Chuyên đề Quy tắc tính đạo hàm (2022) - Toán 11

Chuyên đề Quy tắc tính đạo hàm - Toán 11

A. LÝ THUYẾT

I. Đạo hàm của một hàm số thường gặp

1. Định lí 1

Hàm số y = xⁿ  có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ và (xⁿ)’ = n.x^n-1.

2. Định lí 2

Hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}$ có đạo hàm tại mọi x dương và ${\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$.

Ví dụ 1.

a) Tính đạo hàm y = x³;

b) Tính đạo hàm $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}$ tại x = 5.

Lời giải

a) Ta có: y’ = 3x²;

b) Ta có: $\mathrm{y}\text{'}=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$

Đạo hàm của hàm số tại x = 5 là: $\mathrm{y}\text{'}\left(5\right)=\frac{1}{2\sqrt{5}}.$

II. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

1. Định lí 3

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:

(u + v)’ = u’ + v’;

(u – v)’ = u’ – v’;

(uv)’ = u’.v + u.v’;

${\left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{v}}\right)}^{\text{'}}=\frac{\mathrm{u}\text{'}\mathrm{v}-\mathrm{u}.\mathrm{v}\text{'}}{{\mathrm{v}}^2}\left(\mathrm{v}=\mathrm{v}\left(\mathrm{x}\right)\ne 0\right)$.

2. Hệ quả

Hệ quả 1. Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = k.u’.

Hệ quả 2. ${\left(\frac{1}{\mathrm{v}}\right)}^{\text{'}}=-\frac{\mathrm{v}\text{'}}{{\mathrm{v}}^2}.$

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x⁵ – 2x² + 3x + 6;

b) y = (x² + 1)(2x – 3);

c) $\mathrm{y}=\frac{7{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{x}-1}$.

Lời giải

a) y = x⁵ – 2x² + 3x

$\Rightarrow$y’ = (x⁵ – 2x² + 3x)’

    = (x⁵)’ – (2x²)’ + (3x)’

   = 5x⁴ – 4x + 3.

b) y = (x² + x).2x

$\Rightarrow$y’ = (x² + x)’.2x + (x² + 1)(2x)’

   = [(x²)’ + x’].2x + (x² + 1).2

   = (2x + 1).2x + 2x² + 2

   = 4x² + 2x + 2x² + 2

   = 6x² + 2x + 2.

c)

$$\begin{gathered} \mathrm{y}=\frac{7{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{x}-1} \\ \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{{\left(7{\mathrm{x}}^2\right)}^{\text{'}}\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)-\left(7{\mathrm{x}}^2\right){\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^{\text{'}}}{{\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^2} \\ =\frac{14\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)-7{\mathrm{x}}^2\left(2{\mathrm{x}}^2-2\right)}{{\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^2} \\ =\frac{14{\mathrm{x}}^4-28{\mathrm{x}}^2-14{\mathrm{x}}^2+14\mathrm{x}}{{\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^2} \\ =\frac{-28{\mathrm{x}}^2+14\mathrm{x}}{{\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right)}^2} \end{gathered}$$

III. Đạo hàm hàm hợp

Định lý 4. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x là và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là  thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: ${\text{y}}_{\mathrm{x}}^{\text{'}}={\mathrm{y}}_{\mathrm{u}}^{\text{'}}.{\mathrm{u}}_{\mathrm{x}}^{\text{'}}$.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: $\mathrm{y}=\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}$

Lời giải

Đặt $\mathrm{u}={\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}$ thì $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{u}}$

$\mathrm{y}\text{'}=\frac{\mathrm{u}\text{'}}{2\sqrt{\mathrm{u}}}=\frac{\left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}\right)\text{'}}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}}$$=\frac{2\mathrm{x}+2}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}}$.

B. BÀI TẬP

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho hàm số y = -4x³ + 4x. Để y' ≥ 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây ?

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 2: Tìm m để các hàm số  có y' ≤ 0 , ∀ x ∈ R.

A. m ≤ √2

B. m ≤ 2

C. m ≤ 0

D.m < 0

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 3: Cho hàm số , đạo hàm của hàm số tại x = 1 là:

A. y'(1) = -4.

B. y'(1) = -3.

C. y'(1) = -2.

D. y'(1) = -5.

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 4: Đạo hàm của hàm số y = (x³ - 2x²)2016 là:

A. y' = 2016(x³ - 2x²)

B. y' = 2016(x³ - 2x²)2015(3x² - 4x).

C. y' = 2016(x³ - 2x²)(3x² - 4x).

D. y' = 2016(x³ - 2x²)(3x² - 2x).

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số sau: 

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 6: Cho hàm số . Đạo hàm của hàm số là biểu thức nào sau đây?

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 7: Cho hàm số . Đạo hàm của hàm số là:

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 8: Cho hàm số f(x) xác định trên R bởi f(x) = 2x² + 1. Giá trị f'(-1) bằng:

A. 2

B. 6

C. - 4

D. 3

Lời giải:

Ta có : f'(x) = 4x ⇒ f'(-1) = -4.

Chọn đáp án C

Bài 9: Cho hàm số f(x) = -x⁴ + 4.3x² -3.2x + 2x + 1 xác định trên R. Giá trị f'(-1) bằng:

A. 4

B. 14

C. 15

D. 24

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 10: Đạo hàm của hàm số f(x) = (x² + 1)⁴ tại điểm x = -1 là:

A. -32

B.30

C. - 64

D. 12

Lời giải:

Chọn đáp án C

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Cho hàm số y = x³ - 3x² - 9x - 5. Phương trình y' = 0 có nghiệm là?

Lời giải:

Bài 2: Với . Thì f'(-1) bằng?

Lời giải:

Bài 3: Cho hàm số f(x) xác định trên R bởi . Giá trị f'(0) bằng?

Lời giải:

Bài 4: Tính đạo hàm của hàm số 

Bài 5: Cho . Giải bất phương trình f'(x) > g'(x).

Lời giải:

Bài 6: Cho hàm số  đạo hàm của hàm số tại x = 1 là:

Lời giải:

Bài 7: Cho hàm số . Tính y'(0) bằng:

Lời giải:

Bài 8: Cho hàm số y = 4x - √x. Nghiệm của phương trình y’ = 0 là

Lời giải:

Bài 9: Giải bất phương trình f'(x) ≥ 0 với f(x)= 2x³ - 3x² + 1

Lời giải:

Bài 10: Tính đạo hàm của hàm số sau: 

Lời giải:

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Tính đạo hàm của hàm số sau: 

Bài 2 Đạo hàm của hàm số  bằng biểu thức nào sau đây?

Bài 3 Tính đạo hàm của hàm số 

Bài 4 Cho hàm số .Để x = 1 là nghiệm của bất phương trình f'(x) ≤ 1 khi và chỉ khi?

Bài 5 Tìm m để các hàm số y = (m - 1)x³ - 3(m + 2)x² - 6(m + 2)x + 1 có y' ≥ 0, ∀ x ∈ R

Bài 6 Tính đạo hàm của hàm số 

Bài 7 Tính đạo hàm của hàm số 

Bài 8 Đạo hàm của  bằng?

Bài 9 Đạo hàm của hàm số là 

Bài 10 Cho . Giải bất phương trình f'(x) > g'(x)

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Chuyên đề Đạo hàm của hàm số lượng giác

Chuyên đề Vi phân

Chuyên đề Đạo hàm cấp hai

Chuyên đề Ôn tập chương 5