500 Bài tập Toán 12 Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số mới nhất

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho hàm số y = sin2x - 2x. Hàm số này

A. Luôn đồng biến trên R    

B. Chỉ đồng biến trên khoảng (0; +∞)

C. Chỉ nghịch biến trên (-∞; -1)    

D. Luôn nghịch biến trên R

Lời giải:

Tập xác định D = R

Ta có : y' = 2.cos2x - 2 = 2(cos2x - 1) ≤ 0; ∀ x

(vì -1 ≤ cos2x ≤ 1)

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R

Chọn đáp án D.

Bài 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ đồng biến trên khoảng (-∞; 1) ?

Lời giải:

Bài 3: Tìm m để hàm số

luôn nghịch biến trên khoảng xác định.

A.-2 < m ≤ 2    

B. m < -2 hoặc m > 2

C. -2 < m < 2    

D. m ≠ ±2

Lời giải:

Tập xác định

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng

khi và chỉ khi

Suy ra m² - 4 < 0 hay -2 < m < 2. Chọn đáp án C.

Bài 4: Cho hàm số y = -x³ + 3x² + 3mx - 1, tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞)

A. m < 1   

B. m ≥ 1   

C. m ≤ -1   

D. m ≥ -1

Lời giải:

Ta có y' = -3x² + 6x + 3m. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞) nếu y' ≤ 0 trên khoảng (o; +∞)

Cách 1: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai.

Xét phương trình -3x² + 6x + 3m. Ta có Δ' = 9(1 + m)

TH1: Δ' ≤ 0 => m ≤ -1 khi đó, -3x² + 6x + 3m < 0 nên hàm số nghịch biến trên R .

TH2: Δ' > 0 => m > -1; y' = 0 có hai nghiệm phân biệt là x = 1 ±$\sqrt{\left(1+m\right)}$ .

Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) <=> 1 + $\sqrt{\left(1+m\right)}$ ≤ 0, vô lí.

Từ TH1 và TH2, ta có m ≤ -1

Cách 2: Dùng phương pháp biến thiên hàm số.

Ta có y' = ^-3x²+ 6x + 3m ≤ 0, ∀x > 0 <=> 3m ≤ 3x² - 6x, ∀x > 0

Từ đó suy ra 3m ≤ min(3x² - 6x) với x > 0

Mà 3x² -6x = 3(x² -2x + 1) - 3 = 3(x - 1)2 - 3 ≥ -3 ∀ x

Suy ra: min( 3x² – 6x) = - 3 khi x= 1

Do đó 3m ≤ -3 hay m ≤ -1.

Chọn đáp án C.

Bài 5: Cho đồ thị hàm số với x ∈ [- $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ ; $\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$] như hình vẽ.

Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = sinx với x ∈ [- $\frac{\mathrm{\pi }}{2}; \frac{3\mathrm{\pi }}{2}$]

Lời giải:

Trên khoảng (-$\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}$) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải.

Trên khoảng ($\frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2}$) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-$\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2}$)

Chọn đáp án A.

Bài 6: Cho đồ thị hàm số y = -x³ như hình vẽ. Hàm số y = -x³ nghịch biến trên khoảng:

A. (-1;0)    

B. (-∞;0)

C. (0;+∞)    

D. (-1;1)

Lời giải:

Trên khoảng (0; +∞) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞),

Chọn đáp án C.

Bài 7: Cho đồ thị hàm số y = -$\frac{2}{x}$ như hình vẽ. Hàm số y = -$\frac{2}{x}$ đồng biến trên

A. (-∞;0)   

B. (-∞;0) ∪ (0;+∞)

C. R    

D. (-∞;0) và (0;+∞)

Lời giải:

Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên hai khoảng (-∞;0) và (0;+∞)

Chọn đáp án D.

Ghi chú. Những sai lầm có thể gặp trong quá trình làm bài:

- Không chú ý tập xác định nên chọn đáp án C.

- Không chú ý định nghĩa của hàm đồng biến nên chọn đáp án B.

Bài 8: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = $\sqrt{x(x-1)(x+2)}$²

Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-∞;1).

B. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞;0) và (1;+∞).

C. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng và (1;+∞).

D. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (1;+∞).

Lời giải:

Điều kiện: x > 0

Bảng xét dấu :

Vậy f(x) đồng biến trên khoảng (1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (0;1).

Chọn đáp án D.

Bài 9: Khoảng nghịch biến của hàm số y = $x^{\frac{3}{3}}$ - 2x² + 3x + 5 là:

A. (1;3)    

B.(-∞; 1) ∪ (3; +∞)   

C. (-∞; 1) và (3; +∞)    

D. (1;+∞)

Lời giải:

Bảng xét dấu y’:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3).

Chọn đáp án A.

Bài 10: Cho hàm số y = x⁴ - 2x² + 3 . Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) ∩ (0; 1)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) ∪ (1; +∞)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) ∪ (0; 1)

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞)

Lời giải:

Bảng xét dấu y’:

Từ đó ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞) , nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1) .

Chọn đáp án D.