Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Chuyên đề Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân mới nhất - Toán 11

    Với Chuyên đề Toán 11 Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán lớp 11 giúp bạn học tốt môn Toán hơn.

    1 694 27/08/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Mục lục Chuyên đề Toán 11 Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

    Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học

    Xem chi tiết 

    Chuyên đề Dãy số

    Xem chi tiết 

    Chuyên đề Cấp số cộng

    Xem chi tiết 

    Chuyên đề Cấp số nhân

    Xem chi tiết 

    Chuyên đề Ôn tập chương3

    Xem chi tiết 

    Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 4 hay, chi tiết khác:

    Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

    Chương 2: Tổ hợp – xác suất

    Chương 4: Giới hạn

    Chương 5: Đạo hàm

    Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

    ----------------------------------------------------------

    Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học - Toán 11

    A. Lý thuyết

    I. Phương pháp quy nạp toán học

    Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:

    - Bước 1. Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

    - Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

    Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.

    II. Ví dụ áp dụng

    - Ví dụ 1. Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có:

    1  +  2+ 3+...+​ n= n(n+ ​1)2   (*)

    Lời giải:

    Bước 1: Với n = 1 ta có:

    Vế trái = 1 và vế phải = 1

    Vậy hệ thức đúng với n = 1.

    Bước 2: Giả sử hệ thức đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1  tức là:

     1  +  2+ 3+...+​ k=   k(k+ ​1)2  (1)

    Ta cần chứng minh hệ thức đúng với n = k + 1, tức là:

    1  +  2+ 3+...+​ k  +  k+​1= (k+​1)(k+ 2)2   (2)

    Thật vậy:

    Vế trái = 1 + 2 + 3+ … + k + k + 1

    Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

    Vậy hệ thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

    - Ví dụ 2. Chứng minh rằng với , ta có bất đẳng thức

    1.3.5....(2n−1)2.4.6. . .2n   <  1 2n + 1

    Lời giải:

    - Với n = 1, bất đẳng thức cho trở thành: 12   <  13 (đúng).

    Vậy bất đẳng thức cho đúng với n = 1.

    - Giả sử bất đẳng thức cho  đúng với  mọi số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là :

    1.3.5....(2k−1)2.4.6. . .2k   <  1 2k + 1 (1)

    -Ta chứng minh bất đẳng thức cho đúng với n = k + 1, tức là :

    1.3.5....(2k−1)(2k+​1)2.4.6. . .2k(2k+​ 2)   <  1 2k + 3  (2)

    Thật vậy, ta có :

    VT(2)= 1.3.5....(2k−1)2.4.6. . .2k. 2k+​12k+​2   <  1 2k + 1. 2k+​12k+​2  = 2k+ ​12k+​2  (theo (1))

    Ta chứng minh:

    Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

    Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

    - Chú ý:

    Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên) thì:

    + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 694 27/08/2022
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: