Chuyên đề Vi phân (2022) - Toán 11

1. Định nghĩa

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $(a;b)$ và có đạo hàm tại $x\in (a;b)$.

+) Kí hiệu: $∆x$ là số gia của $x$, sao cho $x+∆x\in (a;b)$.

+) Ta gọi $f^{\prime }(x).∆x$ (hay $y^{\prime }.∆x$) là vi phân của hàm số $y=f(x)$ tại $x$ ứng với số gia $∆x$.

Kí hiệu là $df(x)$ hay $dy$.

Công thức:  $dy=df(x)=f^{\prime }(x)∆x$

2. Chú ý:

+ Nếu $y=x$, ta có: $dx=dy=(x{)}^{\prime }.∆x=1.∆x=∆x$ 

+ Do đó với mọi hàm số $y=f(x)$, ta có: $dy=df(x)=f^{\prime }(x)∆x=f^{\prime }(x)dx$

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Tìm vi phân của các hàm số y = x³ + 2x²

A. dy = (3x² - 4x)dx

B. dy = (3x² + x)dx

C. dy = (3x² + 2x)dx

D. dy = (3x² + 4x)dx

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 2: Tìm vi phân của các hàm số 

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 3: Tìm vi phân của các hàm số y = sin2x + sin3x

A. dy = (cos2x + 3sin2xcosx)dx

B. dy = (2cos2x + 3sin2xcosx)dx

C. dy = (2cos2x + sin2xcosx)dx

D. dy = (cos2x + sin2xcosx)dx

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 4: Cho hàm số . Vi phân của hàm số là:

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 5: Vi phân của hàm số  là:

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 6: Cho hàm số . Vi phân của hàm số tại x = -3 là:

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 7: Hàm số . Tính vi phân của hàm số tại x = 0,01 và ∆x = 0,01?

A. 9.

B. -9.

C. 90.

D. -90.

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 8: Cho hàm số y = x³ – 2x² + 2 . Tính vi phân của hàm số tại điểm x0 = 1, ứng với số gia ∆x = 0,02.

A. -0,02

B. 0,01

C. 0,4

D. -0,06

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 9: Tính gần đúng giá trị sin46°

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 10: Tính gần đúng giá trị 

A. 1,0004

B. 1,0035

C. 1,00037

D.1,0005

Lời giải:

Chọn đáp án D

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = (x - 1)2. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f(x) ?

Lời giải:

Bài 2: Tìm vi phân của các hàm số y = tan2x

Lời giải:

Bài 3: Xét hàm số . Chọn câu đúng:

Lời giải:

Bài 4: Cho hàm số . Vi phân của hàm số là:

Bài 5: Hàm số y = xsinx + cosx có vi phân là:

Bài 6: Vi phân của hàm số f(x) = 3x2 – x tại điểm x = 2, ứng với ∆x = 0,1 là:

Bài 7: Tính gần đúng giá trị  (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả).

Lời giải:

Bài 8: Tính gần đúng giá trị cos30°15’

Lời giải:

Bài 9: Tìm vi phân của các hàm số sau:

Lời giải:

Bài 10 Tìm dy, biết:

Lời giải:

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) $y=\frac{\sqrt{x}}{a+b}$ ($a,b$ là hằng số)

b) $y=(x^2+4x+1)(x^2-\sqrt{x})$

Bài 2 Tìm $dy$, biết:

a) $y={\tan }^{2}x$

b) $y=\frac{\cos x}{1-x^2}$.

Bài 3 Tìm vi phân của các hàm số y = x³ + 2x²

Bài 4 Tìm vi phân của các hàm số 

Bài 5 Tìm vi phân của các hàm số y = sin2x + sin³x

Bài 6 Cho hàm số . Vi phân của hàm số là?

Bài 7 Vi phân của hàm số  là?

Bài 8 Cho hàm số . Vi phân của hàm số tại x = -3 là?

Bài 9 Hàm số . Tính vi phân của hàm số tại x = 0,01 và ∆x = 0,01?

Bài 10 Cho hàm số y = x³ – 2x² + 2 . Tính vi phân của hàm số tại điểm x₀ = 1, ứng với số gia ∆x = 0,02.

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Chuyên đề Quy tắc tính đạo hàm

Chuyên đề Đạo hàm của hàm số lượng giác

Chuyên đề Đạo hàm cấp hai

Chuyên đề Ôn tập chương 5