Chuyên đề Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân mới nhất - Toán 11

Mục lục Chuyên đề Toán 11 Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học

Xem chi tiết 

Chuyên đề Dãy số

Xem chi tiết 

Chuyên đề Cấp số cộng

Xem chi tiết 

Chuyên đề Cấp số nhân

Xem chi tiết 

Chuyên đề Ôn tập chương3

Xem chi tiết 

Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 4 hay, chi tiết khác:

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 2: Tổ hợp – xác suất

Chương 4: Giới hạn

Chương 5: Đạo hàm

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

----------------------------------------------------------

Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học - Toán 11

A. Lý thuyết

I. Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:

- Bước 1. Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

- Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.

II. Ví dụ áp dụng

- Ví dụ 1. Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có:

$1+2+3+\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}n=\frac{n(n+\text{\hspace{0.17em}}1)}{2}$  (*)

Lời giải:

Bước 1: Với n = 1 ta có:

Vế trái = 1 và vế phải = 1

Vậy hệ thức đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử hệ thức đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1  tức là:

 $1+2+3+\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}k$$=\frac{k(k+\text{\hspace{0.17em}}1)}{2}$ (1)

Ta cần chứng minh hệ thức đúng với n = k + 1, tức là:

$1+2+3+\mathrm{...}+\text{\hspace{0.17em}}k+k+\text{}1$$=\frac{(k+\text{}1)(k+2)}{2}$  (2)

Thật vậy:

Vế trái = 1 + 2 + 3+ … + k + k + 1

Vậy hệ thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

- Ví dụ 2. Chứng minh rằng với , ta có bất đẳng thức

$\frac{\mathrm{1.3.5....}(2n-1)}{\mathrm{2.4.6.}..2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

Lời giải:

- Với n = 1, bất đẳng thức cho trở thành: $\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{3}}$ (đúng).

Vậy bất đẳng thức cho đúng với n = 1.

- Giả sử bất đẳng thức cho  đúng với  mọi số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là :

$\frac{\mathrm{1.3.5....}(2k-1)}{\mathrm{2.4.6.}..2k}$$<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$ (1)

-Ta chứng minh bất đẳng thức cho đúng với n = k + 1, tức là :

$\frac{\mathrm{1.3.5....}(2k-1)(2k+\text{}1)}{\mathrm{2.4.6.}..2k(2k+\text{\hspace{0.17em}}2)}$$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}<\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$  (2)

Thật vậy, ta có :

$VT\left(2\right)=\frac{\mathrm{1.3.5....}(2k-1)}{\mathrm{2.4.6.}..2k}.$$\frac{2k+\text{}1}{2k+\text{}2}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}.$$\frac{2k+\text{}1}{2k+\text{}2}=\frac{\sqrt{2k+\text{\hspace{0.17em}}1}}{2k+\text{}2}$  (theo (1))

Ta chứng minh:

Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

- Chú ý:

Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên) thì:

+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;