50 Bài tập Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 mới nhất

Bài tập Ứng dụng hình học của tích phân - Toán 12

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox.

Lời giải:

Chọn đáp án D

Câu 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x³ - x và đồ thị hàm số y = x - x².

Lời giải:

Tìm hoành độ các giao điểm của hai đồ thị, ta có:

x³ - x = x - x³ <=> x³ + x² - 2x = 0

Vậy diện tích của hình phẳng tính là

Vậy chọn đáp án B.

Câu 3: Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x -1)e²x ,trục tung và đường thẳng y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox

Lời giải:

Tìm hoành độ giao điểm của hai dồ thị, ta có:

(x - 1)e²x = 0 => x = 1

Vậy thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh Ox được tính bởi

Đặt: u = (x - 1)², dv e^4xdx. Ta có du = 2(x -1)dx và v = $e^{4x}$ .

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được

 

Đặt u₁ = x - 1, dv₁ = e^4xdx , ta có du₁ = dx, v₁ = $e^{\frac{4x}{4}}$ .

Vậy chọn đáp án A.

Câu 4: Sau chiến tranh thế giới thứ hai, tốc độ sinh ở cả nước phương Tây tăng rất nhanh. Giả sử rằng tốc độ sinh được cho bởi: b(t) = 5 + 2t, 0 ≤ t ≤ 10 , ( ở đó t số năm tính từ khi chiến tranh kết thúc, b(t) tính theo đơn vị triệu người).

a) Có bao nhiêu trẻ được sinh trong khoảng thời gian này ( tức là trong 10 năm đầu tiên sau chiến tranh)?

A. 100 triệu    

B. 120 triệu    

C. 150 triệu    

D. 250 triệu.

b) Tìm khoảng thời gian T sao cho số lượng trẻ được sinh ra là 14 triệu kể từ khi kết thức chiến tranh.

A. 1 năm    

B. 2 năm    

C. 3 năm    

D. 4 năm.

Lời giải:

a) Để tìm số trẻ mới sinh, chúng ta sẽ tính tích phân tỉ lệ sinh b(t) trên khoảng thời gian 10 năm đầu tiên sau chiến tranh

Vậy số trẻ được sinh cần tìm là 150 triệu.

Chọn đáp án C.

b) Số lượng trẻ mới sinh trong khoảng thời T bằng:

 

Vậy chọn đáp án B.

Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² - x + 3 và y = 2x + 1 là:

Lời giải:

Ta có: x² - x + 3 = 2x + 1 <=> x² - 3x + 2 = 0 <=> x = 2 hoặc x = 1

Câu 6: Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng ( phần gạch sọc ) là:

 

Lời giải:

Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = $\sqrt{6}$và y = 6 - x và trục tùng là:

Lời giải:

Diện tích giới hạn được tính bởi

Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + $\frac{1}{x}$ , trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = -2 là:

Lời giải:

Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^x - e^-x , trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = 1.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng được tính bởi

Câu 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = $\sqrt{x}$ - x và trục hoành.

Lời giải:

Xét phương trình

Khi đó diện tích hình phẳng được tính bởi

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Gọi h(t) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng

và lúc đầu bồn không có nước. Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây xấp xỉ bằng:

Lời giải:

Mức nước trong bồn tại giây thứ t bằng:

Khi đó h(6) ≈ 2,66 cm .

Câu 2: Vận tốc của một vật chuyển động là

Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian 1,5 giây xấp xỉ bằng:

Lời giải:

Quãng đường vật di chuyển sau thời gian 1,5 giây bằng

Câu 3: Thể tích phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2$\sqrt{\left(9-x^2\right)}$

Lời giải:

Câu 4: Thể tích khối xoay khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x(x-4) và trục hoành là?

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành :

Câu 5: Thể tích khối tròn khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinxcosx, y = 0, x = 0, x = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ là:

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay là :

Câu 6: Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = lnx, y = 0, x = 2 là?

Lời giải:

Phương trình giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành :

ln x = 0 ⇔ x = 1

Thể tích khối tròn xoay cần tính là :

Câu 7: Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1 là:

Lời giải:

Phương trình đường tròn tâm I(2 ; 0), bán kính R = 1 là :

Đường tròn cắt trục tung tại hai điểm (0; 1) và( 0; -1).

Vậy ta có:

Bài 8: Gọi h(t) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng

và lúc đầu bồn không có nước. Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây xấp xỉ bằng:

Lời giải:

Mức nước trong bồn tại giây thứ t bằng:

Khi đó h(6) ≈ 2,66 cm .

Bài 9: Vận tốc của một vật chuyển động là

Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian 1,5 giây xấp xỉ bằng:

Lời giải:

Quãng đường vật di chuyển sau thời gian 1,5 giây bằng

Bài 10: Thể tích phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2$\sqrt{\left(9-x^2\right)}$

Lời giải:

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Thể tích khối xoay khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x(x-4) và trục hoành là?

Bài 2 Thể tích khối tròn khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinxcosx, y = 0, x = 0, x = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ là?

Bài 3 Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = lnx, y = 0, x = 2 là?

Bài 4 Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1 là?

Bài 5 Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox.

Bài 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x³ - x và đồ thị hàm số y = x - x².

Bài 7 Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x -1)e²x ,trục tung và đường thẳng y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox

Bài 8 Sau chiến tranh thế giới thứ hai, tốc độ sinh ở cả nước phương Tây tăng rất nhanh. Giả sử rằng tốc độ sinh được cho bởi: b(t) = 5 + 2t, 0 ≤ t ≤ 10 , ( ở đó t số năm tính từ khi chiến tranh kết thúc, b(t) tính theo đơn vị triệu người).

Bài 9 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² - x + 3 và y = 2x + 1 là?

Bài 10 Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng (phần gạch sọc ) 

Xem thêm các bài Bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Bài tập Nguyên hàm

Bài tập Tích phân

Bài tập Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập Ôn tập chương 3

Bài tập Hàm số lũy thừa