50 Bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Toán 12 mới nhất

Đối với hàm phân thức hữu tỉ, giao điểm của 2 đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

A. Tâm đối xứng của

C. Điểm I(1; 0) không thuộc đồ thị

D. Điểm I(1; 0) không thuộc đồ thị y = x³ - 3x² - 2 nên không phải là giao điểm của y = x³ - 3x² - 2 với trục hoành.

Chọn đáp án B.

Ta có

y' = x² + 2x; y'' = 2x + 2 => y'' = 0 <=> x = -1 => -$\frac{4}{3}$, y'(-1) = -1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x = -1 là:

Chọn đáp án A.

Xét hàm số

y = f(x) = x³ + 3x² (C)

Đồ thị hàm số có dạng như hình bên.

x³ + 3x² = m có ba nghiệm phân biệt

<=> Đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt <=> 0 < m < 4

Chọn đáp án D.

Ta có: a = 2 > 0; y' = 6x² - 6(m + 1)x + 6(m + 1)² = 6[x² - (m + 1)x + (m + 1)²]

y' = 0 ⇔ x² - (m + 1)x + (m + 1)² = 0

Δ = -3(m + 1)² ≤ 0 ∀x ∈ R => y' = 0 vô nghiệm hoặc nghiệm kép

Do đó, đồ thị hàm số đã cho không có cực trị.

Chọn C.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đây là đồ thị ứng với hàm bậc bốn trùng phương có a > 0 và a, b, trái dấu.

Chọn đáp án D.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị trên là của hàm trùng phương có a > 0 và a, b, cùng dấu hoặc hàm số bậc hai với a > 0 ⇒ loại B và D.

Tuy nhiên đỉnh của parabol của đồ thị hàm số y = -x³ - 3x² + 1 là I(1; 0) nằm trên trục hoành ⇒ loại A

Chọn đáp án C.

y' = -3x² - 6x; y'' = -6x - 6; y'' = 0 => x = -1

Vậy điểm U(-1; -1) là tâm đối xứng của đồ thị .

(Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng – hoành độ điểm uốn là nghiệm phương trình y'' = 0 ).

Chọn đáp án A.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong 4 hàm số được liệt kê ở 4 phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. y = x⁴ + 3x² - 2

B. y = x³ - 2x² + 1

C. y = -4x⁴ + x² + 4

D. y = x⁴ - 2x² + 3

Câu 2: Đồ thị trong hình dưới đây là đồ thị của đồ thị hàm số nào?

A. y = x² - 2x + 1

B. y = x³ + 4x² - 2x + 5

C. y = x⁴ + x² + 1

D. y = x⁴ - 3x² + 5

Câu 3: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = -x³ - 3x² + 1 là:

Lời giải:

Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. I(1; 0) là tâm đối xứng của

B. I(1; 0) là tâm đối xứng của y = -x³ + 3x² - 2

C. I(1; 0) là điểm thuộc đồ thị

D. I(1; 0) là giao điểm của y = x³ - 3x² - 2 với trục hoành.

Lời giải:

Đối với hàm phân thức hữu tỉ, giao điểm của 2 đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

A. Tâm đối xứng của

C. Điểm I(1; 0) không thuộc đồ thị

D. Điểm I(1; 0) không thuộc đồ thị y = x³ - 3x² - 2 nên không phải là giao điểm của y = x³ - 3x² - 2 với trục hoành.

Câu 5: Tìm m để bất phương trình x⁴ + 2x² ≥ m luôn đúng.

Lời giải:

Xét hàm số y = x⁴ + 2x² có a = 1 > 0; b = 2 > 0 => a, b cùng dấu.

Đồ thị có dạng như hình bên.

Do đó, để bất phương trình x⁴ + 2x² ≥ m luôn đúng thì m ≤ min(x⁴ + 2x²)

Từ đồ thị hàm số ta suy ra m ≤ 0 . Chọn đáp án C.

Câu 6: Cho hàm số

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y'' = 0 là?

Lời giải:

Ta có

y' = x² + 2x; y'' = 2x + 2 => y'' = 0 <=> x = -1 => -$\frac{4}{3}$, y'(-1) = -1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x = -1 là:

Câu 7: Cho hàm số

Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 3x -1

Lời giải:

Ta có y' = x² - 4x + 3. Tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng y = 3x - 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3.

Xét y' = 3 <=> x² - 4x = 0

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A(0;1) có hệ số góc k = 3 là y = 3x + 1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại B(4; $\frac{7}{3}$) có hệ số góc k = 3 là

Câu 8: Gọi M, N là giao điểm của

Khi đó hoành độ trung điểm của I của đoạn thẳng MN bằng?

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

Giao điểm của hai đồ thị hàm số là M(x₁; y₁), N(x₂; y₂) với x₁, x₂ là nghiệm phương trình (1). Do đó

Câu 9: Tìm m để phương trình x³ + 3x² = m có ba nghiệm phân biệt

Lời giải:

Xét hàm số

y = f(x) = x³ + 3x² (C)

Đồ thị hàm số có dạng như hình bên.

x³ + 3x² = m có ba nghiệm phân biệt

<=> Đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt <=> 0 < m < 4

Câu 10: Cho hàm số 2x³ - 3(m+1)x² + 6(m + 1)2x + 1. Hình nào dưới đây mô tả chính xác nhất đồ thị hàm số trên?