50 Bài tập Ôn tập Chương 3 Toán 12 mới nhất

Bài tập Ôn tập Chương 3 - Toán 12

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 1. Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A(-1;-2;4)

A. z - 2 = 0 hoặc z + 2 = 0    

B. z - 4 = 0    

C. z - 2 = 0 hoặc z - 4 = 0

D. z + 2 = 0

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(-1; -2; 3)

Vì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A nên mặt phẳng (P) nhận vectơ $\overrightarrow{nP}=\overrightarrow{IA}$ = (0; 0; 1) là vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là: 0(x + 1) + 0(y + 2) + 1(z - 4) = 0 ⇔ z - 4 = 0

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 2y + z + 1 = 0 và (Q): 2x + 4y + az + b = 0 . Tìm a và b sao cho khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó bằng 1.

A. a = 4 và b = 8   

B. a = 4 và b = 8 hoặc b = -4   

C. a = -2 và b = 38 hoặc b = -34

D. a = 4 và b = 38 hoặc b = -34

Lời giải:

Để khoảng cách giưa hai mặt phẳng (P) và (Q) lớn hơn 0 thì trước hết hai mặt phẳng đó phải song song (nếu hai mặt phẳng đó trùng nhau hoặc cắt nhau thì khoảng cách giữa chúng sẽ bằng 0). Do đó ta có:

Lấy điểm A(-1;0;0) ∈ (P). Khi đó ta có:

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho M là một điểm thay đổi trên mặt cầu (S) có tâm I(2;2;2), bán kính R=1. Tập hợp những điểm M’ đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ là mặt cầu (S’) có phương trình là:

A. (x - 2)² + (y - 2)² + (z - 2)² = 1   

B. (x - 2)² + (y + 2)² + (z - 2)² = 1    

C. (x + 2)² + (y - 2)² + (z - 2)² = 1 

D. (x + 2)² + (y + 2)² + (z + 2)² = 1

Lời giải:

Tập hợp những điểm M’ đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ là mặt cầu (S’) có tâm I’( -2; -2; -2) – là điểm đối xứng với tâm I qua gốc tọa độ O và bán kính R’ = R = 1.

Phương trình mặt cầu (S’) là: (x + 2)² + (y + 2)² + (z + 2)² = 1

Câu 4: Cho mặt cầu (S) có phương trình: x² + y² + z² - 2x + 4y - 6z - 2 = 0. Điểm M(m; -2; 3) nằm ngoài mặt cầu khi và chỉ khi:

A. m < -3 hoặc m > 5   

B. m < -3   

C. -3 ≤ m ≤ 5    

D. m > 5

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm

M nằm ngoài mặt cầu (S) khi và chỉ khi:

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho vectơ

Lời giải:

$\overrightarrow{x}=-2\overrightarrow{a}$ = -2(1;2;2) = (-2.1; -2.2; -2.2) = (-2; -4; -4)

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC. Điều kiện nào dưới đây không tương đương với điều kiện G là trọng tâm của tam giác ABC.

C. Công thức tọa độ của điểm G là:

D. OA + OB + OC ≥ 3OG

Lời giải:

G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi một trong các điều kiện xảy ra:

Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. OA = OB = OC   

B. GA = GB = GC   

C. OG ⊥ (ABC)   

D. OG = 3

Lời giải:

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABDC. Biết rằng A(1;3;5), B(3;1;1), C(5;8;9). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Lời giải:

Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B(x₀, y₀, 5) . Đường thẳng AB song song với trục Oz khi và chỉ khi:

A. x₀ = 1   

B. x₀ = y₀ = 0  

C. x₀ = 1 và y₀ = 2 

D. x₀ = 1 hoặc y₀ = 2

Lời giải:

Trục Oz có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{k}$(0; 0; 1)

Lại có: $\overrightarrow{AB}$(X₀ - 1; y₀ - 2; 2)

Để đường thẳng AB song song với trục Oz khi và chỉ khi hai vecto $\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{k}$ cùng phương

Tồn tại số a khác 0 sao cho: $\overrightarrow{AB}=a.\overrightarrow{k}$

Câu 10: Trong không gian Oxyz,lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;1;-3) và vuông góc với trục Oy

A. x + z + 1 = 0   

B. y - 1 = 0    

C. y + 1 = 0   

D. 2x + y - 3z - 1 = 0

Lời giải:

Vì mặt phẳng (P) vuông góc với trục Oy nên nhận vecto $\overrightarrow{j}$(0; 1; 0) làm vecto pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng(P) là:

0(x - 2) + 1(y - 1) + 0(z + 3) = 0 hay y – 1 = 0

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;0;1), B(2;1;3) và song song với trục Oz

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$(1; 1; 2)

Trục Oz có vecto chỉ phương $\overrightarrow{k}$(0; 0; 1).

Vì mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A , B và song song trục Oz nên mặt phẳng này vecto

[$\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{k}$] = (1; -1; 0) làm vecto pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (P):

1(x - 1) -1(y - 0)+ 0( z - 1) = 0 hay x – y - 1= 0

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình (m² + m)x + y + (m - 2)z + m² - m = 0 , trong đó m là tham số. Với những giá trị nào của m thì mặt phẳng (P) song song với trục Ox?

Lời giải:

Mặt phẳng (P) song song với trục Ox khi và chỉ khi

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình là x + y - 2z = 0; 2x + (m² + m)y - 4z + 2m² + 2m - 4 = 0 , trong đó m là tham số. Với những giá trị nào của m thì hai mặt phẳng (P) và (Q) song song.

Lời giải:

Hai mặt phẳng (P) và (Q) có vecto pháp tuyến là n$\overrightarrow{p}$(1; 1 ; -2); n$\overrightarrow{Q}$ = (2; m² + m; -4)

Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song khi và chỉ khi tồn tại một số thực k sao cho

Hệ trên vô nghiệm. Vậy không tồn tại m thỏa mãn bài toán.

Câu 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau sau đây:

Lời giải:

Đường thẳng d₁ đi qua điểm M(2; -2; 1), VTCP $\overrightarrow{u_1}$ = (3; 4; 1)

Đường thẳng d₂ đi qua điểm N( 7; 3; 9), VTCP $\overrightarrow{u_2}$ = (-2; -4; 2)

Ta có: $\overrightarrow{MN}$(5; 5; 8); [$\overrightarrow{u_1}; \overrightarrow{u_2}$] = (12; -8; -4)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho là:

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0; -2; -4), B(-4; -4; 2), C(2; -3; 3). Tìm tọa độ của điểm M trên mặt phẳng (Oxz) sao cho biểu thức MA² + MB² + 2MC² đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;-3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho tam giác ABC đều. Số mặt phẳng (P) thỏa mãn bài toán là:

Lời giải:

Gọi tọa độ A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c)

Riêng trường hợp a = b = c là không thỏa mãn phương trình (1).

Các trường hợp còn lại đều có các giá trị của a, b , c thỏa mãn phương trình

Do đó, có 3 mặt phẳng (P) thỏa mãn phương trình .

Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho điểm A di động trên mặt cầu (S): (x - 1)² + (y + 1)² + (z - 2)² = 4 và mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 29 = 0 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) nhỏ nhất là?

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(1 ;-1 ;2) và có bán kính R=2. Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là:

Do đó mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S)

Gọi K và H lần lượt là hình chiếu vuông góc cúa A và I trên mặt phẳng (P). Ta có: d(A, (P)) = AK ≥ IK - IA ≥ IH - R = h - R = 9 - 2 = 7

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A là giao điểm của tia IH với mặt cầu (S). Vậy đáp án đúng là A.

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(1;-2;-6) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y + 6z - 3 = 0. Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

A. Vectơ (1;2;6) vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng d

B. Phương trình của đường thẳng d là: 1(x - 1) + 2(y + 2) + 6(z + 6) = 0

C. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

D. Cả ba khẳng định trên đều sai

Lời giải:

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{ud}=\overrightarrow{uP}$ = (1; 2; 6) .

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

Từ đó suy ra C là khẳng định đúng.

Câu 9: Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(0;1;-1), nằm trong mặt phẳng (P): x + 2y + z - 1 = 0 và vuông góc với đương thẳng

Lời giải:

Ta có : $\overrightarrow{np}$(1; 2; 1); $\overrightarrow{u∆}$ = (-2; 1; -4)

Vì đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{ud}$ =

[$\overrightarrow{u∆}; \overrightarrow{np}$] = (9; -2; -5)

Phương trình chính tắc của đường thẳng d :

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x + y + z + 5 = 0, (Q): 2x - z + 3 = 0 . Phương trình tham số đường thẳng d là?

Lời giải:

Tọa độ các điểm thuộc d là nghiệm của hệ phương trình :

Đặt x = t, thay vào hệ trên ta được

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ M(6;2;8) đến trục Oy bằng

Bài 2 Cho đường thẳng d có phương trình: x = 2t, y = 1 - t, z = 3 + t và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z - 10 = 0 . Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

Bài 3 Trong không gian Oxyz, tìm những điểm M trên tia Oz sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P): 4y + 3z + 1 = 0 bằng 2

Bài 4 Trong không gian Oxyz, cho điểm A di động trên trục Ox, điểm B di động trên mặt phẳng (P): 2y - z - 2 = 0 . Khoảng cách giữa hai điểm A và B nhỏ nhất là?

Bài 5 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; -2; 3), B(0; 1; 5), C(4; -1; 7). Gọi M là trung điểm của BC. Viết phương trình tham số của đường thẳng AM

Bài 6 Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1;2;-3) và d vuông góc với mặt phẳng (P): 3x + y + 1 = 0

Bài 7 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2;-4;6) và ba điểm B, C, D cùng thuộc mặt phẳng (Oyz). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Lập phương trình mặt phẳng (MNP)

Bài 8 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình là?

Bài 9 Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2;-4;6), B(1;1;1), C(0;3;0), D(0;0;3). Viết phương trình tham số của đường thẳng d chứa đường cao AH của tứ diện ABCD

Bài 10 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng cắt nhau:d₁: x = 1 + t, y = 1, z = 1 - t, d₂: x = -t, y = 2 + t, z = 1. Viết phương trình của mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d₁, d₂

Xem thêm các bài Bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hệ tọa độ trong không gian

Bài tập Phương trình mặt phẳng

Bài tập Phương trình đường thẳng

Bài tập Khái niệm về mặt tròn xoay

Bài tập Mặt cầu