Chuyên đề Giới hạn của hàm số (2022) - Toán 11

Chuyên đề Giới hạn của hàm số - Toán 11

A. Lý thuyết

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho khoảng K chứa điểm x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x₀}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n K \{x₀} và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ hay f(x) → L khi x → x₀.

Nhận xét: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0,\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c}$ với c là hằng số.

Ví dụ 1. Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^3-8}{\mathrm{x}-2}$. Chứng minh rằng $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=12.$

Giải

Hàm số xác định trên $\mathrm{ℝ}\backslash \left\{2\right\}$

Giả sử (x_n) là một dãy số bất kì, thỏa mãn ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\ne 2$ và ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\to 2$ khi $\mathrm{n}\to +\infty$.

Ta có:

$$\begin{gathered} \text{limf}\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right)=\lim \frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}^3-8}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}-2} \\ =\lim \frac{\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}-2\right)\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}^2+2{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}+4\right)}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}-2} \\ =\lim \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}^2+2{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}+4\right)=12. \end{gathered}$$

Vậy $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=12.$

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Giả sử $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{M}$. Khi đó:

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]=\mathrm{L}+\mathrm{M}; \\ \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]=\mathrm{L}-\mathrm{M}; \\ \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}.\mathrm{M}; \\ \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{M}}\left(\mathrm{M}\ne 0\right); \end{gathered}$$

b) Nếu $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ge 0$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$ thì $\mathrm{L}\ge 0$ và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\sqrt{\mathrm{L}}.$

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với $\mathrm{x}\ne {\mathrm{x}}_0$).

Ví dụ 2. Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1-\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{x}-4\right)}^2}$. Tính $\underset{\mathrm{x}\to 4}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right).$

Giải

Ta có:

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 4}{\lim }\left(1-\mathrm{x}\right)=-3<0, \underset{\mathrm{x}\to 4}{\lim }{\left(\mathrm{x}-4\right)}^2=0 \\ \Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 4}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 4}{\lim }\frac{1-\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{x}-4\right)}^2}=-\infty \end{gathered}$$

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x₀; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x₀).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, a < x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$.

Định lí 2

$\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}\iff \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

Ví dụ 3. Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{\mathrm{x}}+1\text{ khi x}\ge \text{0}\\ \text{2x khi x < 0}\end{array}\right.$. Tìm $\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right);\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ và $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ (nếu có).

Giải

Ta có:  

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\left(\sqrt{\mathrm{x}}+1\right)=0; \\ \underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }2\mathrm{x}=0; \\ \Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0 \end{gathered}$$

Do đó $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0.$

Vậy $\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0$ và $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0.$

II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → –∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}$

Chú ý:

a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c};\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c};$ $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}}=0;\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}}=0.$

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x₀ vẫn còn đúng khi x_n → +∞ hoặc x → –∞

III. Giới hạn vô cực của hàm số

1. Giới hạn vô cực

Định nghĩa 4

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → –∞

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-\infty$

Nhận xét:

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=+\infty \\ \iff \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left(-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=-\infty \end{gathered}$$.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=+\infty$ với k nguyên dương.

b) Nếu k chẵn thì $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=+\infty$;

Nếu k lẻ thì $\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^{\mathrm{k}}=-\infty$.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}$

(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với $\mathrm{x}\ne {\mathrm{x}}_0$)

Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:

$\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{+},\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0^{-};\mathrm{x}\to +\infty ;\mathrm{x}\to -\infty .$

Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\left({\mathrm{x}}^4-3\mathrm{x}+8\right)$;

b) $\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\frac{5\mathrm{x}-6}{2\mathrm{x}-2};$

c) $\underset{\mathrm{x}\to -3^{+}}{\lim }\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3};$

Giải

a)

 $$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left({\mathrm{x}}^4-3\mathrm{x}+8\right) \\ =\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }{\mathrm{x}}^4\left(1-\frac{3}{{\mathrm{x}}^3}+\frac{8}{{\mathrm{x}}^4}\right) \\ =\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^4.\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{3}{{\mathrm{x}}^3}+\frac{8}{{\mathrm{x}}^4}\right)=+\infty \end{gathered}$$

(Vì $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{x}}^4=+\infty ;$$\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{3}{{\mathrm{x}}^3}+\frac{8}{{\mathrm{x}}^4}\right)=1$).

b)

$\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\frac{5\mathrm{x}-6}{2\mathrm{x}-2}=\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\left(5\mathrm{x}-6\right):\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\left(2\mathrm{x}-2\right)=+\infty$

(Vì $\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\left(5\mathrm{x}-6\right)=-1<0;$$\underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\left(2\mathrm{x}-2\right)=0$ và 2x – 2 < 0 với mọi x < 1).

c)

$\underset{\mathrm{x}\to -3^{+}}{\lim }\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3}=\underset{\mathrm{x}\to -3^{+}}{\lim }\mathrm{x}:\underset{\mathrm{x}\to -3^{+}}{\lim }\left(\mathrm{x}+3\right)=-\infty$

( Vì $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }x=-3<0;$$\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\left(x+3\right)=0$ và x + 3 > 0 với mọi x > - 3 ).

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1:

A. 0        

B. -1        

C. (-1)/2        

D. -∞

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 2:

A. 1/4        

B. 1/6        

C. 1/8        

D. (-1)/8

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 3:

A. +∞        

B. 1/8        

C. -9/8        

D. -∞

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 4: Cho hàm số

Khi đó:

A. -1        

B. 0        

C. 1        

D. +∞

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 5: Cho hàm số

 . Xác định a; b để hàm số có giới hạn tại x = 3 và x = 5 .

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 6: Tìm 

A. 0

B. 2

C. +∞

D. -∞

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 7: Tìm 

A. 23/3

B. +∞

C. -23/3

D. -∞

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 8: Tìm 

A. 1

B. 2

C. 3

D.4

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 9: Tính 

A. 0

B.1

C. 2

D. 3√2

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 10: Giá trị đúng của  là:

A. - 1

B. 1

C. 7

D. +∞

Lời giải:

Chọn đáp án B

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1:

Lời giải:

Bài 2:

Lời giải:

Bài 3:

Lời giải:

Bài 4:

Lời giải:

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho x4 ta có

Bài 5:

Lời giải:

Bài 6:

Lời giải:

Bài 7:

Lời giải:

Bài 8:

Lời giải:

Bài 9:

Lời giải:

Bài 10:

Lời giải:

III. Bài tập vận dụng

Bài 1  bằng?

Bài 2 Giá tri đúng của ?

Bài 3 Cho hàm số . Chọn kết quả đúng của ?

Bài 4 Giới hạn của hàm số  khi x → -∞ bằng?

Bài 5 Giới hạn  bằng?

Bài 6 Giả sử . Hệ số a bằng bao nhiêu để L = 3 ?

Bài 7 Giới hạn  bằng?

Bài 8 Giới hạn  bằng?

Bài 9 Giới hạn  bằng?

Bài 10 Giới hạn  bằng?

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Giới hạn của dãy số

Chuyên đề Hàm số liên tục

Chuyên đề Ôn tập chương 4

Chuyên đề Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Chuyên đề Quy tắc tính đạo hàm