Chuyên đề Phương trình lượng giác cơ bản (2022) - Toán 11

Chuyên đề Phương trình lượng giác cơ bản - Toán 11

A. Lý thuyết

1. Phương trình sinx = a.

Xét phương trình sinx = a (1)

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình (1) vô nghiệm vì |sinx| ≤ 1 với mọi x.

- Trường hợp |a| ≤ 1

Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình sinx = a có các nghiệm là:

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}\frac{-\pi }{2}\le \alpha \le \frac{\pi }{2}\\ \sin \alpha =a\end{array}\right.$ thì ta viết α = arcsina (đọc là ac-sin-a; nghĩa là cung có sin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình sinx = a được viết là:

- Chú ý:

a) Phương trình sinx = sinα; với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi$ và $x=\pi -\alpha +\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát: 

b) Phương trình sinx = sinβ⁰ có các nghiệm là:

c) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lương giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1: Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+ Khi a = – 1: Phương trình sinx = – 1 có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+ Khi a = 0:  Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là $x=k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

- Ví dụ 1. Giải các phương trình: 

Lời giải:

a) Vì $\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$ nên

$$\begin{gathered} \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \iff \sin x=\sin \frac{\pi }{3} \end{gathered}$$

Vậy phương trình có các nghiệm là:

$x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi$$=\frac{2\pi }{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

b) Ta có: $\sin x=\frac{2}{3}$ khi $x=\arcsin \frac{2}{3}$.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là:

$x=\arcsin \frac{2}{3}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$ và $x=\pi -\arcsin \frac{2}{3}+$$k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

2. Phương trình cosx = a.

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $\left|\text{cosx }\right|\le 1$ với mọi x.

- Trường hợp $\left|\text{\hspace{0.17em}a }\right|\le 1$.

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x=\pm \alpha +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

- Chú ý:

a) Phương trình cosx = cosα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: 

b) Phương trình cos x= cosβ⁰ có các nghiệm là $x=\pm {\beta }^0+\text{\hspace{0.17em}}k{360}^0;k\in \mathbb{Z}$

c) Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}0\le \alpha \le \pi \\ \cos \alpha =a\end{array}\right.$ thì ta viết α = arccosa (đọc là ac – cosin- a, có nghĩa là cung có cosin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình cos x = a còn được viết là:

$x=\pm \arccos a\text{\hspace{0.17em}}+k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

d) Các trường hợp đặc biệt:

+ Khi a = 1; phương trình cosx = 1 có các nghiệm là: $x=k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+ Khi a = – 1; phương trình cosx = – 1 có các nghiệm là: $x=\pi +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

+ Khi a = 0; phương trình cosx = 0 có các nghiệm là: $x=\frac{\pi }{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

Lời giải:

3. Phương trình tanx = a.

- Điều kiện xác định của phương trình là $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: $x=\arctan a+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

- Chú ý:

a) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) $\Rightarrow f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=g\left(x\right)+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) Phương trình tanx = tanβ⁰ có các nghiệm là: $x={\beta }^0+k{.180}^0;k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 3. Giải các phương trình:

Lời giải:

4. Phương trình cotx = a

Điều kiện xác định của phương trình $$$x\ne k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

Kí hiệu x = arccota (đọc là ac– côtang – a; nghĩa là cung có côtang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình cotx = a là: $x=\mathrm{arccot}a+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

- Chú ý:

a) Phương trình cotx = cotα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

$x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát; cot f(x) = cot g(x) $\Rightarrow f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=g\left(x\right)+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

b) Phương trình cot x = cot β⁰ có các nghiệm là: $x={\beta }^0+k{.180}^0;k\in \mathbb{Z}$

Ví dụ 4. Giải các phương trình:

Lời giải:

- Ghi nhớ.

Mỗi phương trình sinx = a (|a| ≤ 1); cosx = a (|a| ≤ 1), tanx = a; cotx = a có vô số nghiệm.

Giải các phương trình trên là tìm tất cả các nghiệm của chúng.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Phương trình cos²3x = 1 có nghiệm là:

A. x = kπ, k ∈ Z.     

B. x =kπ/2, k ∈ Z.

C. x =kπ/3, k ∈ Z.     

D. x =kπ/4, k ∈ Z.

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 2: Phương trình tan( x - π/4) = 0 có nghiệm là:

A. x = π/4 + kπ, k ∈ Z.     

B. x = 3π/4 + kπ, k ∈ Z.

C. x = kπ, k ∈ Z.     

D. x = k2π, k ∈ Z.

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 3: Phương trình cot( x + π/4) = 0 có nghiệm là:

A. x = - π/4 + kπ, k ∈ Z.     

B. x = π/4 + kπ, k ∈ Z.

C. x = - π/4 + k2π, k ∈ Z.     

D. x = π/4 + k2π, k ∈ Z.

Lời giải:

Bài 4: Trong [0;π],phương trình sinx = 1 – cos²x có tập nghiệm là:

Lời giải:

Bài 5: Trong [0;2 π), phương trình cos²x + sinx = 0 có tập nghiệm là:

Lời giải:

Bài 6: Trong [0;2 π), phương trình sin2x + sinx = 0 có số nghiệm là:

A. 1      

B. 2

C. 3      

D. 4

Lời giải:

A. 2      

B. 3

C. 4      

D. 6

Lời giải:

Bài 8: Phương trình √2cos(x + π/3) = 1 có mấy họ nghiệm?

A. 0      

B. 2

C. 1      

D. 3

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 9: Số nghiệm của phương trình sin(x + π/4) = 1 thuộc [0;3π] là:

A. 1      

B. 0

C. 2      

D. 3

Lời giải:

Bài 10: Phương trình sinx = cosx có số nghiệm thuộc đoạn [0;π] là:

A. 1

B. 4

C. 5

D. 2

Lời giải:

Ta có sinx = cosx ⇒ sinx = sin(π/2 – x)

Bài 1: Phương trình sin2x = 1 có nghiệm là?

Bài 2: Phương trình sin2 x/3 = 1 có nghiệm là?

Bài 3 Phương trình 2cosx - √3 = 0 có tập nghiệm trong khoảng (0;2π) là?

Bài 4 Phương trình sin(πcos2x) = 1 có nghiệm là?

Bài 5 Phương trình cosx/2 = - 1 có nghiệm là?