Chuyên đề Giới hạn của hàm số (2022) - Toán 11

Với Chuyên đề Giới hạn của hàm số (2022) - Toán 11 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 11 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.

1 1,194 18/08/2022

Tải về

Trang trước

Trang sau

Chuyên đề Giới hạn của hàm số - Toán 11

A. Lý thuyết

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho khoảng K chứa điểm x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x₀}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n K \{x₀} và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\lim_{x \to \infty} f (x) = L$ hay f(x) → L khi x → x₀.

Nhận xét: $\lim_{x \to \infty} x = x_{0}, \lim_{x \to \infty} c = c$ với c là hằng số.

Ví dụ 1. Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{3} - 8}{x - 2}$ . Chứng minh rằng $\lim_{x \to 2} f (x) = 12 .$

Giải

Hàm số xác định trên $ℝ \ \{2\}$

Giả sử (x_n) là một dãy số bất kì, thỏa mãn $x_{n} \neq 2$ và $x_{n} \to 2$ khi $n \to + \infty$ .

Ta có:

$limf (x_{n}) = \lim \frac{x_{n}^{3} - 8}{x_{n} - 2} = \lim \frac{(x_{n} - 2) (x_{n}^{2} + 2 x_{n} + 4)}{x_{n} - 2} = \lim (x_{n}^{2} + 2 x_{n} + 4) = 12 .$

Vậy $\lim_{x \to 2} f (x) = 12 .$

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ và $\lim_{x \to x_{0}} g (x) = M$ . Khi đó:

$\lim_{x \to x_{0}} [f (x) + g (x)] = L + M; \lim_{x \to x_{0}} [f (x) - g (x)] = L - M; \lim_{x \to x_{0}} f (x) . g (x) = L . M; \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{L}{M} (M \neq 0);$

b) Nếu $f (x) \geq 0$ và $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ thì $L \geq 0$ và $\lim_{x \to x_{0}} \sqrt{f (x)} = \sqrt{L} .$

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với $x \neq x_{0}$ ).

Ví dụ 2. Cho hàm số $f (x) = \frac{1 - x}{{(x - 4)}^{2}}$ . Tính $\lim_{x \to 4} f (x) .$

Giải

Ta có:

$\lim_{x \to 4} (1 - x) = - 3 < 0, \lim_{x \to 4} {(x - 4)}^{2} = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 4} f (x) = \lim_{x \to 4} \frac{1 - x}{{(x - 4)}^{2}} = - \infty$

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x₀; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = L$

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x₀).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, a < x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = L$ .

Định lí 2

$\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = \lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = L$

Ví dụ 3. Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{x} + 1 khi x \geq 0 \\ 2x khi x < 0 \end{cases}$ . Tìm $\lim_{x \to 0^{+}} f (x); \lim_{x \to 0^{-}} f (x)$ và $\lim_{x \to 0} f (x)$ (nếu có).

Giải

Ta có:

$\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (\sqrt{x} + 1) = 0; \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} 2 x = 0; \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = 0$

Do đó $\lim_{x \to 0} f (x) = 0 .$

Vậy $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = 0$ và $\lim_{x \to 0} f (x) = 0 .$

II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\lim_{x \to + \infty} f (x) = L$

b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → –∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\lim_{x \to - \infty} f (x) = L$

Chú ý:

a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

$\lim_{x \to + \infty} c = c; \lim_{x \to - \infty} c = c;$ $\lim_{x \to + \infty} \frac{c}{x^{k}} = 0; \lim_{x \to - \infty} \frac{c}{x^{k}} = 0 .$

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x₀ vẫn còn đúng khi x_n → +∞ hoặc x → –∞

III. Giới hạn vô cực của hàm số

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → –∞

Kí hiệu: $\lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty$

Nhận xét:

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty \Leftrightarrow \lim_{x \to + \infty} (- f (x)) = - \infty$ .

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\lim_{x \to + \infty} x^{k} = + \infty$ với k nguyên dương.

b) Nếu k chẵn thì $\lim_{x \to - \infty} x^{k} = + \infty$ ;

Nếu k lẻ thì $\lim_{x \to - \infty} x^{k} = - \infty$ .

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

Lý thuyết Giới hạn của hàm số - Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{f (x)}{g (x)}$

Lý thuyết Giới hạn của hàm số - Toán lớp 11 (ảnh 1)

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với $x \neq x_{0}$ )

Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:

$x \to x_{0}^{+}, x \to x_{0}^{-}; x \to + \infty; x \to - \infty .$

Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to \infty} (x^{4} - 3 x + 8)$ ;

b) $\lim_{x \to 1^{-}} \frac{5 x - 6}{2 x - 2};$

c) $\lim_{x \to - 3^{+}} \frac{x}{x + 3};$

Giải

$\lim_{x \to + \infty} (x^{4} - 3 x + 8) = \lim_{x \to \infty} x^{4} (1 - \frac{3}{x^{3}} + \frac{8}{x^{4}}) = \lim_{x \to + \infty} x^{4} . \lim_{x \to + \infty} (1 - \frac{3}{x^{3}} + \frac{8}{x^{4}}) = + \infty$

(Vì $\lim_{x \to + \infty} x^{4} = + \infty;$ $\lim_{x \to + \infty} (1 - \frac{3}{x^{3}} + \frac{8}{x^{4}}) = 1$ ).

$\lim_{x \to 1^{-}} \frac{5 x - 6}{2 x - 2} = \lim_{x \to 1^{-}} (5 x - 6) : \lim_{x \to 1^{-}} (2 x - 2) = + \infty$

(Vì $\lim_{x \to 1^{-}} (5 x - 6) = - 1 < 0;$ $\lim_{x \to 1^{-}} (2 x - 2) = 0$ và 2x – 2 < 0 với mọi x < 1).

$\lim_{x \to - 3^{+}} \frac{x}{x + 3} = \lim_{x \to - 3^{+}} x : \lim_{x \to - 3^{+}} (x + 3) = - \infty$

( Vì $\lim_{x \to - 3^{+}} x = - 3 < 0;$ $\lim_{x \to - 3^{+}} (x + 3) = 0$ và x + 3 > 0 với mọi x > - 3 ).

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

A. 0

B. -1

C. (-1)/2

D. -∞

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án A

Bài 2:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

A. 1/4

B. 1/6

C. 1/8

D. (-1)/8

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án C

Bài 3:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

A. +∞

B. 1/8

C. -9/8

D. -∞

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án D

Bài 4: Cho hàm số

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Khi đó:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

A. -1

B. 0

C. 1

D. +∞

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án C

Bài 5: Cho hàm số

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 . Xác định a; b để hàm số có giới hạn tại x = 3 và x = 5 .

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án A

Bài 6: Tìm Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

A. 0

B. 2

C. +∞

D. -∞

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án A

Bài 7: Tìm Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

A. 23/3

B. +∞

C. -23/3

D. -∞

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án C

Bài 8: Tìm Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

A. 1

B. 2

C. 3

D.4

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án D

Bài 9: Tính Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

A. 0

B.1

C. 2

D. 3√2

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án A

Bài 10: Giá trị đúng của Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 là:

A. - 1

B. 1

C. 7

D. +∞

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án B

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 2:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 3:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 4:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho x4 ta có

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 5:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 6:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 7:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 8:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 9:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 10:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng?

Bài 2 Giá tri đúng của Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 ?

Bài 3 Cho hàm số Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 . Chọn kết quả đúng của ?

Bài 4 Giới hạn của hàm số Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 khi x → -∞ bằng?

Bài 5 Giới hạn Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng?

Bài 6 Giả sử Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 . Hệ số a bằng bao nhiêu để L = 3 ?

Bài 7 Giới hạn Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng?

Bài 8 Giới hạn Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng?

Bài 9 Giới hạn Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng?

Bài 10 Giới hạn Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng?

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Giới hạn của dãy số

Chuyên đề Hàm số liên tục

Chuyên đề Ôn tập chương 4

Chuyên đề Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Chuyên đề Quy tắc tính đạo hàm

1 1,194 18/08/2022

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3