Chuyên đề Ôn tập chương 1 (2022) - Toán 11

1 648 lượt xem
Tải về


Chuyên đề Ôn tập chương 1 - Toán 11

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa phép biến hình

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

- Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) và gọi M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.

- Nếu ℋ  là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu ℋ ' = F(ℋ) là tập các điểm M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc ℋ. Khi đó, ta nói F là biến hình ℋ  thành hình ℋ ', hay hình ℋ ' là ảnh của hình ℋ  qua phép biến hình F.

- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

Ví dụ. Cho trước đường thẳng d, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M’ là điểm sao cho M’ đối xứng với M qua d.

Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ nêu trên là một phép biến hình vì chỉ có duy nhất 1 điểm M’ thỏa mãn yêu cầu.

2. Định nghĩa phép tịnh tiến

- Định nghĩa: Trong mặt phẳng, cho vectơ v. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM'  =  v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v.

- Phép tịnh tiến theo vectơ  thường được kí hiệu là được gọi là vectơ tịnh tiến.

Vậy: Tv(M)=  M'MM'  =  v.

Lý thuyết Phép tịnh tiến chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.

- Ví dụ 1. Cho hình vẽ sau:

Lý thuyết Phép tịnh tiến chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ta có: Tv(A)=  A';  Tv(B)=  B';  Tv(C)=  C'.

3. Tính chất của phép tịnh tiến

- Tính chất 1.  Nếu Tv(M)=  M';  Tv(N)=  N' thì M'N'  =  MN và từ đó suy ra M’N’ = MN.

Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Tính chất 2. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Lý thuyết Phép tịnh tiến chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

4. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v(a;  b). Với mỗi điểm M(x ; y) ta có M’(x’ ; y’) là ảnh của điểm M qua tịnh tiến theo vectơ v.

Khi đó:  

MM'  =  v  x'x=ay'  y=bx'=x+ay'  =y+b

đây chính là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tv.

Ví dụ. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1 ; – 2). Phép tịnh tiến theo vectơ biến A thành điểm A’ có tọa độ là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm A’ = (x’; y’).

Lý thuyết Phép tịnh tiến chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

5. Định nghĩa của phép đối xứng trục

- Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.

Lý thuyết Phép đối xứng trục chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản là trục đối xứng.

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd.

- Nếu hình ℋ ' là ảnh của hình ℋ  qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói ℋ  đối xứng với ℋ ' qua d, hay ℋ  và ℋ ' đối xứng với nhau qua d.

- Nhận xét:

1) Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M

trên đường thẳng d. Khi đó: M’ = Đd(M) M0M'  =  M0M

2) M’ = Đd(M) M = Đd(M’).

6. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

1) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm M = (x ; y), gọi M’ = Đd(M) = (x’ ; y’) thì x'  =  xy'  =  y, đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox. 

2) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm M = (x ; y), gọi M’ = Đd(M) = (x’; y’) thì x'  =  xy'  =y, đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy.

Ví dụ. Cho điểm M(2 ; 4). Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng qua trục Ox và trục Oy.

Lời giải:

Gọi ĐOx(M) = A(x ; y) và ĐOy(M) = B(a; b)

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Ox ta có:

x  =2y=  4A(2  ;  4)

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Oy ta có:

a  =2b=  4  B(2  ;4)

7. Tính chất của phép đối xứng trục

- Tính chất 1. Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Tính chất 2. Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Lý thuyết Phép đối xứng trục chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, qua phép đối xứng trục Ox, đường tròn (C)

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 36 biến thành đường tròn (C’). Tìm phương trình đường tròn (C’) ?

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(2 ; 3) và bán kính là R = 6.

Qua phép đối xứng trục Ox, biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’), biến tâm I thành tâm I’(x’; y’) và bán kính R’ = R = 6.

Áp dụng biểu thức phép đối xứng trục Ox ta được I’(2; – 3)

Do đó, phương trình đường tròn (C’) là:

(x – 2)2 + (y + 3)2 = 36.

8. Trục đối xứng của một hình

- Định nghĩa. Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình ℋ nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến ℋ thành chính nó.

Khi đó, ta nói ℋ là hình có trục đối xứng.

- Ví dụ 3. Các hình sau có trục đối xứng

Lý thuyết Phép đối xứng trục chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

9. Định nghĩa của phép đối xứng tâm

- Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác điểm I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là ĐI.

Lý thuyết Phép đối xứng tâm chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Nếu hình ℋ ' là ảnh của hình ℋ  qua ĐI thì ta còn nói ℋ  đối xứng với ℋ ' qua tâm I, hay ℋ  và ℋ ' đối xứng với nhau qua I.

Từ định nghĩa trên ta suy ra, M’ = ĐI(M) IM'  =  IM.

- Ví dụ 1. Cho hình vẽ sau. Các điểm A và B là ảnh của điểm A’ và B’ qua phép đối xứng tâm I và ngược lại.

Lý thuyết Phép đối xứng tâm chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

10. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

Trong hệ tọa độ Oxy, cho M(x ; y), M’= ĐO(M) = (x’; y’). Khi đó:

 x'  =xy'=y, đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ.

- Ví dụ. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(7 ; – 4). Tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O. 

Lời giải:

Gọi A’(x’; y’) là ảnh của điểm A qua  phép đối xứng tâm O. 

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có:

x'  =7y'=(4)  =  4A'(7  ;  4)

11. Tính chất của phép đối xứng tâm

- Tính chất 1. Nếu ĐI(M) = M’ và ĐI(N) = N’ thì M'N'  =  MN, từ đó suy ra M’N’ = MN.

Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Tính chất 2. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Lý thuyết Phép đối xứng tâm chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Ví dụ. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I(1; 2).

Lời giải:

Giả sử phép đối xứng tâm I(1 ; 2) biến điểm  thành điểm M’(x’ ; y’).

Khi đó I là trung điểm của MM’. Áp dụng công thức tọa độ trung điểm ta có:

x'=2.1x=2xy'=2.2y=4yx=2x'y=4y'

Vì điểm M thuộc d nên: x + y – 2 = 0    (2).

Thay (1) vào (2) ta được:

(2 – x’) + (4 – y’) – 2 = 0 hay – x’ – y’ + 4 = 0.

Do đó, phương trình đường thẳng d’ là – x – y + 4 = 0 hay x + y – 4 =0.

12. Tâm đối xứng của một hình

Định nghĩa. Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình ℋ nếu phép đối xứng tâm I biến hình ℋ  thành chính nó.

- Khi đó, ta nói ℋ  là hình có tâm đối xứng.

Ví dụ 4. Các hình sau đây đều có tâm đối xứng:

Lý thuyết Phép đối xứng tâm chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

13. Định nghĩa của phép quay

Định nghĩa: Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM; OM’) bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α.

- Điểm O được gọi là tâm quay, α được gọi là góc quay của phép quay đó.

Phép quay tâm O góc α được kí hiệu là Q(O, α).

Lý thuyết Phép quay chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Nhận xét:

1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.

Lý thuyết Phép quay chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

2) Với k là số nguyên ta luôn có:

Phép quay Q(O,  k2π) là phép đồng nhất.

Phép quay Q(O,(2k+1)π) là phép đối xứng tâm O.

14. Tính chất của phép quay

- Tính chất 1. Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Lý thuyết Phép quay chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Phép quay tâm O, góc (OA, OA’) biến điểm A thành A’, B thành B’. Khi đó ta có A’B’ = AB.

- Tính chất 2. Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Lý thuyết Phép quay chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Nhận xét: Phép quay góc α với , biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ sao cho góc giữa d và d’ bằng α (nếu 0  <  απ2), hoặc bằng π-α (nếu  π2    α  <π)

Lý thuyết Phép quay chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

15. Khái niệm về phép dời hình

Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M’; N’ thì

MN = M’N’.

- Nhận xét:

1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình.

2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.

Ví dụ 1. Vì phép tịnh tiến và phép đối xứng tâm là phép dời hình nên thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ  và phép đối xứng tâm O ta được một phép dời hình.

16. Tính chất của phép dời hình

Phép dời hình:

1) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.

2) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

3) Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.

4) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

- Chú ý:

a) Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’.

Lý thuyết Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

- Ví dụ . Cho đường tròn (C) có phương trình (x + 4)2 + (y – 3)2 = 49. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục qua đường thẳng d và phép quay tâm O góc quay 900 ta được đường tròn (C’).

Bán kính đường tròn (C’) là: R’ = R = 7.

17. Khái niệm hai hình bằng nhau

- Định nghĩa. Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

- Ví dụ.

a)  Qua phép tịnh tiến theo vectơ  biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Sau đó, ta thực hiện tiếp phép đối xứng trục qua đường thẳng d biến tam giác A’B’C’ thành tam giác A”B”C”. Khi đó: ∆ABC = ∆A”B”C”.

b) Hình ảnh dưới đây cho ta hai hình bằng nhau:

Lý thuyết Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

18. Định nghĩa của phép vị tự

- Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM'  =  k.OM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.

Lý thuyết Phép vị tự chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là V(O, k).

- Nhận xét:

1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất.

3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự.

4) M’ = V(O, k)(M) M=  VO,1k(M').

19. Tính chất của phép vị tự

- Tính chất 1. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’ thì M'N'  =  k.MN và M’N’ = |k|.MN.

- Tính chất 2.

Phép vị tự tỉ số k:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

Lý thuyết Phép vị tự chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

Lý thuyết Phép vị tự chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R.

Lý thuyết Phép vị tự chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

20. Tâm vị tự của hai đường tròn.

- Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Tâm của phép vị tự được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

- Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn.

Cho hai đường tròn (I ; R) và (I’; R’) có ba trường hợp xảy ra:

+ Trường hợp I trùng với I’

Khi đó, phép vị tự tâm I tỉ số R'R và phép vị tự tâm I tỉ số -R'R biến đường tròn

(I ; R) thành đường tròn (I ; R’).

Lý thuyết Phép vị tự chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

+ Trường hợp I khác I’ và R ≠ R’

Lấy điểm M bất kì thuộc đường tròn (I ; R), đường thẳng qua I’ song song với IM cắt đường tròn (I’ ; R’) tại M’ và M”.

Giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng II’ còn M, M” nằm khác phía đối với đường thẳng II’.

Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng II’ tại điểm O nằm ngoài đoạn thẳng II’, còn đường thẳng MM” cắt đường thẳng II’ tại điểm O1 nằm trong đoạn thẳng II’.

Lý thuyết Phép vị tự chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Khi đó, phép vị tự tâm O tỉ số k  =  R'R và phép vị tự tâm O1 tỉ số k1=  R'R sẽ biến đường tròn (I ; R) thành đường tròn (I’; R’).

Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn O1 là tâm vị tự trong của hai đường tròn nói trên.

+ Trường hợp I khác I’ và R = R’.

Khi đó, MM’ // II’ nên chỉ có phép vi tự tâm O1 tỉ số k  =  RR  =  1 biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’ ; R’). Đây chính là phép đối xứng tâm O1.

Lý thuyết Phép vị tự chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 1. Cho hai đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4 và (C’): (x – 8)2 + (y – 4)2 = 16. Xác định tâm vị tự của hai đường tròn?

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(2 ; 1),bán kính R = 1;

Đường tròn (C’) có tâm I’(8 ; 4), bán kính R’ = 4.

Do I  ≠  I’ và R ≠ R’ nên có hai phép vị tự V(J, 2) và V(J, -2) biến (C) thành (C’).

Gọi J(x ; y)

Với k = 2 khi đó:

JI'=2JI8x=22x4y=21yx=4y=2

Suy ra: J(– 4; – 2)

Tương tự với k = – 2, tính có J’(4; 2).

Vậy có 2 phép vị tự thỏa mãn đầu bài.

21. Định nghĩa phép đồng dạng

Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = kMN.

Lý thuyết Ôn tập chương 1 chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Nhận xét

(1) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.

(2) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.

22. Tính chất phép đồng dạng

Phép đồng dạng tỉ số k:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính kR.

- Chú ý.

a) Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’.

Lý thuyết Ôn tập chương 1 chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thảng đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

Ví dụ. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho 2 đường tròn (C) và (C’) có phương trình x2 + y2 – 4y – 5 = 0 và x2 + y2 – 2x + 2y – 14 = 0. Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng tỉ số k, khi đó giá trị k là ?

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(0 ; 2) bán kính R = 3.

Đường tròn (C’) có tâm I’(1 ; – 1) bán kính R’ = 4.

Ta có (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng tỉ số k nên : 4 = 3k

Suy ra : k  =  43 .

Vậy k  =  43.

23. Hình đồng dạng

Định nghĩa. Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

- Ví dụ. Các hình sau đôi một đồng dạng với nhau.

Lý thuyết Ôn tập chương 1 chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x - 6y + 5 = 0 điểm I(2;-4). Phép đối xứng tâm I biến d thành d’ có phương trình:

A. 2x - 6y - 5 = 0

B. 2x - 6y - 61 = 0

C. 6x - 2y + 5 = 0

D. 6x - 2y + 61 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

Lấy M(x;y) thuộc d, phép đối xứng tâm I (x0; y0) biến M(x; y) thành M'(x'; y') thì

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Thay vào phương trình d ta được :2(4 - x') - 6(-8 - y') + 5 = 0 ⇒ 2x' - 6y' - 61 = 0 hay 2x - 6y - 61 = 0. Chọn đáp án B

Bài 2: Hình nào dưới đây vừa có tâm đối xứng vừa có trục đối xứng?

A. hình bình hành      

B. hình chữ nhật

C. hình tam giác đều      

D. hình tam giác cân

Lời giải:

Đáp án: B

Hình bình hành có tâm đối xứng; hình tam giác cân và hình tam giác đều chỉ có trục đối xứng.

Bài 3: Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến hình chữ nhật thành chính nó?

A. một      

B. hai

C. ba      

D. không

Lời giải:

Đáp án: A

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(-5;9). Phép đối xứng tâm I(2; -6) biến M thành M’ thì tọa độ M’ là.

A. M'(9;-15)      

B. M'(9;-3)

C.M'(9;-21)      

D. M'(1;-3)

Lời giải:

Đáp án: C

Thử vào công thức : Phép đối xứng tâm I(x0;y0) biến M(x; y) thành M’(x’, y’) thì

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

 Nhận xét: bài toán đơn giản nhưng rất dễ nhầm lẫn công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng sang tọa độ vecto (lấy tọa độ điểm đầu trừ tạo độ điểm cuối, hoặc nhầm tọa độ trung điểm).

Bài 5: trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(2; -5). Phép đối xứng tâm I biến M(x; y) thành M'(3; 7). Tọa độ của M là:

A. M(5/2;1)      

B. M(7;-3)

C. M(-1;-12)      

D. M(1;-17)

Lời giải:

Đáp án: D

Phép đối xứng tâm I(x0;y0) biến M(x; y) thành M’(x’, y’) thì:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Bài 6: trong mặt phẳng Oxy phép đối xứng tâm I biến M(6; -9) thành M'(3;7). Tọa độ của tâm đối xứng I là:

A. I(-3/2; -8)      

B. (-3;16)

C. (9/2; -1)      

D. I(-3/2; -1)

Lời giải:

Đáp án: C

Qua phép đối xứng tâm I biến M thành M’ nên I là trung điểm của MM’.

Tọa độ I bằng trung bình cộng tọa độ của M và M’.

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Bài 7: Hình có hai đường thẳng a và b song song với nhau thì có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến a thành b?

A. Một      

B. Hai

C. Ba      

D. Vô số

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Lời giải:

Đáp án: D

Lấy hai điểm A, B bất kì lần lượt thuộc a, b. Trung điểm I của AB chính là tâm đối xứng của hình. Có vô số điểm I thỏa mãn. Chọn đáp án D

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Phép đối xứng tâm O biến.

A. DF→ thành EB→      

B. EC→ thành AF→

C. BO→ thành OD→       

D. BE→ thành DF→

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Lời giải:

Đáp án: D

Nhận xét: ba phương án A, B, C đều sai về hướng của vecto

Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(-3;7). Phép đối xứng tâm O biến M thành M’ thì tọa độ M’ là:

A. M’(-3;-7)      

B. M’(3;-7)

C. M’(7;-3)     

 D. M’(7;3)

Lời giải:

Đáp án: B

Phép đối xứng tâm O biến M(x;y) thành M’(-x;-y). Chọn đáp án B

Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;-6) và điểm I(1;4). Phép đối xứng tâm I biến M thành M’ thì tọa độ M’ là:

A. M’(0;14)      

B. M’(14;0)

C. M’(-3/2;-2)      

D. M’(-1/2;5)

Lời giải:

Đáp án: A

Phép đối xứng tâm I(x0; y0) biến M(x; y) thành M'(x'; y') thì:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

⇒ M'(0;14). 

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD?

a) phép biến hình nào biến BE→ thành CF→

b) phép biến hình nào biến BE→ thành DF→?

Lời giải:

a) Xét từng điểm: Phép quay tâm O góc quay -900 biến B thành C, E thành F.

Q(A, 450)(B) = B' ≠ C và Q(A, 450)(E) = E' ≠ F(sai cả hai ảnh)

Q(A, -900)(B) = D và Q(A, 900)(E) = E' ≠ F(sai về chiều góc và ảnh của E)

Q(O, 900)(B) = A và Q(O, -900)(E) = F

b) Nhận xét. Khi luyện tập ta kiểm tra cả bốn phương án và trong mỗi phương án kiểm tra cả hai điểm B, D. còn trong khi kiểm tra, thi cử khi thấy ảnh của một điểm sai thì loại phương án đó; thấy ảnh của cả hai điểm đều đúng thì chọn phương án đó mà không cần kiểm tra các phương án còn lại.

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M (-6;1) qua phép quay Q(O; 900) là?

Lời giải:

Nhận xét. Cách làm các bài từ 5 đến 9: Vẽ hệ tọa độ Oxy, lấy điểm M, thực hiện phép quay. Chú ý chiều dương là ngược kim đồng hồ, chiều âm thuận chiều kim đồng hồ (hình 1)

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy qua phép quay Q(O; 900) thì M'(2; -3) là ảnh của điểm.

Lời giải:

(hình 2) vẽ ảnh của M’ qua phép quay Q(O, 900) là điểm M (- 3; -2)

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;1). Điểm nào sau đây là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 450.

Lời giải:

Nhận xét. Hình vuông có cạnh bằng 1 thì đường chéo bằng √2.

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Bài 5:

Cho hình vuông ABCD tâm O.

Giải bài 1 trang 19 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

a. Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 90o.

b. Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 90o

Lời giải:

a. Gọi C’ là điểm đối xứng với điểm C qua điểm D.

Giải bài 1 trang 19 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 1 trang 19 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11 ⇔ C’ là điểm đối xứng với C qua D.

b) Ta có:

Giải bài 1 trang 19 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc 90o.

Lời giải:

Giải bài tập Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

* Ta có A(2; 0) thuộc tia Ox.

Gọi Q(O,90º) (A) = B thì B thuộc tia Oy và OA = OB nên B(0 ; 2).

* Gọi d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O, góc quay 90º.

+ A(2 ; 0) ∈ (d)

⇒ B = Q(O,90º) (A) ∈ (d’)

+ B(0 ; 2) ∈ (d).

⇒ C = Q(O,90º) (B) ∈ (d’).

Dễ dàng nhận thấy C(-2; 0) (hình vẽ).

⇒ (d’) chính là đường thẳng BC.

Đường thẳng d’ đi qua B(0 ; 2) và C(-2; 0) nên có phương trình đoạn chắn là :

Giải bài 1 trang 19 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho hình vuông ABCD tâm O

a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 900.

b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 900.

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2,0) và đường thẳng d có phương trình . Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc .

Bài 3 Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C. dựng các tam giác đều ABD, BCE về cùng phía đối với đường thẳng AC. Gọi F, G lần lượt là trung điểm của các cạnh AE và DC. Tam giác BFG là?

Bài 4 Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 60. Phép biến hình nào biến AB thành BC?

Bài 5 Trong mặt phẳng Oxy phép quay tâm K, góc 60 độ biến M(1;1) thành M’(-1;1). Tọa độ điểm K là?

Bài 6 Trong mặt phẳng Oxy phép quay Q(O; 600) biến đường thẳng d có phương trình x - 2y = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình?

Bài 7 trong mặt phẳng Oxy phép quay Q(O; 900) biến đường thẳng d có phương trình: 2x - y + 1 = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình.

Bài 8 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 3)2 + y2 = 4. Phép quay tâm O(0;0) góc quay 900 biến (C) thành (C’) có phương trình?

Bài 9 Cho một tam giác ABC tâm O. gọi A, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Bài 10 Dựng ra phía ngoài tam giác vuông cân ABC đỉnh A các tam giác đều ABD và ACE. Góc giữa hai đường thẳng BE và CD là?

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Phép biến hình

Chuyên đề Phép tịnh tiến

Chuyên đề Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

Chuyên đề Phép vị tự

Chuyên đề Phép đồng dạng

1 648 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: