Chuyên đề Hai mặt phẳng song song (2022) - Toán 11

Chuyên đề Hai mặt phẳng song song - Toán 11 

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

Hai mặt phẳng (α), (β) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Khi đó ta kí hiệu (α) // (β) hoặc (β) // (α).

II. Tính chất

- Định lí 1. Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (β) thì (α) song song với (β).

Ta có:

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{l}a,b\subset \left(\alpha \right),a\cap b=M\\ a\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\left(\beta \right)\\ b\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\left(\beta \right)\end{array}\right\} \\ \Rightarrow \left(\alpha \right)\text{//}\left(\beta \right) \end{gathered}$$

- Định lí 2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

- Hệ quả 1. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) thì qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với (α).

- Hệ quả 2. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

- Hệ quả 3. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với (α) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với (α).

- Định lí 3. Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

$\left.\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\text{//}\left(\beta \right)\\ a=\left(\alpha \right)\cap \left(\gamma \right)\\ b=\left(\beta \right)\cap \left(\gamma \right)\end{array}\right\}\Rightarrow a\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}b$

- Hệ quả. Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\text{//}\left(\beta \right)\\ a\cap \left(\alpha \right)=A,b\cap \left(\alpha \right)=A^{\text{'}}\\ a\cap \left(\beta \right)=B,b\cap \left(\beta \right)=B^{\text{'}}\\ A{A}^{\text{'}}=\left(\alpha \right)\cap \left(\gamma \right)\\ B{B}^{\text{'}}=\left(\beta \right)\cap \left(\gamma \right)\end{array}\right\} \\ \Rightarrow A{A}^{\text{'}}=B{B}^{\text{'}} \end{gathered}$$

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Chứng minh:

a) M, N, O, P  đồng phẳng.

b) mp(MON) // mp(SBC).

Lời giải:

a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MN // AD  (1).

Và OP là đường trung bình của tam giác ABC nên OP // BC // AD  (2).

Từ (1) và (2) suy ra MN // OP // AD nên 4 điểm M, N, O, P  đồng phẳng.

b) Vì $\left\{\begin{array}{c}MP\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}SB\\ OP\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC\\ \begin{array}{l}MP,OP\subset \left(MNOP\right)\\ SB,BC\subset \left(SBC\right)\end{array}\end{array}\right.$

Suy ra, (MNOP) // (SBC) hay (MON) // (SBC).

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I là trung điểm của A’B’. Mặt phẳng (IBD) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?

Lời giải:

- Ta tìm giao tuyến của 2 mp(IBD) và (A’B’C’D’)

$\left\{\begin{array}{c}BD\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}B\text{'}D\text{'}\\ BD\subset \left(IBD\right);B\text{'}D\text{'}\subset (A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'})\\ Ichung\end{array}\right.$

Suy ra, giao tuyến của (IBD) với (A’B’C’D’) là đường thẳng d đi qua I và song song với BD.

- Trong mặt phẳng (A’B’C’D’), gọi M là giao điểm của d và A’D’.

Suy ra,  IM // BD // B’D’.

Khi đó thiết diện là tứ giác IMDB và tứ giác này là hình thang.

III. Định lí Ta – let (Thalès)

- Định lí 4 (định lí Ta- let). Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

- Nếu d, d’ là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’ thì:

$\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}=\frac{CA}{C\text{'}A\text{'}}$

IV. Hình lăng trụ, hình hộp

Cho hai mặt phẳng song song (α) và (α’). Trên (α) cho đa giác lồi A₁A₂…A_n. Qua các đỉnh A₁, A₂,.., A_n ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (α’) lần lượt tại .

Hình gồm hai đa giác A₁A₂…A_n,  và các hình bình hành A₁A₁’A₂’A₂;

A₂A₂’A₃’A₃,…, A_nA_n’A₁’A₁ được gọi là hình lăng trụ và được kí hiệu là A₁A₂…A_n..

- Hai đa giác A₁A₂…A_n, gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ.

- Các đoạn thẳng A₁A’₁, A₂A₂’,…., A_nA_n’ gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ.

- Các hình bình hành A₁A₁’A₂’A₂, A₂A₂’A₃’A₃, …, A_nA_n’A₁’A₁ được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.

- Các đỉnh của hai đa giác được gọi là các đỉnh của hình lăng trụ.

- Nhận xét:

+ Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.

+ Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.

+ Hai mặt đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.

Người ta gọi tên của hình lăng trụ dựa vào tên của đa giác đáy, chẳng hạn:

+ Hình lăng trụ có đáy là hình tam giác được gọi là hình lăng trụ tam giác.

+ Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

V. Hình chóp cụt

Định nghĩa:

Cho hình chóp S.A₁A₂…A_n ; một mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh SA₁, SA₂, …,SA_n lần lượt tại A₁’; A₂’,.., A_n’. Hình tạo bởi thiết diện A₁’A₂’..A_n’ và đáy A₁A₂…A_n của hình chóp cùng với các tứ giác A₁A₁’A₂’A₂, A₂A₂’A₃’A₃,…, A_nA_n’A₁’A₁ gọi là hình chóp cụt.

Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện A₁’A₂’..A_n’ gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.

Các tứ giác A₁A₁’A₂’A₂, A₂A₂’A₃’A₃,…, A_nA_n’A₁’A₁ gọi là các mặt bên của hình chóp cụt.

Các đoạn thẳng A₁A’₁, A₂A₂’,…., A_nA_n’ gọi là các cạnh bên của hình chóp cụt.

- Tính chất của hình chóp cụt

(1) Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

(2) Các mặt bên là những hình thang.

(3) Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) // (Q).

B. nếu hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng của một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song.

C. hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau

D. cho hai mặt phẳng (P) , (Q) song song. Khi đó nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (Q) và a song song với (P) thì a song song với (Q)

Lời giải:

Đáp án: D cho hai mặt phẳng (P) , (Q) song song. Khi đó nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (Q) và a song song với (P) thì a song song với (Q)

Bài 2: Trong các mệnh đề sau, những mệnh đề nào đúng?

(1) hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.

(2) hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.

(3) hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phảng thứ ba thì song song với nhau.

Một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.

A.(1), (2)      

B. (1), (2), (3)

C. (2), (4)      

D. (1), (2), (3), (4)

Lời giải:

Đáp án: C (2), (4)      

Bài 3: Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q)

(1) nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhay thì mọi đường thẳng nằm trên (P) đều song song với mọi đường thẳng nằm trên (Q).

(2) nếu mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đều song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

Trong hai phát biểu trên.

A. chỉ có một phát biểu đúng.

B. chỉ có phát biểu (2) đúng.

C. cả hai phát biểu đều đúng.

C. cả hai phát biểu đều sai.

Lời giải:

Đáp án: B

Bài 4: Cho mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Khi đó.

A. a và b có một điểm chúng duy nhất

B. a và b không có điểm chung nào

C. a và b trùng nhau

D. a và b song song hoặc trùng nhau

Lời giải:

Đáp án: B

Bài 5: Khẳng định nào sau đây là sai.

A. nếu a // b, a ⊄ (P), b ⊂ (P) thì a // (P)

B. nếu ⊂ (P), (P) // (Q) thì a// (Q)

C. nếu 3 đường thẳng chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đường thẳng đó song song với nhau.

D. a // b, a // (P). b ⊄ (P) ⇒ b//(P)

Lời giải:

Đáp án: C

Bài 6: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần lượt là O, O’ và không cùng nằm trong một mặt phẳng. gọi M là trung điểm của AB.

(I) (ADF) // (BCE)      

(II) (MOO’) // (ADF)

(III) (MOO’) // (BCE)     

(IV) (AEC) // (BDF)

Khẳng định nào sau đây là đúng

A.chỉ có (1) đúng      

B. chỉ có (1) và (2) đúng

C. (I), (II), (III) đúng      

D. chỉ có (1) và (IV) đúng

Lời giải:

Đáp án: C

Bài 7: Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm lưu động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (∝) //(SIC). Khi đó thiết diện của mặt phẳng (∝) và tứ diện S.ABC là:   

A. tam giác cân tại M      

B. tam giác đều

C. hình bình hành      

D. hình thoi

Lời giải:

Đáp án: A

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD. Gọi Bx, Cy, Dz là các đường thẳng đi qua B, C, D và song song với nhau. Mặt phẳng (∝) đi qua A và cắt Bx, Cy, Dz lần lượt tại A’, C’, D’ với BB’ = 2, DD’ = 4. Khi đó CC’ bằng:

A. 3      

B. 4      

C. 5      

D. 6

Lời giải:

Đáp án: D

Bài 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. gọi I. J. K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)

A. (AA’B’)      

B. (AA’C’)

C. (A’B’C’)      

D. (BB’C’)

Lời giải:

Đáp án: D

Bài 10: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chưa b và song song với a. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. (P) và (Q) cắt nhau

B. (P) và (Q) song song với nhau

C. (P) và (Q) trùng nhau

D. (P) và (Q) cắt nhau hoặc song song với nhau.

Lời giải:

Đáp án: B

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

B. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.

C. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.

D. Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C nằm ngoài (P) lúc đó, nếu 3 đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mặt phẳng (P) thì ba giao điểm đó thẳng hàng.

Lời giải:

B sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau. Đáp án B.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Qua các đỉnh A, B, C, D ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Hỏi A’B’C’D’ là hình gì?

Lời giải:

Vận dụng kết quả giao tuyến của một mặt phẳng với hai mặt phẳng song song là hai đường thẳng song song, ta có tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành. Đáp án D.

Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)?

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của AC, ta có:

Lại có IK // BB’. Vậy (IJK) //(BB’C’). Đáp án C.

Bài 4: Cho hai mặt phẳng (∝), (β) cắt nhau và cùng song song với đường thẳng d. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. giao tuyến của (∝), (β) trùng với d

B. giao tuyến của (∝), (β) song song hoặc trùng với d

C. giao tuyến của (∝), (β) song song với d

D. giao tuyến của (∝), (β) cắt d

Lời giải:

Đáp án: C

Bài 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?

A. nếu (∝) //(β) và d1 ⊂(∝);d2 ⊂(β) thì d1// d2

B. nếu d1 // (∝) và d2 // (β) thì d1 // d2

C. nếu (∝) //(β) và d1 // (∝), thì d1 // (β) hoặc d1 ⊂ (β)

D. nếu d1 // d2 và d1⊂(∝),d2⊂(β) thì (∝) //(β)

Lời giải:  Phương án A, B sai vì d1, d2 có thể chéo nhau. Phương án D sai vì (∝) và (β) có thể cắt nhau.

Bài 6: Cho hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song (P) và (Q).

Lời giải:

Gọi M là giao điểm của AC và BD, N là giao điểm AC’ và B’D’. ta có MN là đường trung bình của tam giác ACC’ và cũng là đường trung bình hình thang BB’’D’’D nên CC’ = 2MN = BB’ + DD’ = 6.

Bài 7 Trong mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (α). Trên a, b và c lần lượt lấy ba điểm A’, B’ và C’ tùy ý.

a) Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’).

b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.

Lời giải:

a) Giả sử (A’B’C’) ∩ d = D’

⇒ (A’B’C’) ∩ (C’CD) = C’D’.

+ AA’ // CC’ ⊂ (C’CD)

⇒ AA’ // (C’CD).

AB // CD ⊂ (CC’D)

⇒ AB // (CC’D)

(AA’B’B) có:

 ⇒ (AA’B’B) // (C’CD).

Mà (A’B’C’) ∩ (AA’B’B) = A’B’

⇒ (A’B’C’) cắt (C’CD) và giao tuyến song song với A’B’

⇒ C’D’ // A’B’.

b) Chứng minh tương tự phần a ta có B’C’ // A’D’.

Tứ giác A’B’C’D’ có: B’C’ // A’D’ và C’D’ // A’B’

⇒ A’B’C’D’ là hình bình hành.

Bài 8 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.

a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’.

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M.

c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).

d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mp(AMA’). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.

Lời giải:

a) Do ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ta có: BCC’B’ là hình bình hành

Xét tứ giác BCC’B’ có M và M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ nên MM’ là đường trung bình

Lại có: AA’// BB’ và AA’= BB’ ( tính chất hình lăng trụ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MM’// AA’ và MM’ = AA’

=> Tứ giác AMM’A’ là hình bình hành

b) Trong (AMM’A’) gọi O = A’M ∩ AM’, ta có :

Ta có : O ∈ AM’ ⊂ (AB’C’)

⇒ O = A’M ∩ (AB’C’).

c)

Gọi K = AB’ ∩ BA’, ta có :

K ∈ AB’ ⊂ (AB’C’)

K ∈ BA’ ⊂ (BA’C’)

⇒ K ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)

Dễ dàng nhận thấy C’ ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)

⇒ (AB’C’) ∩ (BA’C’) = KC’.

Vậy d cần tìm là đường thẳng KC’

d) Trong mp(AB’C’), gọi C’K ∩ AM’ = G.

Ta có: G ∈ AM’ ⊂ (AM’M)

G ∈ C’K.

⇒ G = (AM’M) ∩ C’K.

+ K = AB’ ∩ A’B là hai đường chéo của hình bình hành ABB’A’

⇒ K là trung điểm AB’.

ΔAB’C’ có G là giao điểm của 2 trung tuyến AM’ và C’K

⇒ G là trọng tâm ΔAB’C’.

Bài 9 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G₁ và G₂ lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.

c) Chứng minh G₁ và G₂ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.

Lời giải:

a) + A’D’ // BC và A’D’ = BC

⇒ A’D’CB là hình bình hành

⇒ A’B // D’C, mà D’C ⊂ (B’D’C) ⇒ A’B // (B’D’C) (1)

+ BB’ // DD’ và BB’ = DD’

⇒ BDD’B’ là hình bình hành

⇒ BD // B’D’, mà B’D’ ⊂ (B’D’C) ⇒ BD // (B’D’C) (2)

A’B ⊂ (BDA’) và BD ⊂ (BDA’); A’B ∩ BD = B (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra : (BDA’) // (B’D’C).

b) Gọi O = AC ∩ BD

+ Ta có: O ∈ AC ⊂ (AA’C’C)

⇒ A’O ⊂ (AA’C’C).

Trong (AA’C’C), gọi A’O ∩ AC’ = G₁.

G₁ ∈ A’O ⊂ (A’BD)

⇒ G₁ ∈ AC’ ∩ (BDA’).

+ Trong hình bình hành AA’C’C gọi I = A’C ∩ AC’

⇒ A’I = IC.

⇒ AI là trung tuyến của ΔA’AC

⇒ G₁ = A’O ∩ AC’ là giao của hai trung tuyến AI và A’O của ΔA’AC

⇒ G₁ là trọng tâm ΔA’AC

⇒ A’G₁ = 2.A’O/3

⇒ G₁ cũng là trọng tâm ΔA’BD.

Vậy AC' đi qua trọng tâm G₁ của ΔA’BD.

Chứng minh tương tự đối với điểm G₂.

c) *Vì G₁ là trọng tâm của ΔAA’C nên AG₁/AI = 2/3 .

Vì I là trung điểm của AC’ nên AI = 1/2.AC’

Từ các kết quả này, ta có : AG₁ = 1/3.AC’

*Chứng minh tương tự ta có : C’G₂ = 1/3.AC’

Suy ra : AG₁ = G₁G₂ = G₂C’ = 1/3.AC’.

d) (A’IO) chính là mp (AA’C’C) nên thiết diện cần tìm chính là hình bình hành AA’C’C.

Bài 10 Cho hình chóp S. ABCD. Gọi A₁ là trung điểm của cạnh SA và A₂ là trung điểm của đoạn AA₁. Gọi (α) và (β) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua A₁, A₂. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B₁, C₁, D₁ . Mặt phẳng (β) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B₂, C₂, D₂. Chứng minh:

a) B₁, C₁, D₁ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.

b) B₁B₂ = B₂B, C₁C₂ = C₂C, D₁D₂ = D₂D.

c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.

Lời giải:

a) Chứng minh B₁, C₁, D₁ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD

Ta có:

⇒A₁B₁ là đường trung bình của tam giác SAB.

⇒ B₁ là trung điểm của SB (đpcm)

*Chứng minh tương tự ta cũng được:

• C₁ là trung điểm của SC.

• D₁ là trung điểm của SD.

b) Chứng minh B₁B₂ = B₂B, C₁C₂ = C₂C, D₁D₂ = D₂D.

⇒A₂B₂ là đường trung bình của hình thang A₁B₁BA

⇒ B₂ là trung điểm của B₁B

⇒ B₁B₂ = B₂B (đpcm)

*Chứng minh tương tự ta cũng được:

• C₂ là trung điểm của C₁C₂ ⇒ C₁C₂ = C₂C

• D₂ là trung điểm của D₁D₂ ⇒ D₁D₂ = D₂D.

c) Các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD, đó là : A₁B₁C₁D₁.ABCD và A₂B₂C₂D₂.ABCD

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Trong mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (α). Trên a, b và c lần lượt lấy ba điểm A’, B’ và C’ tùy ý.

a) Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’).

b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.

Bài 2 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.

a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’.

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M.

c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).

d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mp(AMA’). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.

Bài 3 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.

c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và ∆A’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.

Bài 4 Cho hình chóp S. ABCD. Gọi A₁ là trung điểm của cạnh SA và A₂ là trung điểm của đoạn AA₁. Gọi (α) và (β) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua A₁, A₂. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B₁, C₁, D₁ . Mặt phẳng (β) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B₂, C₂, D₂. Chứng minh:

a) B₁, C₁, D₁ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.

b) B₁B₂ = B₂B, C₁C₂ = C₂C, D₁D₂ = D₂D.

c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.

Bài 5 Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chưa b và song song với a. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. (P) và (Q) cắt nhau

B. (P) và (Q) song song với nhau

C. (P) và (Q) trùng nhau

D. (P) và (Q) cắt nhau hoặc song song với nhau.

Bài 6 Cho hình bình hành ABCD. Qua các đỉnh A, B, C, D ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn đường thẳng nói trên tại A’, B’, C’, D’. Hỏi A’B’C’D’ là hình gì?

Bài 7 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)?

Bài 8 Trong các mệnh đề sau, những mệnh đề nào đúng?

(1) hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.

(2) hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.

(3) hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phảng thứ ba thì song song với nhau.

(4)Một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.

Bài 9 Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm lưu động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (∝) //(SIC). Khi đó thiết diện của mặt phẳng (∝) và tứ diện S.ABC là?

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Chuyên đề Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Chuyên đề Đường thẳng và mặt phẳng song song

Chuyên đề Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Chuyên đề Ôn tập chương 2