Chuyên đề Ôn tập chương 5 (2022) - Toán 11

Chuyên đề Ôn tập chương 5 - Toán 11

A. LÝ THUYẾT

I. Đạo hàm tại một điểm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ thuộc (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) : $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x₀ và được kí hiệu là f^'(x₀). Vậy $\boxed{\mathrm{f}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0}.}$

* Chú ý:

Đại lượng ∆x = x- x₀ được gọi là số gia của đối số tại x₀.

Đại lượng ∆y= f(x) – f(x₀)= f(x₀ + ∆x) –  f(x₀) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy: $\mathrm{y}\text{'}\left({\mathrm{x}}_0\right)=\underset{\mathrm{\Delta x}\to \infty }{\lim }\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}$.

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x₀ tính:

∆y= f(x₀ + ∆x) – f( x₀) .

+ Bước 2: Lập tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}.$.

+ Bước 3: Tìm $\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}.$

Ví dụ 1. Cho hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{2\mathrm{x}-3}$, có $\mathrm{\Delta x}$ là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó $\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}$ bằng bao nhiêu.

Lời giải

Tập xác định của hàm số đã cho là: $\mathrm{D}=\left[\frac{3}{2};+\infty \right)$.

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x₀ = 2. Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{\Delta y}=\mathrm{f}\left(2+\mathrm{\Delta x}\right)-\mathrm{f}\left(2\right) \\ =\sqrt{2.\left(2+\mathrm{\Delta x}\right)-3}-\sqrt{2.2-3}=\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}-1 \end{gathered}$$

Khi đó:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}=\frac{\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}-1}{\mathrm{\Delta x}} \\ \Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}-1}{\mathrm{\Delta x}}= \\ \underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}-1\right).\left(\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}+1\right)}{\mathrm{\Delta x}.\left(\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}+1\right)} \\ =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{2\mathrm{\Delta x}}{\mathrm{\Delta x}.\left(\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}+1\right)} \\ =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{\lim }\frac{2}{\sqrt{2\mathrm{\Delta x}+1}+1}=1 \end{gathered}$$

Vậy f’(2) = 1.

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lý 1. Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

Ví dụ 2. Chẳng hạn hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}-{\mathrm{x}}^2\mathrm{khi}\mathrm{x}\ge 0\\ \mathrm{x}\mathrm{khi}\mathrm{x}<0\end{array}\right.$ liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị gãy tại điểm O(0;0) như hình vẽ sau:

4. Ý nghĩa của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

+) Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x = x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến M₀T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)).

+) Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y – y₀= f’(x₀) ( x- x₀) trong đó y₀= f(x₀).

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x³ – 3x² + 2 tại điểm có hoành độ x = 3.

Lời giải

Bằng định nghĩa ta tính được: y’(3) = 9.

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là 9.

Ta có: y(3) = 2.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ x = 3 là:

y = 9(x – 3) + 2 = 9x – 27 + 2 = 9x – 25.

b) Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:

+) Vận tốc tức thời:

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t₀: v(t₀) = s’(t₀).

+) Cường độ tức thời:

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t₀: I(t₀) = Q’(t₀) .

Ví dụ 4. Một xe máy chuyển động theo phương trình : s(t)= t² + 6t+ 10 trong đó t đơn vị là giây; s là quãng đường đi được đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3.

Lời giải

Phương trình vận tốc của xe là v( t)=s' ( t)=2t+6 ( m/s)

⇒ Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3 là:

V(3)= 2.3+ 6 = 12 (m/s)

Chọn A.

II. Đạo hàm trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó ta gọi hàm số f’:

 $$\begin{gathered} \left(\mathrm{a};\mathrm{b}\right)\to \mathrm{ℝ} \\ \mathrm{x}\mapsto \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right) \end{gathered}$$

là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b), kí hiệu là y’ hay f’(x).

Ví dụ 5. Hàm số y = x² – 2x có đạo hàm y’ = 2x – 2 trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$.

Hàm số $\mathrm{y}=\frac{2}{\mathrm{x}}$ có đạo hàm $\mathrm{y}\text{'}=-\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}$ trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(0;+\infty \right)$.

III. Đạo hàm của một hàm số thường gặp

1. Định lý 1

Hàm số y = xⁿ  có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ và (xⁿ)’ = n.x^n-1.

2. Định lý 2

Hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}$ có đạo hàm tại mọi x dương và ${\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$.

Ví dụ 1.

a) Tính đạo hàm y = x³;

b) Tính đạo hàm $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}$ tại x = 5.

Lời giải

a) Ta có: y’ = 3x²;

b) Ta có: $\mathrm{y}\text{'}=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$

Đạo hàm của hàm số tại x = 5 là: $\mathrm{y}\text{'}\left(5\right)=\frac{1}{2\sqrt{5}}.$

IV. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

1. Định lí 3

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:

(u + v)’ = u’ + v’;

(u – v)’ = u’ – v’;

(uv)’ = u’.v + u.v’;

${\left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{v}}\right)}^{\text{'}}=\frac{\mathrm{u}\text{'}\mathrm{v}-\mathrm{u}.\mathrm{v}\text{'}}{{\mathrm{v}}^2}\left(\mathrm{v}=\mathrm{v}\left(\mathrm{x}\right)\ne 0\right)$.

2. Hệ quả

Hệ quả 1. Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = k.u’.

Hệ quả 2. ${\left(\frac{1}{\mathrm{v}}\right)}^{\text{'}}=-\frac{\mathrm{v}\text{'}}{{\mathrm{v}}^2}.$

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x⁵ – 2x² + 3x + 6;

b) y = (x² + 1)(2x – 3);

c) $\mathrm{y}=\frac{7{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{x}-1}$.

Lời giải

a) y = x⁵ – 2x² + 3x

$\Rightarrow$y’ = (x⁵ – 2x² + 3x)’

    = (x⁵)’ – (2x²)’ + (3x)’

   = 5x⁴ – 4x + 3.

b) y = (x² + x).2x

$\Rightarrow$y’ = (x² + x)’.2x + (x² + 1)(2x)’

   = [(x²)’ + x’].2x + (x² + 1).2

   = (2x + 1).2x + 2x² + 2

   = 4x² + 2x + 2x² + 2

   = 6x² + 2x + 2.

c)

$$\begin{gathered} \mathrm{y}=\frac{7{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{x}-1} \\ \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{{\left(7{\mathrm{x}}^2\right)}^{\text{'}}\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)-\left(7{\mathrm{x}}^2\right){\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^{\text{'}}}{{\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^2} \\ =\frac{14\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)-7{\mathrm{x}}^2\left(2{\mathrm{x}}^2-2\right)}{{\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^2} \\ =\frac{14{\mathrm{x}}^4-28{\mathrm{x}}^2-14{\mathrm{x}}^2+14\mathrm{x}}{{\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^2} \\ =\frac{-28{\mathrm{x}}^2+14\mathrm{x}}{{\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^2} \end{gathered}$$

V. Đạo hàm hàm hợp

Định lý 4. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x là và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là  thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: ${\text{y}}_{\mathrm{x}}^{\text{'}}={\mathrm{y}}_{\mathrm{u}}^{\text{'}}.{\mathrm{u}}_{\mathrm{x}}^{\text{'}}$.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: $\mathrm{y}=\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}$

Lời giải

Đặt $\mathrm{u}={\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}$ thì $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{u}}$

$\mathrm{y}\text{'}=\frac{\mathrm{u}\text{'}}{2\sqrt{\mathrm{u}}}=\frac{\left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}\right)\text{'}}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}}=\frac{2\mathrm{x}+2}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}}$.

VI. Đạo hàm hàm lượng giác

1. Giới hạn $\frac{\mathbf{s}\mathbf{\text{inx}}}{\mathbf{x}}$

Định lý 1.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{s}\text{inx}}{x}=1.$

Ví dụ 1. Tính $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\sin \left(\mathrm{x}-1\right)}{{\mathrm{x}}^2-1}$

Lời giải

Đặt x – 1 = t.

Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+2\right)}=\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\left(\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}.\frac{1}{\mathrm{t}+2}\right) \\ =\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}.\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{t}+2} \\ =1.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. \end{gathered}$$

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2.

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ và (sinx)’ = cosx.

Chú ý:

Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số $\mathrm{y}={\left[\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)\right]}^2$

Lời giải

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}=2{\left[\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)\right]}^{\text{'}}.\sin \left(2\mathrm{x}+3\right) \\ =2\left[\cos \left(2\mathrm{x}+3\right).{\left(2\mathrm{x}+3\right)}^{\text{'}}\right].\sin \left(2\mathrm{x}+3\right) \\ \mathrm{y}\text{'}=4\cos \left(2\mathrm{x}+3\right).\sin \left(2\mathrm{x}+3\right) \end{gathered}$$

3. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lý 3.

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ và (cosx)’ = - sinx.

Chú ý:

Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số $\mathrm{y}=\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)$ tại $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$.

Lời giải

Đặt $\mathrm{u}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{y}\text{'}=\left(\mathrm{cosu}\right)\text{'}=-\mathrm{u}\text{'}.\mathrm{sinu}= \\ -{\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)}^{\text{'}}\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right). \end{gathered}$$

Thay $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ vào y’ ta được:

$\mathrm{y}\text{'}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=\frac{1}{2}.$

Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại $\text{x=}\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ là $\frac{1}{2}$

4. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Định lý 4.

Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và (tanx)’ = $\frac{1}{{\text{cos}}^2\mathrm{x}}$.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = $\frac{\mathrm{u}\text{'}}{{\text{cos}}^2\mathrm{u}}.$

Ví dụ 4. Tính đạo hàm $\mathrm{y}=\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}$

Lời giải

Đặt u = 2 + tanx

$$\begin{gathered} \mathrm{y}\text{'}=\frac{\mathrm{u}\text{'}}{2\sqrt{\mathrm{u}}}=\frac{\left(2+\mathrm{tanx}\right)\text{'}}{2\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}} \\ =\frac{\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}}}{2\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}}=\frac{1}{2.{\cos }^2\mathrm{x}\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}} \end{gathered}$$

5. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Định lý 5.

Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\ne \mathrm{k\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và (cotx)’ = $-\frac{1}{{\text{sin}}^{2}x}$.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (cotu)’ = $-\frac{\mathrm{u}\text{'}}{{\sin }^2\mathrm{u}}.$

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x².

Lời giải

y’ = (cot x²)’ = (x²)’.$\frac{-1}{{\left(\mathrm{s}{\text{inx}}^2\right)}^2}$=$-\frac{2\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{s}{\text{inx}}^2\right)}^2}$.

6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:

VII. Đạo hàm cấp hai

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y” hoặc f”(x).

Chú ý:

+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y”’ hoặc f”’(x) hoặc f⁽³⁾(x).

+ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1 , kí hiệu f^(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f^(n–1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y⁽ⁿ⁾ hoặc f⁽ⁿ⁾(x).

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n–1)(x))’.

Ví dụ 1. Với y = 7x⁴ + 8x + 12. Tính y⁽⁵⁾

Lời giải

Ta có: y’ = 28x³ + 8, y” = 84x², y”’ = 168x, y⁽⁴⁾ = 168, y⁽⁵⁾ = 0.

Vậy y⁽⁵⁾ = 0.

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t).

Lấy số gia $\mathrm{\Delta t}$ tại t thì v(t) có số gia tương ứng là $\mathrm{\Delta v}$

Tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta v}}{\mathrm{\Delta t}}$ được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian $\mathrm{\Delta t}$. Nếu tồn tại: $\mathrm{v}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=\underset{\mathrm{\Delta t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta v}}{\mathrm{\Delta t}}=\mathrm{\gamma }\left(\mathrm{t}\right)$.

Ta gọi $\mathrm{v}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{\gamma }\left(\mathrm{t}\right)$ là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

Vì v(t) = f’(t) nên: $\boxed{\mathrm{\gamma }\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{f}"\left(\mathrm{t}\right)}$.

Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.

Ví dụ 2. Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do $\mathrm{s}=\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2.$

Lời giải

Ta có: $\mathrm{s}\text{'}=\mathrm{gt}.$

Gia tốc tức thời của sự tơi tự do là: $\mathrm{\gamma }=\mathrm{s}"\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{s}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{g}\approx 9,8\left(\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\right)$.

Vậy gia tốc tức thời của sự rơi tự do là: $\mathrm{g}\approx 9,8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.$

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1:

A. $\frac{2}{5}$   

B. $\frac{1}{5}$    

C. 0    

D. 1

Lời giải:

Chia cả tử thức mẫu thức cho n , ta có:

Chọn đáp án D

Bài 2: lim⁡(-3n³+2n²-5) bằng:

A. -3    

B. 0    

C. -∞    

D. +∞

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án C

Bài 3: Lim(2n⁴+5n²-7n) bằng

A. -∞    

B. 0    

C. 2    

D. +∞

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án D

Bài 4: Dãy số nào sau đây có giưới hạn là +∞?

A. un = 9n²-2n⁵    

B. un = n⁴-4n⁵

C. un = 4n²-3n    

D. un = n³-5n⁴

Lời giải:

Chỉ có dãy un = 4n²-3n có giới hạn là +∞, các dãy còn lại đều có giới hạn là -∞. Đáp án C

Thật vậy, ta có:

Chọn đáp án C

Bài 5: Nếu limun = L,un+9>0 ∀n thì lim√(un+9) bằng số nào sau đây?

A. L+9    

B. L+3    

C. √(L+9)    

D. √L+3

Lời giải:

Vì limun = L nên lim⁡(un + 9) = L + 9 do đó lim√(un + 9)=√(L + 9)

Chọn đáp án C

Bài 6:

A. 0    

B. 1    

C. 2    

D. +∞

Lời giải:

- Cách 1: Chia tử thức và mẫu thức cho n:

Đáp án là B

- Cách 2: Thực chất có thể coi bậc cao nhất của tử thức và mẫu thức là 1, do đó chỉ cần để ý hệ số bậc 1 của tử thức là √4, của mẫu thức là 2, từ đó tính được kết quả bằng 1.

Chọn đáp án B

Bài 7: lim⁡n(√(n²+1)-√(n²-3)) bằng:

A. +∞    

B. 4    

C. 2    

D. -1

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 8:

A. $\frac{5}{7}$     

B. $\frac{5}{2}$  

C. 1      

D.+∞

Lời giải:

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho √n, ta được:

Chọn đáp án C

Bài 9: Tổng của cấp số nhân vô hạn :

A. 1      

B. $\frac{1}{3}$      

C. $-\frac{1}{3}$      

D. $\frac{-2}{3}$

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 10: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 2,151515... (chu kỳ 15), a được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản, trong đó m, n là các số nguyên dương. Tìm tổng m + n.

A. 104

B. 312

C. 38

D . 114

Lời giải:

Chọn đáp án A

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Tính lim(n³ - 2n + 1)?

Lời giải:

Bài 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

Lời giải:

- Cách 1:

- Cách 2 (phương pháp loại trừ): Từ các định lí ta thấy:

Các dãy ở phương án A,B đều bằng 0, do đó loại phương án A,B

Bài 3: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

Lời giải:

- Cách 1: Dãy (1/3)n có giới hạn 0 vì |q| < 1 thì limqn = 0. Đáp án là D

- Cách 2: Các dãy ở các phương án A,B,C đều có dạng lim qn nhưng |q| > 1 nên không có giới hạn 0, do đó loại phương án A,B,C. Chọn đáp án D

Bài 4: lim((3-4n)/5n) có giá trị bằng:

Lời giải:

- Cách 1: Chia tử và mẫu của phân tử cho n (n là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), ta được :

- Cách 2: Sử dụng nhận xét:

khi tính lim un ta thường chia tử và mẫu của phân thức cho nk (nk là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), từ đó được kết quả:

Nếu m < p thì lim un =0. Nếu m =p thì lim un=am/bp

Nếu m > p thì lim un= +∞ nếu am.bp > 0; lim un= -∞ nếu am.bp < 0

Vì tử và mẫu của phân thức đã cho đều có bậc 1 nên kết quả

Bài 5:

Lời giải:

- Cách 1: Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức nên kết quả :

Bài 6:

Lời giải:

- Cách 1: Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức lớn hơn bậc của mẫu thức, hệ số luỹ thừa bậc cao nhất của n cả tử và mẫu là số dương nên kết quả :

Bài 7: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1/5?

Lời giải:

Bài 8:

Lời giải:

Bài 9:

Lời giải:

Chia cả tử thức và mẫu thức cho √n

Bài 10:

Lời giải:

Trước hết tính :

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 bằng ?

Bài 2 bằng ?

Bài 3 Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,32111... được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản a/b, trong đó a, b là các số nguyên dương. Tính a - b

Bài 4 bằng?

Bài 5 Giá trị của  bằng?

Bài 6 Kết quả đúng của  là?

Bài 7 Giá trị của  bằng?

Bài 8 Cho dãy số u_n với . Chọn kết quả đúng của lim u_n là?

Bài 9 Tính giới hạn: 

Bài 10 Giá trị của  bằng?

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Chuyên đề Quy tắc tính đạo hàm

Chuyên đề Đạo hàm của hàm số lượng giác

Chuyên đề Vi phân

Chuyên đề Đạo hàm cấp hai