Tìm m để hàm số$y=\frac{m-\sin x}{{\cos }^{2}x}$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$$(0;\frac{\mathrm{\pi }}{6})$.

Đáp án đúng: A

* Lời giải:

Ta có $y=\frac{m-\sin x}{{\cos }^{2}x}=\frac{\sin x-m}{{\sin }^{2}x-1}$. Đặt $t=\sin x$, vì $x\in \left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$ nên $t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$

Vì hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên $\left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$ nên bài toán trở thành:

Tìm m để hàm số $y=\frac{t-m}{t^2-1}$ nghịch biến trên $\left(0;\frac{1}{2}\right)$

Ta có $y\text{'}=\frac{-t^2+2mt-1}{{\left(t^2-1\right)}^2}$

Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left(0;\frac{1}{2}\right)\iff y\text{'}\le 0, \forall t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$

$\iff -t^2+2mt-1\le 0, \forall t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)\left(do {\left(t^2-1\right)}^2>0, \forall t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)\right)$

$\iff m\le \frac{t^2+1}{2t}, \forall t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{t^2+1}{2t}$ trên $\left(0;\frac{1}{2}\right)$, ta có $f\text{'}\left(t\right)=\frac{t^2-1}{2t^2}$.

Suy ra hs nghịch biến trên $\left(0;\frac{1}{2}\right)$

Vậy $m\le \underset{\left(0;\frac{1}{2}\right)}{min}f\left(t\right)=\frac{5}{4}$

* Phương pháp giải:

Đặt biến phụ, điều kiện để hàm số nghịch biến rồi tìm giá trị của m để giải bài toán

* Lý thuyết nắm thêm:

Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm tập xác định D.

Bước 2: Tính đạo hàm y' = f'(x).

Bước 3: Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Bước 5: Kết luận.

Dựa vào tính đơn điệu của hàm số mũ:

Cho hàm số y = a^x, (a > 0; a ≠ 1). Khi đó:

Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên R

Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên R

* Dạng bài toán:

Dạng 1: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Tính f′(x).

– Bước 2: Nêu các điều kiện của bài toán:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên R⇔y′=f′(x)⩾0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên R⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

– Bước 3: Từ các điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai để tìm m. 

 Dạng 2: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D đã cho trước.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Nêu các điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên D⇔y′=f′(x)⩾0, với ∀x∈D.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên D⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈D.

– Bước 2: Từ điều kiện trên hãy sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm m.

- Bước 3: Kết luận

c) Dạng 4: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

– Bước 1: Tính y′

– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến và nghịch biến:

– Bước 3: Đưa ra kết luận.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (có đáp án)

Bài tập Sự đồng biến nghịch biến của hàm số Toán 12 mới nhất

Trắc nghiệm Hàm lũy thừa (có đáp án)