50 Bài tập Phương trình mặt phẳng Toán 12 mới nhất
Với 50 Bài tập Phương trình mặt phẳng Toán lớp 12 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 12 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.
Tài liệu gồm: 15 bài tập trắc nghiệm, 15 bài tập tự luận có lời giải và 20 bài tập vận dụng. Mời các bạn đón xem:
Bài tập Phương trình mặt phẳng - Toán 12
I. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(-x0; -y0; z0) và phương trình của mặt phẳng (P): Ax + By + Cz = D = 0 . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
Lời giải:
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳn song song (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): Ax + By + Cz + D' = 0. M là một điểm di động trên mặt phẳng (P). Khẳng định nào dưới đây có thể sai?
A. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q) không phụ thuộc vào M.
B. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) chính là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q)
C. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là
D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là |D' - D|
Lời giải:
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và M thuộc mặt phẳng (P) thì:
+ Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q) không phụ thuộc vào M.
+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) chính là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q)
+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là 
+ Đặc biệt, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là |D - D'| khi và chỉ khi :
A2 + B2 + C2 =1
Do đó, mệnh đề D có thể sai.
Câu 3: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?
A. Mỗi mặt phẳng chỉ có duy nhất một vectơ pháp tuyến
B. Mặt phẳng (P) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm A thuộc (P) và biết một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
C. Mặt phẳng (P) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm A thuộc (P) và (P) vuông góc với một mặt phẳng (Q) cho trước
D. Mặt phẳng (P) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm A thuộc (P) và (P) song song với một đường thẳng d cho trước
Lời giải:
Mặt phẳng (P) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm A(x0; y0; z0) thuộc (P) và biết một vectơ pháp tuyến (A; B; C) của mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng (P) khi đó: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0)= 0
Câu 4: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
A. Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có một vectơ pháp tuyến n = (A; B; C) là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
B. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì hai vectơ pháp tuyến của chúng cũng vuông góc
C. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau thì hai vectơ pháp tuyến của chúng không cùng phương
D. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) có hai vectơ pháp tuyến cùng phương thì chúng song song
Lời giải:
Khẳng định: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) có hai vectơ pháp tuyến cùng phương thì chúng song song là sai vì khi đó hai mặt phẳng (P) và (Q) có thể trùng nhau.
Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;-2), B(-1;1;1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là:
A. 2x - y - 3z - 8 = 0
C. x - 2z - 8 = 0
B. x - 2z - 8 = 0
D. 2x - y - 3z + 6 = 0
Do (P) ⊥ AB nên mp(P) có một vectơ pháp tuyến là n = = (-2; 1; 3) . Mặt khác (P) đi qua điểm A nên phương trình của mặt phẳng (P) là:
-2(x - 1) + (y - 0) + 3(z + 2) = 0 ⇔ -2x + y + 3z + 8 = 0 ⇔ 2x - y - 3z - 8 = 0.
Vậy đáp án đúng là A.
Lưu ý. Khi ta viết phương trình mặt phẳng (P) bị nhầm ở cột z:
-2(x - 1) + (y - 0) + 3(z + 2) = 0 <> 2x - y - 3z - 4 = 0
thì ta được đáp án B.
Khi ta viết phương trình mặt phẳng bị nhầm giữa tọa độ của điểm A với tọa độ của vectơ pháp tuyến 1(x - (-2)) + 0(y - 1) -2(z - 3) = 0 <=> x - 2x + 8 = 0 thì ta được đáp án C.
Khi ta viết phương trình mặt phẳng đi qua B thì ta thu được đáp án D.
Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;5), B(-1;5;3). Lập phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB
A. x + y + z = 0
B. x + y - z = 0
C. x - y + z = 0
D. -x + y + z = 0
Lời giải:
Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB. Ta có
Ta chọn :
Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là:
-2(x - 0) + 2(y - 4) - 2(z - 4) = 0 ⇔ -2x + 2y - 2z = 0 ⇔ x - y + z = 0
Vậy đáp án đúng là C.
Câu 7: Trong không gian Oxyz, gọi A1, A2, A3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A(4;3;2) trên các trục Ox, Oy, Oz. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
C. Thể tích của tứ diện OA1A2A3 bằng 4
D. Mặt phẳng (A1A2A3) đi qua điểm A.
Vì A1, A2, A3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A(4;3;2) lên các trục Ox, Oy, Oz nên ta có A1(4; 0; 0), A2(0; 3; 0), A3(0; 0; 2) .
Từ đó suy ra các khẳng định A và B là đúng.
Thể tích của khối tứ diện
Vậy khẳng định C là đúng.
Khẳng định D là sai do
Câu 8: Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2 ;1 ;-3), vuông góc với mặt phẳng (Q) : x + y - 3z = 0 đồng thời (P) song song với trục Oz.
A. x + y - 3 = 0
B. x - y - 1 = 0
C. 2x + y - 3z - 1 = 0
D. x - y + 1 = 0
Từ giả thiết ta suy ra
Ta chọn
Mặt khác (P) đi qua điểm A(2 ;1 ;-3) nên ta có phương trình của mặt phẳng (P) là : 1(x - 2) - 1(y - 1) = 0 <=> x - y - 1 = 0 .
Vậy đáp án đúng là B
Lưu ý. Đáp án A xuất phát từ việc tính sai thành phần thứ hai của vectơ pháp tuyến
Đáp án C xuất phát từ sai lầm trong công thức viết phương trình mặt phẳng, nhầm giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ pháp tuyến
Đáp án D xuất phát từ việc nhầm hệ số tự do khi viết phương trình mặt phẳng (P).
Câu 9: Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1 ;0 ;1), B(0 ;-1 ;-3), C(3 ;2 ;5).
A. x - y - 1 = 0
B. x - y + 1 = 0
C. x + z - 2 = 0
D. x + y - 1 = 0
Từ giả thiết ta suy ra
Mặt khác (P) đi qua điểm A(1 ;0 ;1) nên ta có phương trình của mặt phẳng (P) là : 1(x - 1) - 1(y - 0) = 0 <=> x - y - 1 = 0.
Vậy đáp án đúng là A.
Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1 ;2 ;2) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.
A. 2x + 2y + z - 8 = 0
B. 2x + 2y + z + 8 = 0
D. x + 2y + 2z - 9 = 0
Lời giải:
Ta có OA ⊥ OB, OC => OA ⊥ (OBC) => OA ⊥ BC .
Mặt khác ta có AM ⊥ BC nên ta suy ra BC ⊥ (OAM) => BC ⊥ OM
Chứng minh tương tự ta được AC ⊥ OM . Do đó OM ⊥ (ABC).
Ta chọn = (1; 2; 2). Từ đó suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là :
1(x - 1) + 2(y - 2) + 2(z - 2) = 0 <=> x + 2y + 2z - 9 = 0
Chọn D
Lưu ý. Bài toán này có thể giải bằng cách tìm tọa độ của các điểm A, B, C dựa vào các điều kiện
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình (m2 - 2m)x + y + (m - 1)z + m2 + m = 0, trong đó m là tham số. Với những giá trị nào của m thì mặt phẳng (P) song song với trục Ox ?
Lời giải:
Ta có = (m2 - 2m; 1; m - 1). Mặt phẳng (P) song song với trục Ox khi và chỉ khi
Từ đó ta được m=2.
Vậy đáp án B là đáp án đúng.
Lưu ý. Học sinh thường chỉ để ý đến điều kiện (1) và quên mất điều kiện (2), từ đó sẽ chọn đáp án (C)
Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x + 2y - 2z + 1 = 0, (Q): 2x + 4y + az + b = 0. Tìm a và b sao cho khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó bằng 1.
Lời giải:
Muốn khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) lớn hơn 0 thì trước hết hai mặt phẳng đó phải song song (nếu hai mặt phẳng đó trùng nhau hoặc cắt nhau thì khoảng cách giữa chúng sẽ bằng 0). Do đó ta có:
Lấy điểm A(-1;0;0) ∈ (P). Khi đó ta có:
Vậy đáp án đúng là B.
Lưu ý. Đáp án A sai là do khi tính khoảng cách quên không lấy giá trị tuyệt đối
Đáp án D sai, xuất phát từ sai lầm khi tính khoảng cách bị sai do thiếu căn thức ở mẫu số.
Đáp án C sai, do trong trường hợp đó hai mặt phẳng cắt nhau, khoảng cách giữa hai mặt phẳng này sẽ bằng 0.
Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là x2 + y2 + z2 - 2x - 4y + 6z + 5 = 0 và cho mặt phẳng (P) : x - 2y + 3z + 3 = 0. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
- (P) giao (S) theo một đường tròn
- (P) tiếp xúc với (S)
- (P) không cắt (S)
- Mặt phẳng (P) đi qua tâm của mặt cầu (S)
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và có bán kính
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:
Do đó mặt phẳng (P) giao với mặt cầu (S) theo một đường tròn và (P) không đi qua tâm I của (S).
Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm thay đổi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó a, b, c khác 0 và thỏa mãn điều kiện 3ab + bc - 2ac = abc . Khoảng cách lớn nhất từ O đến mặt phẳng (ABC) là?
Lời giải:
Phương trình của mặt phẳng (ABC) là:
Theo giả thiết ta có:
Từ đó suy ra M(1; -2; 3) ∈ mp(ABC) .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC). Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi H trùng M.
Câu 5: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0, y0, z0) và có một vectơ pháp tuyến = (A; B; C) là?
Lời giải:
Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có một vectơ pháp tuyến = (A; B; C) là:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Câu 6: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-x0, y0, -z0) và có một vectơ pháp tuyến = (-A; B; -C) là?
Lời giải:
Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-x0; y0; -z0) và có một vectơ pháp tuyến = (-A; B; -C) là:
-A(x + x0) + B(y - y0) - C(z + z0) = 0
⇔ A(x + x0) - B(y - y0) + C(z + z0) = 0
Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;-2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC
Lời giải:
Ta có: OA → OB, OC => OA → (OBC) => OA → BC
Mặt khác vì AM → BC (M là trực tâm tam giác ABC) nên ta suy ra BC → (OAM) => BC → OM
Chứng minh tương tự ta được AC → OM. Do đó OM → (ABC). Ta chọn: = (1; -2; 3)
Từ đó suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là:
1(x - 1) - 2(y + 2) + 3(z - 3) = 0 ⇔ x - 2y + 3z - 14 = 0
Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3;2;1) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho tam giác ABC đều. Số mặt phẳng (P) thỏa mãn bài toán là?
Lời giải:
Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0 . Phương trình của mặt phẳng (P) là:
Vì M(3 ;2 ;1) thuộc (P) nên ta có :
Vì tam giác ABC đều nên ta có :
⇔ a2 = b2 = c2 ⇔ a = b= c (do a, b, c > 0)
Thay a = b = c vào phương trình (*) ta được
Suy ra: a = b = c = 6. Vậy có một mặt phẳng (P) thỏa mãn bài toán.
Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm là A(2;0;0), M(1;1;1). Cho (P) cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại các điểm B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho thể tích của từ diện OABC nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó b, c > 0.
Ta có: OA = 2; OB = b; OC = c
Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ = (-1; 3; 4), = (2; -1; 5). Tích có hướng của hai vectơ và là?
Lời giải:
Hai vectơ = (-1; 3; 4), = (2; -1; 5)
Thì tích có hướng của hai vectơ và là:
[] = (19; 13; -5)
III. Bài tập vận dụng
Bài 1 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình là x - 2y + 2 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
Bài 2 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình là
Bài 3 Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
Bài 4 Trong không gian Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phẳng (Oxy) là?
Bài 5 Trong không gian Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;-2;3) và song song với mặt phẳng (Oxy) là?
Bài 6 Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2 ;-1 ;3) và song song với mặt phẳng (Q)?
Bài 7 Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2 ;-1 ;-2) và song song với mặt phẳng (Q) : 2x - y + 2z = 0
Bài 8 Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(-2 ;1 ;-2) và vuông góc với trục Oz.
Bài 9 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1 ;0 ;-2), B(-1 ;1 ;2). Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là?
Bài 10 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;-2), B(1;1;2). Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Phương trình của mặt phẳng (P) là?
Bài 11 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;-3;4). Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua các hình chiếu vuông góc của điểm A trên các trục tọa độ?
Xem thêm các bài Bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:
Bài tập Phương trình đường thẳng
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12 (sách mới)
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12 (sách mới) | Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12 (sách mới) | Giải bài tập GDQP 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12