Chuyên đề Khoảng cách (2022) - Toán 11

Chuyên đề Khoảng cách - Toán 11

A. Lý thuyết.

I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, một mặt phẳng.

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng a. Trong mặt phẳng (O; a), gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên a. Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a.

Kí hiệu: d(O; a).

Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách từ B tới đường thẳng DB'.

Lời giải:

Từ giả thuyết ta suy ra:  $BD=\sqrt{B{C}^2+\text{\hspace{0.17em}}C{D}^2}=a\sqrt{2}$

Gọi H là hình chiếu của B lên DB' ta có: BH = d (B, DB').

Xét tam giác BB'D vuông tại B ta có:

$$\begin{gathered} \frac{1}{B{H}^2}=\frac{1}{B^{\text{'}}{B}^2}+\frac{1}{B{D}^2} \\ =\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{3}{2a^2} \\ \Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{6}}{3} \end{gathered}$$

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng (α). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (α). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) và được kí hiệu là d(O; (α)).

Ví dụ 2. Cho hình chóp S. ABC có $SA\perp \left(ABC\right)$, ∆ABC là tam giác đều cạnh  a và tam giác SAB cân. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Lời giải:

Gọi D là trung điểm BC. Do tam giác ABC đều nên $AD\perp BC$ (1).

Trong tam giác SAD, kẻ $AH\perp SD$ (2).

Do $\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}SA\perp \left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\ AD\perp BC\\ SA\cap AD=\left\{A\right\}\end{array}\right.\\ \Rightarrow BC\perp \left(SAD\right)\Rightarrow \left(SBC\right)\perp \left(SAD\right)\end{array}$ (3).

Từ (2) và (3), ta suy ra AH vuông góc với (SBC) nên d(A ; (SBC))= AH.

Theo giả thiết, ta có SA = AB = a, $AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường cao trong tam giác đều cạnh a).

Tam giác SAD vuông nên

 $\begin{array}{l}\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{D}^2}\\ \iff \frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{3a^2}\\ \iff \frac{1}{A{H}^2}=\frac{7}{3a^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\end{array}$

II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.

1. Khoảng cách giữa đường thẳng và măt phẳng song song.

- Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a đến mặt phẳng (α).

Kí hiệu là d(a; (α)) .

2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

- Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

- Kí hiệu: d((α); (β)).

Như vậy: d((α); (β)) = d(M; (β)) = d(M’; (α)).

III. Đường vuông góc chung và khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau.

1. Định nghĩa.

a) Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc  với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

b) Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M; N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

- Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (β) là mặt phẳng chứa b và song song với a; a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (β).

Vì a// (β) nên a// a’. Do đó; a’ cắt b tại 1 điểm là N

Gọi (α) là mặt phẳng chứa a và a’; ∆ là đường thẳng đi qua N và vuông góc với (β). Khi đó, (α) vuông góc (β).

Như vậy.∆ nằm trong (α) nên cắt đường thẳng a tại M và cắt đường thẳng b tại N.Đồng thời, ∆ vuông góc với cả a và b.

Do đó, ∆ là đường vuông góc chung của a và b.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC.

Lời giải :

Do $\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)$ và  $BC\perp AB\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)$.

Vì tam giác SAB đều nên gọi M là trung điểm của SA thì $BM\perp SA$ nên BM là đoạn vuông góc chung của BC và SA.

Vậy $d\left(SA;BC\right)=BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. Nhận xét

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA= a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là

Lời giải :

Vì $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD$.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}SA\perp AD\\ AB\perp AD\end{array}\right.\Rightarrow AD\perp \left(SAB\right)$$\Rightarrow d\left(D,\left(SAB\right)\right)=DA$.

Vì $\left\{\begin{array}{l}CD\not\subset \left(SAB\right)\\ CD\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}AB\\ AB\subset \left(SAB\right)\end{array}\right.$

Suy ra:  CD // (SAB) nên :

d(CD, SB) = d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB)) = DA = a,

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1 Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a²; BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

A. 2a               

B. 4a               

C.3a               

D. 5a

Lời giải:

+ Kẻ AH vuông góc với BC

Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

Lại có: AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH)

⇒ SH ⊥ BC và khoảng cách từ S đến BC chính là SH

+ Ta có tam giác vuông SAH vuông tại A nên ta có

Chọn D

Bài 2: Cho hình chóp ABCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng

Lời giải:

+ Do tam giác BCD đều cạnh a nên đường trung tuyến CM đồng thời là đường cao và MC = a√3/2

+ Ta có: AC ⊥ (BCD) ⇒ AC ⊥ CM

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AM

Ta có: 

Chọn đáp án C

Bài 3: Cho tứ diện SABC trong đó SA; SB; SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA = 3a; SB = a; SC = 2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

Lời giải:

Chọn đáp án B

Xét trong tam giác SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có:

+ Ta dễ chứng minh được AB ⊥ (SBC) ⊃ SH ⇒ AS ⊥ SH

⇒ tam giác SAH vuông tại S.

Áp dụng định lsi Pytago trong tam giác ASH vuông tại S ta có:

Chọn B

Bài 4 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a. Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng

Lời giải:

- Gọi M là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A trên SM

- Ta có BC ⊥ AM ( trong tam giác đều đường trung tuyến đồng thời là đường cao). Và BC ⊥ SA ( vì SA vuông góc với (ABC)). Nên BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥ AH

Mà AH ⊥ SM, do đó AH ⊥ (SBC)

Chọn đáp án C

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

Lời giải:

SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD, AD ⊥ CD

Suy ra (SAD) ⊥ CD

Trong ( SAD) kẻ AH vuông góc SD tại H

Khi đó AH ⊥ (SCD)

Chọn đáp án C

Bài 6: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến (ABC) bằng :

A. 2a                 

B. a√3                  

C. a                 

D. a√5

Lời giải:

+ Gọi O là trọng tâm tam giác ABC.Do tam giác ABC đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

+ Ta có: SA = SB = SC và OA = OB = OC nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó SO ⊥ (ABC)

 

Chọn đáp án C

II. Bài tập tự luận có lời giải

 

Bài 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a²; BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Kẻ AH vuông góc với BC  

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AH.BC$$\Rightarrow AH=\frac{2.S_{\Delta ABC}}{BC}=\frac{4a^2}{a}=4a$

Ta có: $SA\perp \left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC$

Lại có:  $AH\perp BC$ nên BC $\perp$ ( SAH)

Suy ra: $SH\perp BC$ và khoảng cách từ S đến BC chính là SH .

+ Ta có tam giác vuông  SAH  vuông tại A nên  ta có  $$\begin{gathered} SH=\sqrt{S{A}^2+A{H}^2}=\sqrt{{\left(3a\right)}^2+{\left(4a\right)}^2} \\ =5a \end{gathered}$$

Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a, $AB=a\sqrt{3}$. Khoảng cách từ AA' đến mặt phẳng (BCC'B') là:

Lời giải:

Ta có AA’//(BCC’B’) nên khoảng cách từ AA' đến mặt phẳng (BCC'B') cũng chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').

Hạ $AH\perp BC\Rightarrow AH\perp \left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$.

Ta có

$$\begin{gathered} \frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2} \\ =\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{B{C}^2-A{B}^2} \\ =\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{4}{3a^2} \\ \Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Vậy khoảng cách từ AA' đến mặt phẳng (BCC'B') bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Bài 3. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách từ B đến (SCD).

Lời giải:

Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD .

Suy ra HM =1, $SH=\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $SM=\frac{\sqrt{7}}{2}$

Vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) nên $SH\perp \left(ABCD\right)$.

Vì AB//CD nên AB// (SCD).

Do đó d (B; (SCD)) = d(H; (SCD)) = HK với $HK\perp SM$ trong (SHM).

Ta có: 

$\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{M}^2}\Rightarrow HK=\frac{\sqrt{21}}{7}$

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác vuông tại B, AB = SA= a. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Khoảng cách giữa AH và BC bằng:

Lời giải:

Ta có $AH\perp SB\Rightarrow AH\perp HB$.

$\left.\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right\}\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH$ (nên $BC\perp BH$).

Do đó, d(BC, AH) = HB.

Tam giác SAB vuông cân tại A, AH là đường cao

$\Rightarrow BH=\frac{SB}{2}=\frac{\sqrt{a^2+a^2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Vậy $d\left(BC,AH\right)=\frac{a}{\sqrt{2}}$.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho ba mặt phẳng $(\alpha ),(\beta ),(\gamma )$ những mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Nếu (α) ⊥ (β) và (α) // () thì (β) ⊥ $(\gamma )$

b) Nếu (α) ⊥ (β) và (α) ⊥ $(\gamma )$ thì (β) // $(\gamma )$

Bài 2 Cho hai mặt phẳng  và  vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến  của hai mặt phẳng đó hai điểm  và  sao cho . Gọi  là một điểm trên  và  là một điểm trên  sao cho  và  cùng vuông góc với giao tuyến  và , . Tính độ dài đoạn .

Bài 3 Trong mặt phẳng $(\alpha )$ cho tam giác $ABC$ vuông ở $B$. Một đoạn thẳng $AD$ vuông góc với $(\alpha )$ tại $A$. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{ABD}$ là góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(DBC)$;

b) Mặt phẳng $(ABD)$ vuông góc với mặt phẳng $(BCD)$;

c) $HK//BC$ với $H$ và $K$ lần lượt là giao điểm của $DB$ và $DC$ với mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $DB$.

Bài 4 Cho hai mặt phẳng ,  cắt nhau và một điểm  không thuộc  và không thuộc . Chứng minh rằng qua điểm  có một và chỉ một mặt phẳng  vuông góc với  và . Nếu  song song với  thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào?

Bài 5 Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }D)$ vuông góc với mặt phẳng $(BC{D}^{\prime }{A}^{\prime })$;

b) Đường thẳng $A{C}^{\prime }$ vuông góc với mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$.

Bài 6 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là một hình thoi cạnh $a$ và có $SA=SB=SC=a$. Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng $(ABCD)$ vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$;

b) Tam giác $SBD$ là tam giác vuông.

Bài 7 Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=a,BC=b,C{C}^{\prime }=c$.

a) Chứng minh rằng mặt phẳng $(AD{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ vuông góc với mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.

b) Tính độ dài đường chéo $A{C}^{\prime }$ theo $a,b,c$.

Bài 8 Tính độ dài đường chéo của một hình lập phương cạnh alpha.

Bài 9 Nhắc lại nội dung định lí ba đường thẳng vuông góc

Bài 10 Nhắc lại định nghĩa:

a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

b) Góc giữa hai mặt phẳng.

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Vectơ trong không gian

Chuyên đề Hai đường thẳng vuông góc

Chuyên đề Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Chuyên đề Hai mặt phẳng vuông góc

Chuyên đề Ôn tập chương 3