Chuyên đề Giới hạn của dãy số (2022) - Toán 11

Với Chuyên đề Giới hạn của dãy số (2022) - Toán 11 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 11 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.

1 961 18/08/2022

Tải về

Trang trước

Trang sau

Chuyên đề Giới hạn của dãy số - Toán 11

A. Lý thuyết

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ hay u_n → 0 khi n → +∞.

Ví dụ 1. Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2}}$ . Tìm giới hạn dãy số

Giải

Xét $|u_{n}| = |\frac{1}{n^{2}}| = \frac{1}{n^{2}}$

Với n > 10 n² > 10² = 100

$\Rightarrow |u_{n}| = |\frac{1}{n^{2}}| = \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{100} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} u_{n} = 0$

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (v_n) có giới hạn là a (hay v_n dần tới a) khi n → +∞ nếu $\lim_{n \to + \infty} (v_{n} - a) = 0$

Kí hiệu: $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = a$ hay v_n → a khi n → +∞.

Ví dụ 2. Cho dãy số $v_{n} = \frac{- n - 1}{3 + 2 n}$ . Chứng minh rằng $\lim_{n \to \infty} v_{n} = \frac{- 1}{2}$ .

Giải

Ta có $\lim_{n \to \infty} (v_{n} + \frac{1}{2}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{- n - 1}{3 + 2 n} + \frac{1}{2})$ $= \lim_{n \to \infty} = \frac{1}{2 (3 + 2 n)} = 0$

Do đó: $\lim_{n \to \infty} v_{n} = \frac{- 1}{2}$ .

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0, \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{k}} = 0$ với k nguyên dương;

b) $\lim_{n \to + \infty} q^{n}$ nếu |q| < 1;

c) Nếu u_n = c (c là hằng số) thì $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \lim_{n \to + \infty} c = c$ .

Chú ý: Từ nay về sau thay cho $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ ta viết tắt là lim u_n = a.

II. Định lý về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = b thì

lim (u_n + v_n) = a + b

lim (u_n – v_n) = a – b

lim (u_n.v_n) = a.b

$\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{a}{b}$ (nếu $b \neq 0$ )

Nếu $u_{n} \geq 0$ với mọi n và limu_n= a thì:

$\lim \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$ và $a \geq 0 .$

Ví dụ 3. Tính $\lim (n^{2} - \frac{2}{n + 1})$

Giải

$\lim (n^{2} - \frac{2}{n + 1}) = \lim \frac{n^{3} + n^{2} - 2}{n + 1} = \lim \frac{1 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n^{3}}}{\frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}} = \lim (1 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n^{3}}) : \lim (\frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}) = (\lim 1 + \lim \frac{1}{n} - \lim \frac{2}{n^{3}}) : (\lim \frac{1}{n^{2}} + \lim \frac{1}{n^{3}}) = + \infty$

Ví dụ 4. Tìm $\lim \frac{\sqrt{2 + 9 n^{2}}}{1 + 4 n}$

Giải

$\lim \frac{\sqrt{2 + 9 n^{2}}}{1 + 4 n} = \lim \frac{\sqrt{n^{2} (\frac{2}{n^{2}} + 9)}}{n (\frac{1}{n} + 4)} = \lim \frac{n \sqrt{(\frac{2}{n^{2}} + 9)}}{n (\frac{1}{n} + 4)} = \lim \frac{\sqrt{(\frac{2}{n^{2}} + 9)}}{\frac{1}{n} + 4} = \frac{3}{4} .$

III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

$S = u_{1} + u_{2} + u_{3} + . .. + u_{n} + . .. = \frac{u_{1}}{1 - q} (|q| < 1)$

Ví dụ 5. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $1; - \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; - \frac{1}{8}; . ..; {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}; . ..$

Giải

Ta có dãy số $1; - \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; - \frac{1}{8}; . ..; {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}; . ..$ là một số cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $q = - \frac{1}{2}$ .

Khi đó ta có:

Lý thuyết Giới hạn của dãy số chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

IV. Giới hạn vô cực

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim u_n = +∞ hay u_n → +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (u_n) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–u_n) = +∞.

Kí hiệu: lim u_n = –∞ hay u_n → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: u_n = +∞ ⇔ lim(–u_n) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim n^k = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qⁿ = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = ±∞ thì $\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = 0$

b) Nếu lim u_n = a > 0, lim v_n = 0 và v_n > 0, ∀ n > 0 thì $\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = + \infty$

c) Nếu lim u_n = +∞ và lim v_n = a > 0 thì ${limu}_{n} . v_{n} = + \infty$

Ví dụ 6. Tính $\lim (2^{n} + \frac{1}{n})$ .

Giải

$\lim (2^{n} + \frac{1}{n}) = \lim 2^{n} + \lim \frac{1}{n}$

Vì $\lim 2^{n} = + \infty$ và $\lim \frac{1}{n} = 0$

$\Rightarrow \lim (2^{n} + \frac{1}{n}) = + \infty$

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

A. $\frac{2}{5}$

B. $\frac{1}{5}$

C. 0

D. 1

Lời giải:

Chia cả tử thức mẫu thức cho n , ta có:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án D

Bài 2: lim⁡(-3n³+2n²-5) bằng:

A. -3

B. 0

C. -∞

D. +∞

Lời giải:

Ta có:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án C

Bài 3: Lim(2n⁴+5n²-7n) bằng

A. -∞

B. 0

C. 2

D. +∞

Lời giải:

Ta có:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án D

Bài 4: Dãy số nào sau đây có giưới hạn là +∞?

A. un = 9n²-2n⁵

B. un = n⁴-4n⁵

C. un = 4n²-3n

D. un = n³-5n⁴

Lời giải:

Chỉ có dãy un = 4n²-3n có giới hạn là +∞, các dãy còn lại đều có giới hạn là -∞. Đáp án C

Thật vậy, ta có:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án C

Bài 5: Nếu limun = L,un+9>0 ∀n thì lim√(un+9) bằng số nào sau đây?

A. L+9

B. L+3

C. √(L+9)

D. √L+3

Lời giải:

Vì limun = L nên lim⁡(un + 9) = L + 9 do đó lim√(un + 9)=√(L + 9)

Chọn đáp án C

Bài 6:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

A. 0

B. 1

C. 2

D. +∞

Lời giải:

- Cách 1: Chia tử thức và mẫu thức cho n:

Đáp án là B

- Cách 2: Thực chất có thể coi bậc cao nhất của tử thức và mẫu thức là 1, do đó chỉ cần để ý hệ số bậc 1 của tử thức là √4, của mẫu thức là 2, từ đó tính được kết quả bằng 1.

Chọn đáp án B

Bài 7: lim⁡n(√(n²+1)-√(n²-3)) bằng:

A. +∞

B. 4

C. 2

D. -1

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án C

Bài 8:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

A. $\frac{5}{7}$

B. $\frac{5}{2}$

C. 1

D.+∞

Lời giải:

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho √n, ta được:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án C

Bài 9: Tổng của cấp số nhân vô hạn :

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

A. 1

B. $\frac{1}{3}$

C. $- \frac{1}{3}$

D. $\frac{- 2}{3}$

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án B

Bài 10: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 2,151515... (chu kỳ 15), a được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản, trong đó m, n là các số nguyên dương. Tìm tổng m + n.

A. 104

B. 312

C. 38

D . 114

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án A

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Tính lim(n³ - 2n + 1)?

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

Lời giải:

- Cách 1:

- Cách 2 (phương pháp loại trừ): Từ các định lí ta thấy:

Các dãy ở phương án A,B đều bằng 0, do đó loại phương án A,B

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 3: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

Lời giải:

- Cách 1: Dãy (1/3)n có giới hạn 0 vì |q| < 1 thì limqn = 0. Đáp án là D

- Cách 2: Các dãy ở các phương án A,B,C đều có dạng lim qn nhưng |q| > 1 nên không có giới hạn 0, do đó loại phương án A,B,C. Chọn đáp án D

Bài 4: lim((3-4n)/5n) có giá trị bằng:

Lời giải:

- Cách 1: Chia tử và mẫu của phân tử cho n (n là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), ta được :

- Cách 2: Sử dụng nhận xét:

khi tính lim un ta thường chia tử và mẫu của phân thức cho nk (nk là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), từ đó được kết quả:

Nếu m < p thì lim un =0. Nếu m =p thì lim un=am/bp

Nếu m > p thì lim un= +∞ nếu am.bp > 0; lim un= -∞ nếu am.bp < 0

Vì tử và mẫu của phân thức đã cho đều có bậc 1 nên kết quả

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 5:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

- Cách 1: Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức nên kết quả :

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 6:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

- Cách 1: Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức lớn hơn bậc của mẫu thức, hệ số luỹ thừa bậc cao nhất của n cả tử và mẫu là số dương nên kết quả :

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 7: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1/5?

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 8:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 9:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Chia cả tử thức và mẫu thức cho √n

Bài 10:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Lời giải:

Trước hết tính :

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng ?

Bài 2 Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng ?

Bài 3 Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,32111... được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản a/b, trong đó a, b là các số nguyên dương. Tính a - b

Bài 4 Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng?

Bài 5 Giá trị của Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng?

Bài 6 Kết quả đúng của Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 là?

Bài 7 Giá trị của Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng?

Bài 8 Cho dãy số u_n với Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 . Chọn kết quả đúng của lim u_n là?

Bài 9 Tính giới hạn: Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài 10 Giá trị của Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng?

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Giới hạn của hàm số

Chuyên đề Hàm số liên tục

Chuyên đề Ôn tập chương 4

Chuyên đề Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Chuyên đề Quy tắc tính đạo hàm

1 961 18/08/2022

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3