$

b) $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.$

Bài 7 Cho hình tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DG}.$

Bài 8 Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC$ và $BD$ của tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ và $P$ là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0};$

b) $\overrightarrow{PI}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}).$

Bài 9 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với G là trọng tâm của tam giác A’B’C’. Đặt $\overrightarrow{AA\text{'}}$ = $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AB}$ =$\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{c}$

Bài 10 Cho tứ diện ABCD và $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{c}$. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, và DA.

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Hai đường thẳng vuông góc

Chuyên đề Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Chuyên đề Hai mặt phẳng vuông góc

Chuyên đề Khoảng cách

Chuyên đề Ôn tập chương 3