Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Chuyên đề Giới hạn mới nhất - Toán 11

    Với Chuyên đề Toán 11 Chương 4: Giới hạn mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán lớp 11 giúp bạn học tốt môn Toán hơn.

    1 534 27/08/2022
    Trang trước
    Trang sau  

    Mục lục Chuyên đề Toán 11 Chương 4: Giới hạn

    Chuyên đề Giới hạn của dãy số

    Xem chi tiết 

    Chuyên đề Giới hạn của hàm số

    Xem chi tiết 

    Chuyên đề Hàm số liên tục

    Xem chi tiết 

    Chuyên đề Ôn tập chương 4

    Xem chi tiết 

    Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 4 hay, chi tiết khác:

    Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

    Chương 2: Tổ hợp – xác suất

    Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

    Chương 5: Đạo hàm

    Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

    ------------------------------------------------------

    Chuyên đề Giới hạn của dãy số - Toán 11

    A. Lý thuyết

    I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

    1. Định nghĩa

    Định nghĩa 1

    Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

    Kí hiệu: limn→+∞un=0 hay un → 0 khi n → +∞.

    Ví dụ 1. Cho dãy số (un) với un=(−1)nn2. Tìm giới hạn dãy số

    Giải

    Xét |un|=|1n2|=1n2

    Với n > 10 n2 > 102 = 100

    ⇒|un|=|1n2|=1n2<1100⇒limn→∞un=0

    Định nghĩa 2

    Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu limn→+∞(vn−a)=0

    Kí hiệu: limn→+∞vn=a hay vn → a khi n → +∞.

    Ví dụ 2. Cho dãy số vn=−n−13+2n. Chứng minh rằng limn→∞vn=−12.

    Giải

    Ta có limn→∞(vn+12)=limn→∞(−n−13+2n+12)=limn→∞=12(3+2n)=0

    Do đó: limn→∞vn=−12.

    2. Một vài giới hạn đặc biệt

    a) limn→+∞1n=0,limn→+∞1nk=0 với k nguyên dương;

    b) limn→+∞qn nếu |q| < 1;

    c) Nếu un = c (c là hằng số) thì limn→+∞un=limn→+∞c=c.

    Chú ý: Từ nay về sau thay cho limn→+∞un=a ta viết tắt là lim un = a.

    II. Định lý về giới hạn hữu hạn

    Định lí 1

    a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì

    lim (un + vn) = a + b

    lim (un – vn) = a – b

    lim (un.vn) = a.b

    limunvn=ab (nếu b≠0)

    Nếu un≥0 với mọi n và limun­ = a thì:

    lim√un=√a và a≥0.

    Ví dụ 3. Tính lim(n2−2n+1)

    Giải

    lim(n2−2n+1)=limn3+n2−2n+1=lim1+1n−2n31n2+1n3=lim(1+1n−2n3):lim(1n2+1n3)=(lim1+lim1n−lim2n3):(lim1n2+lim1n3)=+∞

    Ví dụ 4. Tìm lim√2+9n21+4n

    Giải

    lim√2+9n21+4n=lim√n2(2n2+9)n(1n+4)=limn√(2n2+9)n(1n+4)=lim√(2n2+9)1n+4=34.

    III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

    Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

    Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

    S=u1+u2+u3+...

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 534 27/08/2022
    Trang trước
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: