50 Bài tập Sự đồng biến nghịch biến của hàm số Toán 12 mới nhất

Bài tập Sự đồng biến nghịch biến của hàm số - Toán 12

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho hàm số y = sin2x - 2x. Hàm số này

A. Luôn đồng biến trên R    

B. Chỉ đồng biến trên khoảng (0; +∞)

C. Chỉ nghịch biến trên (-∞; -1)    

D. Luôn nghịch biến trên R

Lời giải:

Tập xác định D = R

Ta có : y' = 2.cos2x - 2 = 2(cos2x - 1) ≤ 0; ∀ x

(vì -1 ≤ cos2x ≤ 1)

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R

Chọn đáp án D.

Bài 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ đồng biến trên khoảng (-∞; 1) ?

Lời giải:

Bài 3: Tìm m để hàm số

luôn nghịch biến trên khoảng xác định.

A.-2 < m ≤ 2    

B. m < -2 hoặc m > 2

C. -2 < m < 2    

D. m ≠ ±2

Lời giải:

Tập xác định

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng

khi và chỉ khi

Suy ra m² - 4 < 0 hay -2 < m < 2. Chọn đáp án C.

Bài 4: Cho hàm số y = -x³ + 3x² + 3mx - 1, tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞)

A. m < 1   

B. m ≥ 1   

C. m ≤ -1   

D. m ≥ -1

Lời giải:

Ta có y' = -3x² + 6x + 3m. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞) nếu y' ≤ 0 trên khoảng (o; +∞)

Cách 1: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai.

Xét phương trình -3x² + 6x + 3m. Ta có Δ' = 9(1 + m)

TH1: Δ' ≤ 0 => m ≤ -1 khi đó, -3x² + 6x + 3m < 0 nên hàm số nghịch biến trên R .

TH2: Δ' > 0 => m > -1; y' = 0 có hai nghiệm phân biệt là x = 1 ±$\sqrt{\left(1+m\right)}$ .

Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) <=> 1 + $\sqrt{\left(1+m\right)}$ ≤ 0, vô lí.

Từ TH1 và TH2, ta có m ≤ -1

Cách 2: Dùng phương pháp biến thiên hàm số.

Ta có y' = ^-3x²+ 6x + 3m ≤ 0, ∀x > 0 <=> 3m ≤ 3x² - 6x, ∀x > 0

Từ đó suy ra 3m ≤ min(3x² - 6x) với x > 0

Mà 3x² -6x = 3(x² -2x + 1) - 3 = 3(x - 1)2 - 3 ≥ -3 ∀ x

Suy ra: min( 3x² – 6x) = - 3 khi x= 1

Do đó 3m ≤ -3 hay m ≤ -1.

Chọn đáp án C.

Bài 5: Cho đồ thị hàm số với x ∈ [- $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ ; $\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$] như hình vẽ.

Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = sinx với x ∈ [- $\frac{\mathrm{\pi }}{2}; \frac{3\mathrm{\pi }}{2}$]

Lời giải:

Trên khoảng (-$\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}$) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải.

Trên khoảng ($\frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2}$) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-$\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}$)

Chọn đáp án A.

Bài 6: Cho đồ thị hàm số y = -x³ như hình vẽ. Hàm số y = -x³ nghịch biến trên khoảng:

A. (-1;0)    

B. (-∞;0)

C. (0;+∞)    

D. (-1;1)

Lời giải:

Trên khoảng (0; +∞) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞),

Chọn đáp án C.

Bài 7: Cho đồ thị hàm số y = -$\frac{2}{x}$ như hình vẽ. Hàm số y = -$\frac{2}{x}$ đồng biến trên

A. (-∞;0)   

B. (-∞;0) ∪ (0;+∞)

C. R    

D. (-∞;0) và (0;+∞)

Lời giải:

Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên hai khoảng (-∞;0) và (0;+∞)

Chọn đáp án D.

Ghi chú. Những sai lầm có thể gặp trong quá trình làm bài:

- Không chú ý tập xác định nên chọn đáp án C.

- Không chú ý định nghĩa của hàm đồng biến nên chọn đáp án B.

Bài 8: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = $\sqrt{x(x-1)(x+2)}$²

Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-∞;1).

B. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞;0) và (1;+∞).

C. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng và (1;+∞).

D. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (1;+∞).

Lời giải:

Điều kiện: x > 0

Bảng xét dấu :

Vậy f(x) đồng biến trên khoảng (1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (0;1).

Chọn đáp án D.

Bài 9: Khoảng nghịch biến của hàm số y = $x^{\frac{3}{3}}$ - 2x² + 3x + 5 là:

A. (1;3)    

B.(-∞; 1) ∪ (3; +∞)   

C. (-∞; 1) và (3; +∞)    

D. (1;+∞)

Lời giải:

Bảng xét dấu y’:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3).

Chọn đáp án A.

Bài 10: Cho hàm số y = x⁴ - 2x² + 3 . Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) ∩ (0; 1)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) ∪ (1; +∞)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) ∪ (0; 1)

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞)

Lời giải:

Bảng xét dấu y’:

Từ đó ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞) , nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1) .

Chọn đáp án D.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Cho hàm số y = x³ - x² + (m-1)x + m. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến trên R

Lời giải:

y' = x² - 2x + (m -1).

Hàm số đồng biến trên R ⇔ y' ≥ 0 ∀x ∈ R

⇒ Δ = (-1)2 - (m-1) = -m + 2 ≤ 0 ⇔ m > 2

Bài 2: Cho hàm số

Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1).

Lời giải:

Ta có y' = -x² - mx - 2 . Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; - 1) nếu y' = x² - mx - 2 ≤ 0 trên khoảng (-∞; -1)

Cách 1. Dùng định lí dấu của tam thức bậc hai. Ta có Δ = m² - 8

TH1: -2$\sqrt{2}$ ≤ m ≤ 2$\sqrt{2}$ => Δ ≤ 0.

Lại có, hệ số a = -1 < 0 nên y' ≤ 0 ∀ x

Hàm số nghịch biến trên R

TH2:  y' = 0. có hai nghiệm phân biệt là 

Từ TH1 và TH2, ta có m ≤ 2$\sqrt{2}$

Cách 2. Dùng phương pháp biến thiên hàm số

Ta có

Từ đó suy ra

Do đó m ≤ 2$\sqrt{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) là m = 2$\sqrt{2}$

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số

Lời giải:

Bài 4: Cho hàm số y = x³ + 3x² + mx + 1 - 2m. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Lời giải:

y' = 3x² + 6x + m. Hàm số đồng biến nếu y' ≥ 0. Ta có Δ' = 9 - 3m

TH1: m ≥ 3 => Δ' ≤ 0 .

Hàm số đồng biến trên R. Do đó m ≥ 3 không thỏa mãn yêu cầu đề bài

TH2: m < 3 => Δ' > 0 .

y’ có hai nghiệm phân biệt là

Từ bảng biến thiên, ta thấy không tồn tại m để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Từ TH1 và TH2, không tồn tại m thỏa mãn.

Bài 5: Cho đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ.

Hàm số đồng biến trên?

Lời giải:

Trên khoảng (0; 1) đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải

Trên khoảng (1; 3) đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải

Đồ thị hàm số bị gián đoạn tại x = 1. Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng (0; 1) và (1; 3)

Bài 6: Hỏi hàm số

đồng biến trên các khoảng nào?

Lời giải:

Hàm số xác định ∀x ≠ -5

y' xác định ∀x ≠ -5 . Bảng xét dấu y’:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -5) và (-5; +∞)

Bài 7: Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = 2x³ - 9x³ + 12x + 3

Lời giải:

Ta có

Bảng xét dấu đạo hàm:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (2; +∞)

Bài 8: Khoảng nghịch biến của hàm số y = x⁴ - 2x² - 1 là:

Lời giải:

Ta có

Bảng xét dấu đạo hàm

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1)

Bài 9: Cho hàm số

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Lời giải:

Hàm số

xác định ∀x ≠ 1

Ta có:

xác định ∀x ≠ 1

Bảng xét dấu đạo hàm

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞ 1) và (1; +∞)

Bài 10: Tìm khoảng đồng biến của hàm số f(x)= x + cos2x

Lời giải:

f'(x) = 1 - 2sinxcosx = sin²x + cos²x - 2.sinx.cosx = (sinx - cosx)² ≥ 0 ∀x ∈ R

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)

III. Bài tập vận dụng

Lời giải:

Bài 1 Hàm số:

đồng biến trên khoảng nào?

Lời giải:

Bài 2 Từ đồ thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y = cosx trên đoạn [$\frac{\left(-\pi \right)}{2}$; $\frac{3\pi }{2}$] và các hàm số y = |x| trên khoảng (-∞; +∞).

Bài 3 Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng:

a) y = -$\frac{x^2}{2}$ (H.4a)       b) y = $\frac{1}{x}$ (H.4b)

Xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tương ứng.

Bài 4 Khẳng định ngược lại với định lí trên có đúng không ? Nói cách khác, nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải dương (âm) trên đó hay không ?

Bài 5 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a) y = 4 + 3x – x²

b) y = $\frac{1}{3}$.x³ + 3x² - 7x -2

c) y = x⁴ - 2x² + 3

d) y = -x³ + x² – 5

Bài 6 Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ đồng biến trên khoảng (-∞; 1) ?

Bài 7 Cho hàm số y = -x³ + 3x² + 3mx - 1, tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞)

Bài 8 Cho đồ thị hàm số với x ∈ [- $\frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2}$] như hình vẽ.

Bài 9 Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = sinx với x ∈ [- $\frac{\pi }{2}$ ; $\frac{3\pi }{2}$]

Bài 10 Chứng minh rằng hàm số  đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1,2).

Xem thêm các bài Bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Bài tập Cực trị của hàm số

Bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài tập Đường tiệm cận

Bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Bài tập Ôn tập chương 1