50 Bài tập Ôn tập chương 1 Toán 12 mới nhất

Bài tập Ôn tập chương 1 - Toán 12 

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho hàm số  và các mệnh đề sau

(1) Hàm số trên nhận điểm I(1;-1) làm tâm đối xứng,

(2) Hàm số trên nhận đường thẳng y = -x làm trục đối xứng.

(3) Hàm số trên nhận y = -1 là tiệm cận đứng.

(4) Hàm số trên luôn đồng biến trên R .

Trong số các mệnh đề trên, số mệnh đề sai là

A. 1    

B.2    

C.3    

D. 4    

Lời giải:

+ Hàm số có tiệm cận đứng x=1 và tiệm cận ngang y= -1. Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(1; -1) là tâm đối xứng của đồ thị. Mệnh đề 1 đúng, mệnh đề 3 sai.

+ Vì đường thẳng y=-x là một phân giác của góc tạo bởi 2 đường tiệm cận nên đường thẳng y=-x là một trục đối xứng của đồ thị hàm số. Mệnh đề 2 đúng.

+ Hàm số có tập xác định là R\{1}, nên hàm số không thể luôn đồng biến trên R.Mệnh đề 4 sai.

Bài 2: Trong các khẳng định sau về hàm số

khẳng định nào là đúng?

A. Hàm số có điểm cực tiểu là x = 0

B. Hàm số có hai điểm cực đại là x = ±1

C. Cả A và B đều đúng;

D. Cả A và B đều sai,

Lời giải:

Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số có điểm cực tiểu là x = 0, có hai điểm cực đại là x = 1 và x = -1.

Bài 3: Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề sai:

A. Hàm số y = -x³ + 3x² - 3 có cực đại và cực tiểu;

B. Hàm số y = x³ + 3x + 1 có cực trị;

C. Hàm số  không có cực trị;

D. Hàm số  đồng biến trên từng khoảng xác định.

Lời giải:

Xét hàm số y = x³ + 3x + 1 có: y' = 3x² + 3

Phương trình y’ = 0 vô nghiệm. Do đó, hàm số này không có cực trị

⇔ mệnh đề B sai .

Bài 4: Lưu lượng xe vào hầm cho bởi công thức

trong đó v (km/h) là vận tốc trung bình của các xe khi vào hầm. Với giá trị xấp xỉ nào của v thì lưu lượng xe là lớn nhất?

A. 26    

B.27    

C. 28    

D. 29

Lời giải:

Xét

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại v ≈ 27 .

Bài 5: Đồ thị hàm số nào sau đây có hình dạng như hình bên?

A. y = x³ + 3x + 1

B. y = x³ - 3x + 1

C. y = -x³ - 3x + 1

D. y = - x³ + 3x + 1

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ ta suy ra, hàm số đã cho là hàm số bậc ba có hệ số a > 0 và hàm số không có điểm cực trị.

⇒ Loại C và D.

* Xét phương án A y = x³ + 3x + 1

có y' = 3x² + 3 nên hàm số không có cực trị.

⇒ A thỏa mãn

* xét phương án B: y = x³ - 3x + 1 có y' = 3x² - 3; y' = 0 ⇔ x = ±1

Và y’ đổi dấu khi qua 2 điểm 1; -1 . Do đó, hàm số này có 2 điểm cực trị.

⇒ Loại B

Bài 6: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

A. 3    

B.2    

C. 1   

D.4

Lời giải:

Suy ra, hàm số có tiệm cận đứng x = ±2.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

Bài 7: Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin²x - cosx + 1 thì M.m bằng

A. 0    

B. $\frac{25}{8}$    

C. $\frac{25}{4}$    

D. 2

Lời giải:

Bài 8: Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên R

Lời giải:

* Xét phương án A: y = (x² - 1)² - 3x + 2

y'=2(x²-1).2x - 3 = 4x³ - 4x - 3

Và y’ > 0 không đúng với ∀ x ∈ R

Do đó, hàm số này đồng biến trên R.

Chọn B.

* Phương án C và D, hàm số có tập xác định không phải là R nên hàm số không thể đồng biến trên R.

Bài 9: Cho hàm số y = - x³ + 3x² - 3x + 1, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến.

B. Hàm số luôn đồng biến

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Lời giải:

y' = -3x² + 6x - 3 = -3(x² - 2x + 1) = -3(x - 1)2 ≤ 0 ∀x ∈ R. Hàm số luôn nghịch biến.

Bài 10: Hàm số:

là hàm hằng trên khoảng nào sau đây?

Lời giải:

Điều kiện:

Hàm số là hàm hằng x ≠ π +2kπ (k ∈ Z)

Do đó, hàm số đã cho cũng là hàm hằng trên khoảng (0; π).

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Cho hàm số y = x² - 2|x| + 2 và các mệnh đề

(1) Hàm số trên liên tục trên R

(2) Hàm số trên có đạo hàm tại x = 0

(3) Hàm số trên đạt GTNN tại x = 0.

(4) Hàm số trên đạt GTLN tại x = 0.

(5) Hàm số trên là hàm chẵn

(6) Hàm số trên cắt trục hoành tại duy nhất một điểm

Trong các mệnh đề trên, số mệnh đề đúng là

Lời giải:

* Hàm số đã cho liên tục trên R vì với  nên (1) đúng

* Tại điểm x = 0 hàm số không có đạo hàm nên (2) sai.

*y = x² - 2|x| + 2 = |x|² - 2|x| + 2 = (|x| - 1)2 + 1 ≥ 1 ∀ x

Suy ra, GTNN của hàm số là 1 khi |x| = 1 ⇔ x = ±1

nên hàm số không có GTLN.

* Phương trình x² - 2|x| + 2=0 vô nghiệm nên đồ thị không cắt trục hoành.

f(-x)=(-x)² - 2|-x| + 2 = x² - 2|x| + 2 = f(x)

Nên hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Mệnh đề 1, 5 đúng. Mệnh đề 2, 3,4,6 sai.

Bài 2: Hàm số

đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi:

Lời giải:

Để hàm số tăng trên từng khoảng xác định thì y’ > 0 <=> m > 0.

Bài 3: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng:

Lời giải:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc là

k = y' = 3x² - 6x = (3x² - 6x + 3) - 3 = 3(x - 1)² - 3 ≥ -3 ∀x ∈ R

Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng -3.

Bài 4: Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình bên?

Lời giải:

* Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x =2, TCN là y = 2.

Hàm số nghịch biến trên TXĐ.

Bài 5: Hàm số y = x³ - 3x² + mx đạt cực tiểu tại x = 2 khi?

Lời giải:

Hàm số y = x³ - 3x² + mx đạt cực tiểu tại x = 2 khi và chỉ khi:

Bài 6: Hàm số

đồng biến trên tập xác định của nó khi:

Lời giải:

Hàm số  có tập xác định: D = R.

y'=x² + 2(m + 1)x - m - 1

Để hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi:

y' = f(x) = x² + 2(m + 1)x - m - 1 ≥ 0 ∀ x ∈ R

⇔ Δ' = (m + m + 1 = m² + 3m + 2 ≤ 0

⇔ -2 ≤ m ≤ -1

Bài 7: Cho đồ thị hàm số y = x³ - 2x² + 2x (C). Gọi x₁,x₂ là hoành độ các điểm M, N trên (C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = -x + 2017 . Khi đó (x₁, x₂) bằng

Lời giải:

Tiếp tuyến của C vuông góc với đường thẳng y= -x + 2017 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k₂ thỏa mãn (-1)k₂ = -1 => k₂ = 1

Suy ra k₂ = y' = 1 => 3x² - 4x + 2 <=> 3x² - 4x + 2 = 0 (*)

Vì x₁, x₂ là nghiệm của (*) nên áp dụng Vi-ét ta có x₁ + x₂ = $\frac{4}{3}$

Bài 8: Một ngọn hải đăng đặt trại vị trí A cách bờbiển một khoảng AB = 5km. Trên bờ biển có một kho vị trí C cách B một khoảng là 7km. Do địa hình hiểm trở, người canh hải đăng chỉ có thể chèo thuyền từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C, với vận tốc 6km/h. Vậy vị trí M cách B một khoảng bao xa thì người đó đến kho là nhanh nhất?

Lời giải:

Đặt BM = x (0 ≤ x ≤ 7) => MC = 7 - x. Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông ABM có

Thời gian đi từ A đến M là

thời gian đi từ M đến C là

Tổng thời gian đi từ A đến C là

Bảng biến thiên

Để người đó đến kho nhanh nhất thì thời gian đi cần ít nhất, tức t đạt giá trị nhỏ nhất. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy t đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 2$\sqrt{5}$ ≈ 4,5

Vậy vị trí điểm M cách B một khoảng là 4,5km thì người đó đến kho là nhanh nhất.

Bài 9: Cho hàm số y = -x² - 4x + 3 có đồ thị (C). Nếu tiếp tuyến tại M của (C) có hệ số góc bằng 8 thì hoành độ điểm M là:

Lời giải:

Đạo hàm y’ = -2x - 4 = 8

Hệ số góc tại điểm có hoành độ x0 là: k = y'(x₀) = -2x₀ - 4

Để k = 8 thì -2x₀ - 4 = 8 ⇔ x₀ = -6

Vậy nếu tiếp tuyến tại M của (C) có hệ số góc bằng 8 thì hoành độ điểm M là -6.

Bài 10: Cho hàm số y = -x⁴ + 2x² - 1. Số giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là:

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là:

Số giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là hai điểm.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho hàm số y = 3sinx - 4sin³x. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (-$\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}$) bằng?

Bài 2 Cho hàm số y = x³ - 3x² + 1. Tích các giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số bằng?

Bài 3 Số đường thẳng đi qua điểm A(0; 3) và tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x⁴ - 2x² + 3 là?

Bài 4 Thể tích V của 1kg nước ở nhiệt độ T(0^o ≤ T ≤ 30^o) được cho bởi công thức V = 999,87 - 0,06426T + 0,0085043T² - 0,0000679T³. Ở nhiệt độ xấp xỉ bao nhiêu thì nước có khối lượng riêng lớn nhất?

Bài 5 Cho hàm số y = -x² - 4x + 3 có đồ thị (C). Nếu tiếp tuyến tại M của (C) có hệ số góc bằng 8 thì hoành độ điểm M là?

Bài 6 Cho hàm số y = -x⁴ + 2x² - 1. Số giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là?

Bài 7 Cho hàm số y = 3sinx - 4sin³x. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (-$\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}$) bằng?

Bài 8 Cho hàm số y = x³ - 3x² + 1. Tích các giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số bằng?

Bài 9 Thể tích V của 1kg nước ở nhiệt độ T(0^o ≤ T ≤ 30^o) được cho bởi công thức V = 999,87 - 0,06426T + 0,0085043T² - 0,0000679T³. Ở nhiệt độ xấp xỉ bao nhiêu thì nước có khối lượng riêng lớn nhất?

Bài 10 Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó khi

Xem thêm các bài Bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Bài tập Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Bài tập Cực trị của hàm số

Bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài tập Đường tiệm cận

Bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số