Chuyên đề Hai mặt phẳng vuông góc (2022) - Toán 1

Đáp án: a- B, b - C, c - D

a. Các tam giác ABC và ABD là tam giác đều ⇒ tam giác ACD cân

⇒ BN ⊥ CD và AN ⊥ CD ⇒ góc ANB là góc của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)

b. Ta có CD ⊥ (ABN) (do BN ⊥ CD và AN ⊥ CD) ⇒ (BCD) ⊥ (ABN)

c. CD ⊥ MN; AB ⊥ (CDM) (do AB ⊥ CM và AB ⊥ DM)

MN là đường vuông góc chung của AB và CD

Đáp án: a - C, b - C

a. Phương án A sai vì chỉ có AB ⊥ CD; phương án B sai vì chỉ có : BC ⊥ CD

Phương án C đúng vì

Phương án D sai vì AD không vuông góc với đường thẳng nào thuộc mặt phẳng (BCD)

b. CD ⊥ (ABC) vì CD ⊥ AB và CD ⊥ BC

AB ⊥ (BCD) vì AB ⊥ BC và AB ⊥ CD

Phương án A sai vì tam giác ABC không vuông góc tại C nên trung điểm của AB không cách đều ba điểm A, B, C

Phương án B sai vì tam giác ABC không vuông góc tại A nên trung điểm của BC không cách đều ba điểm A, B, C

Phương án C đúng vì tam giác ACD vuông góc tại C nên trung điểm K của AD cách đều ba điểm A, C, D; tam giác ABD vuông góc tại B nên trung điểm K của AD cách đều ba điểm A, B và D

Phương án D sai vì tam giác CBD không vuông góc tại B nên trung điểm của CD không cách đều ba điểm B, C, D

Đáp án: a - A, b - D

a. Tứ giác ABCD là hình vuông nên 

Tam giác SAC có SA = a, SC = a và AC = a√2 ⇒ SAC là tam giác vuông tại S, hay SA ⊥ SC

b. Gọi O là giao của AC và BD ⇒ DO ⊥ (SAC) (do DO ⊥ AC và DO ⊥ SO)

⇒ khoảng cách từ D đến (SAC) bằng DO

Ta có: 

   a) Ta có: 

   *Vì 

   *Vì 

   *Vì 

Vậy mp(CDD’C’) không vuông góc với mặt phẳng (ACC’A’).

b) Ta có: BD = A’B = A’D nên tam giác A’BD là tam giác đều.

Lại có: AB = AD = AA’ nên hình chiếu vuông góc của điểm A lên mp(A’BD) là tâm của tam giác BDA’.

Đáp án: a - A, b - D, c - B

a. AB ⊥ CD và AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ (BCD)

b. vì AB ⊥ (BCD) ⇒ (ABD) ⊥ (BCD)

c. BC ⊥ AB và BC ⊥ CD ⇒ BC là đường vuông góc chung của AB và CD

Đáp án: a - D, b - B

 a) Phương án A sai vì AB và CB không vuông góc với giao tuyến SB của (SAB) và (SBC), nên góc ABC không phải là góc của hai mặt phẳng này;

Phương án B sai vì góc BAD không phải là góc của hai mặt phẳng (SAB) với mặt phẳng (SBC);

Phương án C sai vì AB ⊥ BC thì chưa đủ để kết luận AB vuông góc với mặt phẳng (SBC);

Phương án D đúng vì : BC ⊥ (SAB) do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA ⇒ (SBC) ⊥ (SAB)

b) Phương án A sai vì hai điều kiện AH ⊥ (SBC) (do AH ⊥ SB và AH ⊥ BC) và AK ⊥ (SCD) (do AK vuông góc với SD và AK ⊥ CD) chưa liên quan đến (SAC); phương án B đúng vì AH ⊥(SBC) và AK ⊥ (SCD) nên SC ⊥ (AHK), từ đó suy ra hai mặt phẳng (AHK) và (SAC) vuông góc; phương án C và D đều sai vì chưa đủ điều kiện kết luận SC ⊥ (AHK)

Đáp án: a - A, b - C

EB ⊥(ABCD) vì nó vuông góc với giao tuyến AB của hai mặt phẳng vuông góc đã cho ⇒ CD ⊥ (EBC) ⇒ tam giác ECD vuông tại C.

⇒ DE = a√3. Vậy phương án A đúng

Phương án C đúng vì : hình chiếu của DE lên (ABEF) là AE, mà AE ⊥ BF, suy ra DE ⊥ BF; hình chiếu của DE lên (ABCD) là BD, mà AC ⊥ BD, nên suy ra AC ⊥ DE.

Đáp án: C

Chân đường cao hình chóp đều S.ABCD trùng với tâm O của đáy ABCD. AO là hình chiếu của SA lên (ABCD)

Gọi M là trung điểm của BC ⇒ OM là hình chiếu của SM lên (ABCD) và MO ⊥ BC.

Đáp án: a - B, b - A, c - D 

a. Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Từ S vẽ SO ⊥ (ABCD)

⇒ OA = OB = OC (là hình chiếu của các đường xiên bằng nhau)

⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tiếp tam giác ABC

Ta có: BI là đường trung tuyến của tam giác ABC nên O nằm trên đường thẳng BI hay 0 ∈ BD

Vậy SO ⊂ (SBD) và SO ⊥(ABCD) ⇒ (SBD) ⊥(ABCD)

b) Tam giác ABD có AB = AD và góc BAD = 600 nên tam giác ABD đều suy ra: BD = a

Ta có; 

Tam giác SOB vuông tại O nên

 c. Từ O vẽ OM ⊥ BC ⇒ góc OMS là góc của mặt bên và mặt phẳng đáy

Ta có: ABCD là hình thoi nên 

Bài 1 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng ?

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song ;

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song ;

c) Mặt phẳng (α) vuông góc với đường thẳng b và b vuông góc với thẳng a, thì a song song với (α).

d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song.

e) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.

Lời giải:

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai (vì a có thể nằm trong mp(α), xem hình vẽ)

d) Sai, chẳng hạn hai mặt phẳng (α) và (β) cùng đi qua đường thẳng a và a ⊥ mp(P) nên (α) và (β) cùng vuông góc với mp(P) nhưng (α) và (β) cắt nhau.

e) Sai, chẳng hạn a và b cùng ở trong mp(P) và mp(P) ⊥ d. Lúc đó a và b cùng vuông góc với d nhưng a và b có thể không song song nhau.

Bài 2 Trong các điều khẳng định sau đây, điều nào đúng?

a) Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại.

b) Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

c) Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác cho trước.

d) Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Lời giải:

Câu a) đúng. Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại (xem mục c). Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (Bài 5 – chương III).

Câu b) sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu c) sai. Vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước. Để có khẳng định đúng ta phải nói: Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Câu d) sai. Vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường ấy.

Bài 3 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b) Mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, AC, SD tại B^', C^', D^'. Chứng minh B^'D^' song song với BD và AB^' vuông góc với SB.

Lời giải:

Bài 4 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 60^o. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = 3a/4 . Gọi E là trung điểm của đoạn BC và F là trung điểm của đoạn BE.

a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).

Lời giải:

Bài 5 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác ABC vuông tại A có AB =a, AC =b. Tam giác ACD vuông tại D có CD = a.

a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC là các tam giác vuông.

b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh IK là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.

Lời giải:

Chứng minh tương tự, ta có tam giác AKD là tam giác cân tại K có KI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

⇒ IK ⊥ AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra; IK là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.

Bài 6 Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

a) Chứng minh BC' vuông góc với mặt phẳng (A'B'CD)

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB' và BC'.

Lời giải:

b) Do AD’ // BC’ nên mp(AB’D’) là mặt phẳng chứa AB’ và song song với BC’.

Ta tìm hình chiếu của BC’ trên mp ( AB’D’).

Gọi E và F lần lượt là tâm của các mặt bên ADD’A’ và BCB’C’.

Vậy H là hình chiếu F trên mp (AB’D’). Qua H ta dựng đường thẳng song song với BC’ thì đường thẳng này chính là hình chiếu của BC’ trên mp(AB’D’).

Đường thẳng qua H song song với BC’ cắt AB’ tại K. Qua K kẻ đường thẳng song song với HF, đường này cắt BC’ tại I. Khi đó, KI chính là đường vuông góc chung của AB’ và BC’.

Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, có góc BAD = 60^o và

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.

b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

c) Chứng minh SB vuông góc với BC.

d) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tanφ.

Lời giải:

a) Tam giác ABD có AB = AD ( do ABCD là hình thoi)

=> Tam giác ABD cân tại A. Lại có góc A= 60^o

=> Tam giác ABD đều.

Lại có; SA = SB = SD nên hình chóp S.ABD là hình chóp đều.

* Gọi H là tâm của tam giác ABD

=>SH ⊥ (ABD)

*Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ngoài ra các em học sinh và thầy cô có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu hữu ích môn toán khác được cập nhật liên tục tại chuyên trang của chúng tôi.

Nhắc lại định nghĩa vectơ không gian.

Bài 7 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Hãy kể tên những vectơ bằng vectơ  có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ.

Lời giải:

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có định hướng, tức là một đoạn thẳng đã được chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối.

Bài 8 Trong không gian cho ba vectơ a , b và c đều khác vectơ 0 . Khi nào ba véc tơ đó đồng phẳng?

Lời giải:

Ba vectơ a→ ; b→ và c→ đồng phẳng nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

- Giá của 3 vector đều cùng song song với mặt phẳng (P).

- 1 trong 3 vec tơ biểu diễn được qua hai vec tơ còn lại,

tức là tồn tại cặp số (m; n) duy nhất thỏa mãn 

Bài 9 Trong không gian hai đường thẳng không cắt nhau có thể vuông góc với nhau không? Giả sử hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là vector u→ và vector v→ . Khi nào ta có kết luận a và b vuông góc với nhau?

Lời giải:

+ Trong không gian, hai đường thẳng chéo nhau vẫn có thể vuông góc với nhau.

Đường thẳng a có vectơ chỉ phương u→

Đường thẳng b có vectơ chỉ phương v→

Bài 10 Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) có cần chứng minh a vuông góc với mọi đường thẳng của (α) hay không?

Lời giải:

Không cần chứng minh a vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng.

Ta có thể chọn một trong số những cách sau để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- Cách 1 : Chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng

- Cách 2 : Sử dụng định lí : "Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia".

- Cách 3 : Sử dụng định lí : " Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng đó"

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho ba mặt phẳng $(\alpha ),(\beta ),(\gamma )$ những mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Nếu (α) ⊥ (β) và (α) // () thì (β) ⊥ $(\gamma )$

b) Nếu (α) ⊥ (β) và (α) ⊥ $(\gamma )$ thì (β) // $(\gamma )$

Bài 2 Cho hai mặt phẳng  và  vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến  của hai mặt phẳng đó hai điểm  và  sao cho . Gọi  là một điểm trên  và  là một điểm trên  sao cho  và  cùng vuông góc với giao tuyến  và , . Tính độ dài đoạn .

Bài 3 Trong mặt phẳng $(\alpha )$ cho tam giác $ABC$ vuông ở $B$. Một đoạn thẳng $AD$ vuông góc với $(\alpha )$ tại $A$. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{ABD}$ là góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(DBC)$;

b) Mặt phẳng $(ABD)$ vuông góc với mặt phẳng $(BCD)$;

c) $HK//BC$ với $H$ và $K$ lần lượt là giao điểm của $DB$ và $DC$ với mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $DB$.

Bài 4 Cho hai mặt phẳng ,  cắt nhau và một điểm  không thuộc  và không thuộc . Chứng minh rằng qua điểm  có một và chỉ một mặt phẳng  vuông góc với  và . Nếu  song song với  thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào?

Bài 5 Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }D)$ vuông góc với mặt phẳng $(BC{D}^{\prime }{A}^{\prime })$;

b) Đường thẳng $A{C}^{\prime }$ vuông góc với mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$.

Bài 6 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là một hình thoi cạnh $a$ và có $SA=SB=SC=a$. Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng $(ABCD)$ vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$;

b) Tam giác $SBD$ là tam giác vuông.

Bài 7 Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=a,BC=b,C{C}^{\prime }=c$.

a) Chứng minh rằng mặt phẳng $(AD{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ vuông góc với mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.

b) Tính độ dài đường chéo $A{C}^{\prime }$ theo $a,b,c$.

Bài 8 Tính độ dài đường chéo của một hình lập phương cạnh alpha.

Bài 9 Nhắc lại nội dung định lí ba đường thẳng vuông góc

Bài 10 Nhắc lại định nghĩa:

a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

b) Góc giữa hai mặt phẳng.

Bài 11 Muốn chứng minh mặt phẳng (α) vuông góc với mặt phẳng (β) ta có thể ?

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Vectơ trong không gian

Chuyên đề Hai đường thẳng vuông góc

Chuyên đề Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Chuyên đề Khoảng cách

Chuyên đề Ôn tập chương 3