Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Chuyên đề Đạo hàm mới nhất - Toán 11

    Với Chuyên đề Toán 11 Chương 5: Đạo hàm mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán lớp 11 giúp bạn học tốt môn Toán hơn.

    1 527 27/08/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Mục lục Chuyên đề Toán 11 Chương 5: Đạo hàm

    Chuyên đề Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

    Xem chi tiết 

    Chuyên đề Quy tắc tính đạo hàm

    Xem chi tiết 

    Chuyên đề Đạo hàm của hàm số lượng giác

    Xem chi tiết 

    Chuyên đề Vi phân

    Xem chi tiết 

    Chuyên đề Đạo hàm cấp hai

    Xem chi tiết 

    Chuyên đề Ôn tập chương 5

    Xem chi tiết 

    Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 4 hay, chi tiết khác:

    Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

    Chương 2: Tổ hợp – xác suất

    Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

    Chương 4: Giới hạn

    Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

    --------------------------------------------------------

    Chuyên đề Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Toán 11

    A. LÝ THUYẾT

    I. Đạo hàm tại một điểm

    1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

     Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 thuộc (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn): limx→x0fx−fx0x−x0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 và được kí hiệu là f'(x0). Vậy f'x0=limx→x0fx−fx0x−x0.

    * Chú ý:

    Đại lượng ∆x = x- x0 được gọi là số gia của đối số tại x0.

    Đại lượng ∆y= f(x) – f(x0)= f(x0 + ∆x) –  f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy: y'x0=limΔx→∞ΔyΔx. 

    2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

    Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây:

    + Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 tính:

    ∆y= f(x0 + ∆x) – f( x0) .

    + Bước 2: Lập tỉ số ΔyΔx..

    + Bước 3: Tìm limΔx→0ΔyΔx.

    Ví dụ 1. Cho hàm số y=2x−3, có Δx là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó ΔyΔx bằng bao nhiêu.

    Lời giải

    Tập xác định của hàm số đã cho là: D=32;+∞.

    Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 2. Ta có: Δy=f2+Δx−f2=2.2+Δx−3 −2.2−3=2Δx+1−1

    Khi đó:

    ΔyΔx=2Δx+1−1Δx⇒limΔx→0ΔyΔx=limΔx→02Δx+1−1Δx=limΔx→02Δx+1−1.2Δx+1+1Δx.2Δx+1+1=limΔx→02ΔxΔx.2Δx+1+1=limΔx→022Δx+1+1=1

    Vậy f’(2) = 1.

    3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

    Định lý 1. Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

    Chú ý:

    + Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

    + Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

    Ví dụ 2. Chẳng hạn hàm số  liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị gãy tại điểm O(0;0) như hình vẽ sau:

    Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

    4. Ý nghĩa của đạo hàm

    a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

    +) Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x = x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).

    +) Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

    y – y0= f’(x0) ( x- x0) trong đó y0= f(x0).

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 527 27/08/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: