Chuyên đề Giới hạn của dãy số (2022) - Toán 11
Với Chuyên đề Giới hạn của dãy số (2022) - Toán 11 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 11 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.
Chuyên đề Giới hạn của dãy số - Toán 11
A. Lý thuyết
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: hay un → 0 khi n → +∞.
Ví dụ 1. Cho dãy số (un) với . Tìm giới hạn dãy số
Giải
Xét
Với n > 10 n2 > 102 = 100
Định nghĩa 2
Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu
Kí hiệu: hay vn → a khi n → +∞.
Ví dụ 2. Cho dãy số . Chứng minh rằng .
Giải
Ta có
Do đó: .
2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) với k nguyên dương;
b) nếu |q| < 1;
c) Nếu un = c (c là hằng số) thì .
Chú ý: Từ nay về sau thay cho ta viết tắt là lim un = a.
II. Định lý về giới hạn hữu hạn
Định lí 1
a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì
lim (un + vn) = a + b
lim (un – vn) = a – b
lim (un.vn) = a.b
(nếu )
Nếu với mọi n và limun = a thì:
và
Ví dụ 3. Tính
Giải
Ví dụ 4. Tìm
Giải
III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
Ví dụ 5. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Giải
Ta có dãy số là một số cấp số nhân lùi vô hạn với công bội .
Khi đó ta có:
IV. Giới hạn vô cực
1. Định nghĩa
- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.
- Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.
Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞.
Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau
a) lim nk = +∞ với k nguyên dương;
b) lim qn = +∞ nếu q > 1.
3. Định lí 2
a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì
b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì
c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì
Ví dụ 6. Tính .
Giải
Vì và
B. Bài tập
I. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1:
A.
B.
C. 0
D. 1
Lời giải:
Chia cả tử thức mẫu thức cho n , ta có:
Chọn đáp án D
Bài 2: lim(-3n3+2n2-5) bằng:
A. -3
B. 0
C. -∞
D. +∞
Lời giải:
Ta có:
Chọn đáp án C
Bài 3: Lim(2n4+5n2-7n) bằng
A. -∞
B. 0
C. 2
D. +∞
Lời giải:
Ta có:
Chọn đáp án D
Bài 4: Dãy số nào sau đây có giưới hạn là +∞?
A. un = 9n2-2n5
B. un = n4-4n5
C. un = 4n2-3n
D. un = n3-5n4
Lời giải:
Chỉ có dãy un = 4n2-3n có giới hạn là +∞, các dãy còn lại đều có giới hạn là -∞. Đáp án C
Thật vậy, ta có:
Chọn đáp án C
Bài 5: Nếu limun = L,un+9>0 ∀n thì lim√(un+9) bằng số nào sau đây?
A. L+9
B. L+3
C. √(L+9)
D. √L+3
Lời giải:
Vì limun = L nên lim(un + 9) = L + 9 do đó lim√(un + 9)=√(L + 9)
Chọn đáp án C
Bài 6:
A. 0
B. 1
C. 2
D. +∞
Lời giải:
- Cách 1: Chia tử thức và mẫu thức cho n:
Đáp án là B
- Cách 2: Thực chất có thể coi bậc cao nhất của tử thức và mẫu thức là 1, do đó chỉ cần để ý hệ số bậc 1 của tử thức là √4, của mẫu thức là 2, từ đó tính được kết quả bằng 1.
Chọn đáp án B
Bài 7: limn(√(n2+1)-√(n2-3)) bằng:
A. +∞
B. 4
C. 2
D. -1
Lời giải:
Chọn đáp án C
Bài 8:
A.
B.
C. 1
D.+∞
Lời giải:
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho √n, ta được:
Chọn đáp án C
Bài 9: Tổng của cấp số nhân vô hạn :
A. 1
B.
C.
D.
Lời giải:
Chọn đáp án B
Bài 10: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 2,151515... (chu kỳ 15), a được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản, trong đó m, n là các số nguyên dương. Tìm tổng m + n.
A. 104
B. 312
C. 38
D . 114
Lời giải:
Chọn đáp án A
II. Bài tập tự luận có lời giải
Bài 1: Tính lim(n3 - 2n + 1)?
Lời giải:
Bài 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
Lời giải:
- Cách 1:
- Cách 2 (phương pháp loại trừ): Từ các định lí ta thấy:
Các dãy ở phương án A,B đều bằng 0, do đó loại phương án A,B
Bài 3: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
Lời giải:
- Cách 1: Dãy (1/3)n có giới hạn 0 vì |q| < 1 thì limqn = 0. Đáp án là D
- Cách 2: Các dãy ở các phương án A,B,C đều có dạng lim qn nhưng |q| > 1 nên không có giới hạn 0, do đó loại phương án A,B,C. Chọn đáp án D
Bài 4: lim((3-4n)/5n) có giá trị bằng:
Lời giải:
- Cách 1: Chia tử và mẫu của phân tử cho n (n là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), ta được :
- Cách 2: Sử dụng nhận xét:
khi tính lim un ta thường chia tử và mẫu của phân thức cho nk (nk là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), từ đó được kết quả:
Nếu m < p thì lim un =0. Nếu m =p thì lim un=am/bp
Nếu m > p thì lim un= +∞ nếu am.bp > 0; lim un= -∞ nếu am.bp < 0
Vì tử và mẫu của phân thức đã cho đều có bậc 1 nên kết quả
Bài 5:
Lời giải:
- Cách 1: Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức nên kết quả :
Bài 6:
Lời giải:
- Cách 1: Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức lớn hơn bậc của mẫu thức, hệ số luỹ thừa bậc cao nhất của n cả tử và mẫu là số dương nên kết quả :
Bài 7: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1/5?
Lời giải:
Bài 8:
Lời giải:
Bài 9:
Lời giải:
Chia cả tử thức và mẫu thức cho √n
Bài 10:
Lời giải:
Trước hết tính :
III. Bài tập vận dụng
Bài 1
bằng ?
Bài 2
bằng ?
Bài 3 Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,32111... được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản a/b, trong đó a, b là các số nguyên dương. Tính a - b
Bài 4
bằng?
Bài 5 Giá trị của 
bằng?
Bài 6 Kết quả đúng của 
là?
Bài 7 Giá trị của 
bằng?
Bài 8 Cho dãy số un với 
. Chọn kết quả đúng của lim un là?
Bài 9 Tính giới hạn: 
Bài 10 Giá trị của 
bằng?
Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 11 | Giải bài tập Hóa học 11 Học kì 1, Học kì 2 (Sách mới)
- Lý thuyết Hóa học 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Hóa 11
- Giải sbt Hóa học 11 (sách mới) | Sách bài tập Hóa học 11
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 11
- Giáo án Hóa học lớp 11 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 11 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ Văn 11 (sách mới)
- Soạn văn 11 (ngắn nhất) | Để học tốt Ngữ văn 11 (sách mới)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu 11 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Tiếng Anh 11 | Giải bài tập Tiếng anh 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (sách mới) | Sách bài tập Tiếng Anh 11
- Giải sbt Tiếng Anh 11 (thí điểm)
- Giải sgk Lịch sử 11 | Giải bài tập Lịch sử 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Lịch Sử 11(sách mới) | Kiến thức trọng tâm Lịch Sử 11
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 11
- Giải sgk Vật Lí 11 | Giải bài tập Vật lí 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Vật Lí 11 (sách mới) | Sách bài tập Vật Lí 11
- Lý thuyết Vật Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Vật Lí 11
- Các dạng bài tập Vật Lí lớp 11
- Giáo án Vật lí lớp 11 mới nhất
- Giải sgk Sinh học 11 | Giải bài tập Sinh học 11 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Sinh học 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Sinh 11
- Giải sgk Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Giáo dục công dân 11
- Lý thuyết Địa Lí 11 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Địa lí 11
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 11
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 11