Chuyên đề Ôn tập chương 3 (2022) - Toán 11

Chuyên đề Ôn tập chương 3 - Toán 11

A. Lý thuyết

1. Phương pháp quy nạp toán học

1.1 Định nghĩa

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:

- Bước 1. Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

- Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.

1.2 Ví dụ áp dụng

- Ví dụ 1. Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có:

$1+2+3+\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}n=\frac{n(n+\text{\hspace{0.17em}}1)}{2}$  (*)

Lời giải:

Bước 1: Với n = 1 ta có:

Vế trái = 1 và vế phải = 1

Vậy hệ thức đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử hệ thức đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1  tức là:

 $1+2+3+\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}k$$=\frac{k(k+\text{\hspace{0.17em}}1)}{2}$ (1)

Ta cần chứng minh hệ thức đúng với n = k + 1, tức là:

$1+2+3+\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}k+k+\text{}1$$=\frac{(k+\text{}1)(k+2)}{2}$  (2)

Thật vậy:

Vế trái = 1 + 2 + 3+ … + k + k + 1

Vậy hệ thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

- Ví dụ 2. Chứng minh rằng với , ta có bất đẳng thức

$\frac{\mathrm{1.3.5....}(2n-1)}{\mathrm{2.4.6.}..2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

Lời giải:

- Với n = 1, bất đẳng thức cho trở thành: $\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{3}}$ (đúng).

Vậy bất đẳng thức cho đúng với n = 1.

- Giả sử bất đẳng thức cho  đúng với  mọi số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là :

$\frac{\mathrm{1.3.5....}(2k-1)}{\mathrm{2.4.6.}..2k}$$<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$ (1)

-Ta chứng minh bất đẳng thức cho đúng với n = k + 1, tức là :

$\frac{\mathrm{1.3.5....}(2k-1)(2k+\text{}1)}{\mathrm{2.4.6.}..2k(2k+\text{\hspace{0.17em}}2)}$$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}<\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$  (2)

Thật vậy, ta có :

$VT\left(2\right)=\frac{\mathrm{1.3.5....}(2k-1)}{\mathrm{2.4.6.}..2k}.$$\frac{2k+\text{}1}{2k+\text{}2}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}.$$\frac{2k+\text{}1}{2k+\text{}2}=\frac{\sqrt{2k+\text{\hspace{0.17em}}1}}{2k+\text{}2}$  (theo (1))

Ta chứng minh:

Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

- Chú ý:

Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên) thì:

+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;

+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k ≥ p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

2. Định nghĩa dãy số.

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

$\begin{array}{l}u:{\mathbb{N}}^{*}\to ℝ\\ n\mapsto u\left(n\right)\end{array}$

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển: u₁, u₂, u₃,…,u_n,..,

Trong đó, u_n = u(n) hoặc viết tắt là (u_n), và gọi u₁ là số hạng đầu, u_n là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

- Ví dụ 1:

a) Dãy các số tự nhiên chẵn: 2; 4; 6; 8; …có số hạng đầu u₁ = 2, số hạng tổng quát là u_n = 2n.

b) Dãy các số tự nhiên chia hết cho 5 là 5; 10; 15; 20; … có số hạng đầu u₁ = 5, số hạng tổng quát là u_n = 5n.

3. Định nghĩa dãy số hữu hạn.

- Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3,.., m} với  được gọi là một dãy số hữu hạn.

- Dạng khai triển của nó là u₁, u₂, u₃,…, u_m, trong đó u₁ là số hạng đầu, u_m là số hạng cuối.

- Ví dụ 2.

a) 4, 7, 10, 13, 16, 19 là dãy số hữu hạn có u₁ = 4; u₆ = 19.

b) $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6}$ là dãy số hữu hạn có u₁ = 4; u₆ = $\frac{1}{6}$.

4. Cách cho một dãy số.

4.1 Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

- Ví dụ.

a) Cho dãy số (u_n) với u_n = n².   (1)

Từ công thức (1), ta có thể xác định được bất kì một số hạng nào của dãy số. Chẳng hạn, u₁₀ = 10² = 100.

Nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển ta được:

1, 4, 9, 16, 25, 36,…, n²,….

b) Dãy số (u_n) với $u_n=\frac{{(-1)}^n}{n}$ có dạng khai triển là: $-1,\frac{1}{2},\frac{-1}{3},\frac{1}{4},\frac{-1}{5},$$\frac{1}{6},\mathrm{...},\frac{{(-1)}^n}{n},\mathrm{...}$

4.2 Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Ví dụ. Số là số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Nếu lập dãy số (u_n) với u_n là giá trị gần đúng thiếu của số $\sqrt{2}$ với sai số tuyệt đối 10^-n thì:

u₁ = 1,4 ; u₂ = 1,41; u₃ = 1,414; u₄ = 1,4142,….

Đó là dãy số được cho bằng phương pháp mô tả, trong đó chỉ ra cách viết các số hạng liên tiếp của dãy.

4.3 Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:

a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).

b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

- Ví dụ 5. Dãy số (u_n) được xác định như sau:

$\left\{\begin{array}{c}{u}_1=1;u_2=2\\ u_n=2u_{n-1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3u_{n-2}(n\ge 3)\end{array}\right.$

Dãy số như trên là dãy số cho bằng phương pháp truy hồi.

5. Biểu diễn hình học của dãy số.

Vì dãy số là một hàm số trên nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Khi đó trong mặt phẳng tọa độ, dãy số được biểu diễn bằng các điểm có tọa độ (n ; u_n).

Ví dụ 6: Dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n+1}{n}$ có biểu diễn hình học như sau:

6. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

6.1 Dãy số tăng, dãy số giảm.

- Định nghĩa 1:

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u_{n +1} > u_n với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu ta có u_{n +1} < u_n với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Ví dụ 7. Dãy số (u_n) với u_n = 2 – 2n là dãy số giảm.

Thật vậy, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ xét hiệu u_{n +1} – u_n. Ta có:

u_{n +1} – u_n = 2 – 2(n + 1) – (2 – 2n) = – 2  < 0

Do u_{n +1} – u_n < 0 nên u_{n +1} < u_n với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

- Chú ý:

Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn dãy số (u_n) với u_n = (– 1)ⁿ tức là dãy: – 1, 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1…không tăng cũng không giảm.

6.2 Dãy số bị chặn.

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho:

$u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho:

$u_n\ge m,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m; M sao cho:

$m\le u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

- Ví dụ 8. Dãy số (u_n) với $u_n=\frac{1}{n}$ bị chặn vì 0 < u_n ≤ 1.

7. Định nghĩa cấp số cộng

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (u_n) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

u_n+1 = u_n + d với $n\in {\mathbb{N}}^{*}$   (1)

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 1; công sai d = 3.

8. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

- Định lí: Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d với n ≥ 2.

- Ví dụ 2. Cho cấp số cộng (u_n), biết u₁ = 1; d =5.

a) Tìm u₁₀.

b) Số 106 là số hạng thứ bao nhiêu?

Lời giải:

a) Số hạng thứ 10 là u₁₀ = u₁ + (10 – 1)d = 1 + 9.5 = 46.

b) Ta có: u_n = u₁ + (n – 1)d. Vì u_n =106 nên:

106 = 1 + (n – 1).5

105 = (n – 1).5

21 = n – 1 nên n = 22.

Vậy 106 là số hạng thứ 22.

9. Tính chất các số hạng của cấp số cộng.

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+\text{}1}}{2};k\ge 2$

10. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

- Định lí: Cho cấp số cộng (u_n). Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n.

Khi đó:  $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$.

- Chú ý: vì u_n = u₁ + (n – 1)d nên ta có: $S_n=n{u}_1^{}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{n(n-1)}{2}d$.

Ví dụ 3. Cho cấp số cộng (u_n) với u_n = 2n + 5.

a) Tìm u₁ và d.

b) Tính tổng 40 số hạng đầu tiên.

c) Biết S_n = 187, tìm n.

Lời giải:

a) Ta có: u₁ = 2.1 + 5 = 7; u₂ = 2.2 + 5 = 9.

Suy ra, d = u₂ – u₁ = 2.

b) Tổng 40 số hạng đầu tiên là:

11. Định nghĩa cấp số nhân

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

- Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

u_{n + 1} = u_n. q với $n\in \mathbb{N}*$.

- Đặc biệt

Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁, 0, 0, …., 0,…..

Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁, u₁, u₁, …., u₁,…

Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, 0, 0,…, 0..

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân: 2, 4, 8, 16, 32 với số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 2.

12. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

- Định lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức: u_n = u₁.q^{n - 1} với n ≥ 2.

- Ví dụ 2. Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = – 1; q = – 2.

a) Tính u₆;

b) Hỏi 128 là số hạng thứ mấy.

Lời giải:

a) Ta có: u₆ = u₁. q⁵ = –1. (– 2)⁵ = 32.

b) Ta có: u_n = u₁.q^{n - 1} nên 128 = – 1. (– 2)^{n - 1}

$\iff$(– 2)^{n - 1} = – 128 = (– 2)⁷.

$\iff$n – 1 = 7 nên n = 8.

Vậy 128 là số hạng thứ 8.

13. Tính chất các số hạng của cấp số nhân

- Định lí: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_k^2=u_{k-1}.u_{k+\text{}1};k\ge 2$

( hay $\left|u_k\right|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+\text{}1}}$).

14. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

- Định lí: Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + …+ u_n .

Khi đó: $S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$.

- Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, u₁,….u₁,….Khi đó, S_n = n.u₁.

Ví dụ 3. Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁ = 3; u₂ = 9. Tính tổng của 8 số hạng đầu tiên?

Lời giải:

Ta có: u₂ = u₁.q nên 9 = 3q.

Suy ra, công bội q = 3.

Khi đó, tổng của 8 số hạng đầu tiên là:

$$\begin{gathered} S_8=\frac{u_1(1-q^8)}{1-q} \\ =\frac{3.(1-3^8)}{1-3}=9840 \end{gathered}$$

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho hai cấp số cộng (un): 4, 7, 10, 13, 16, ...và (vn):1, 6, 11, 16, 21, ...Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng , có bao nhiêu số hạng chung?

A.10

B. 20

C. 30

D. 40

Lời giải:

Bài 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: .

a. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;

A. - 243

B. - 295

C. - 231

D. - 294

b. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;

A. - 244

B. - 274

C. - 253

D. - 285

Lời giải:

Bài 3: Ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng -9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29. Tìm số hạng đầu tiên

A. -3 hoặc – 6

B. – 4 hoặc -2

C. -1 hoặc -5

D. -4 hoặc - 7

Lời giải:

Bài 4: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có góc nhỏ nhất bằng 25°. Tìm 2 góc còn lại?

A. 65° ; 90°.

B. 75° ; 80°.

C. 60° ; 95°.

D. 55°; 100°.

Lời giải:

Bài 5: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. a² + c² = 2ab + 2bc.

B. a² - c² = 2ab - 2bc.

C. a² + c² = 2ab - 2bc.

D. a² - c² = ab - bc.

Lời giải:

Bài 6: Tìm x để 3 số : 1 - x; x² ; x + 1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A. Không có giá trị nào của x.

B. x = ± 2 .

C. x = ± 1 .

D. x = 0

Lời giải:

Bài 7: Dãy số (un) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai d, biết rẳng

a. un = 2n + 3

A. d = -2

B. d = 3

C. d = 5

D. d = 2

b. un = -3n + 1

A. d = -2

B. d = 3

C. d = -3

D. d = 1

c. un = n2 + 1

A. d = Ø

B. d = 3

C. d = -3

D. d = 1

d. un = 2/n

A. d = Ø

B. d = 1/2

C. d = -3

D. d = 1

Lời giải:

Bài 8: Cho cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu bằng 3 số hạng cuối bằng 24. Tính tổng các số hạng này

A. 105

B. 27

C. 108

D. 111

Lời giải:

Bài 9: Cho một cấp số cộng có u1 = -3; u6 = 27. Tìm d ?

A. d = 5

B. d = 7

C. d = 6

D. d = 8

Lời giải:

Bài 10: Cho 4 số lập thành cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tổng các lập phương của chúng bằng :

A. 22

B. 166

C. 1752

D. 1408

Lời giải: