Chuyên đề Giới hạn mới nhất - Toán 11

Mục lục Chuyên đề Toán 11 Chương 4: Giới hạn

Chuyên đề Giới hạn của dãy số

Xem chi tiết 

Chuyên đề Giới hạn của hàm số

Xem chi tiết 

Chuyên đề Hàm số liên tục

Xem chi tiết 

Chuyên đề Ôn tập chương 4

Xem chi tiết 

Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 4 hay, chi tiết khác:

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Tổ hợp – xác suất

Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

Chương 5: Đạo hàm

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

------------------------------------------------------

Chuyên đề Giới hạn của dãy số - Toán 11

A. Lý thuyết

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=0$ hay un → 0 khi n → +∞.

Ví dụ 1. Cho dãy số (un) với ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\frac{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}}}{{\mathrm{n}}^2}$. Tìm giới hạn dãy số

Giải

Xét $\left|{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right|=\left|\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}\right|=\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}$

Với n > 10 n2 > 102 = 100

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left|{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right|=\left|\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}\right|=\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}<\frac{1}{100} \\ \Rightarrow \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=0 \end{gathered}$$

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\left({\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}-\mathrm{a}\right)=0$

Kí hiệu: $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ hay vn → a khi n → +∞.

Ví dụ 2. Cho dãy số ${\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\frac{-\mathrm{n}-1}{3+2\mathrm{n}}$. Chứng minh rằng $\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\frac{-1}{2}$.

Giải

Ta có $\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\left({\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{2}\right)=\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\left(\frac{-\mathrm{n}-1}{3+2\mathrm{n}}+\frac{1}{2}\right)$$=\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }=\frac{1}{2\left(3+2\mathrm{n}\right)}=0$

Do đó: $\underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\frac{-1}{2}$.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\mathrm{n}}=0,\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\frac{1}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}}=0$ với k nguyên dương;

b) $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}$ nếu |q| < 1;

c) Nếu un = c (c là hằng số) thì $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }\mathrm{c}=\mathrm{c}$.

Chú ý: Từ nay về sau thay cho $\underset{\mathrm{n}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}$ ta viết tắt là lim un = a.

II. Định lý về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì

lim (un + vn) = a + b

lim (un – vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

$\lim \frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ (nếu $\mathrm{b}\ne 0$)

Nếu ${\text{u}}_{\mathrm{n}}\ge 0$ với mọi n và limun­ = a thì:

$\lim \sqrt{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}=\sqrt{\mathrm{a}}$ và $\mathrm{a}\ge 0.$

Ví dụ 3. Tính $\lim \left({\mathrm{n}}^2-\frac{2}{\mathrm{n}+1}\right)$

Giải

$$\begin{gathered} \lim \left({\mathrm{n}}^2-\frac{2}{\mathrm{n}+1}\right) \\ =\lim \frac{{\mathrm{n}}^3+{\mathrm{n}}^2-2}{\mathrm{n}+1} \\ =\lim \frac{1+\frac{1}{\mathrm{n}}-\frac{2}{{\mathrm{n}}^3}}{\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}} \\ =\lim \left(1+\frac{1}{\mathrm{n}}-\frac{2}{{\mathrm{n}}^3}\right): \\ \lim \left(\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{n}}^3}\right) \\ =\left(\lim 1+\lim \frac{1}{\mathrm{n}}-\lim \frac{2}{{\mathrm{n}}^3}\right): \\ \left(\lim \frac{1}{{\mathrm{n}}^2}+\lim \frac{1}{{\mathrm{n}}^3}\right) \\ =+\infty \end{gathered}$$

Ví dụ 4. Tìm $\lim \frac{\sqrt{2+9{\mathrm{n}}^2}}{1+4\mathrm{n}}$

Giải

$$\begin{gathered} \lim \frac{\sqrt{2+9{\mathrm{n}}^2}}{1+4\mathrm{n}} \\ =\lim \frac{\sqrt{{\mathrm{n}}^2\left(\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}+9\right)}}{\mathrm{n}\left(\frac{1}{\mathrm{n}}+4\right)} \\ =\lim \frac{\mathrm{n}\sqrt{\left(\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}+9\right)}}{\mathrm{n}\left(\frac{1}{\mathrm{n}}+4\right)} \\ =\lim \frac{\sqrt{\left(\frac{2}{{\mathrm{n}}^2}+9\right)}}{\frac{1}{\mathrm{n}}+4} \\ =\frac{3}{4}. \end{gathered}$$

III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

$$\begin{gathered} \mathrm{S}={\mathrm{u}}_1+{\mathrm{u}}_2+{\mathrm{u}}_3+...+{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}+... \\ =\frac{{\mathrm{u}}_1}{1-\mathrm{q}}\left(\left|\mathrm{q}\right|<1\right) \end{gathered}$$