50 Bài tập Phương trình đường thẳng Toán 12 mới nhất

Bài tập Phương trình đường thẳng - Toán 12

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; -2; 0), B(3; -5; 2) . Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

B. x = 2 + 3t, y = -3 - 5t, z = 2 + 2t

C. x = 3 + 2t, y = -5 - 3t, z = 2 + 2t

D. x = 1 + 2t, y = -2 + 3t, z = 2t

Lời giải:

Đường thẳng AB đi qua B(3; -5; 2) và VTCP $\overrightarrow{AB}$(2; -3; 2) có phương trình tham số là:

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua M(4;3;1) và song song với đường thẳng Δ: x = 1 + 2t, y = 1 - 3t, z = 3 + 2t. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

Lời giải:

Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}$(2; -3; 2)

Đường thẳng d đi qua M(4;3;1) và song song với đường thẳng ∆ nên có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}$ (2; -3; 2). Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

Câu 3: Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(-1;-2;3) và vuông góc với mặt phẳng (P): x - 2y + 3z - 1 = 0

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{np}$(1; -2; 3) là:

Vì đường thẳng d đi qua điểm M(-1;-2;3) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{ud}$ = $\overrightarrow{np}$(1; -2; 3) . Phương trình chính tắc của d:

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

B. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$ = (0; 0; 1)

C. Đường thẳng d nằm trong hai mặt phẳng: (P): x - 1 = 0, (Q): y - 2 = 0

D. Phương trình tham số của đường thẳng d là: x = 1, y = 2, z = 1

Lời giải:

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Oxy) nên đường thẳng d có vectơ chỉ phương là (0 ;0 ;1). Từ đó suy ra A là khẳng định sai.

Câu 5: Cho tam giác ABC có A(1; -2; 3), B(0; 5; 6), C(1; 3; 2). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC. Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

B. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AH là:

C. AH ⊥ BC

D. Các khẳng định trên không đồng thời đúng

Lời giải:

Ta có thể thấy ngay rằng các khẳng định A và C đều đúng.

Ta có

Mặt khác ta có

Từ đó ta suy ra

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AH.

Vậy D là khẳng định sai.

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; -2; -1), B(3; -5; 2) . Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:

Lời giải:

Đường thẳng AB đi qua điểm B(3;-5;2) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}$ . Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:

Câu 7: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(2;-1;1), vuông góc với đường thẳng

và song song với mặt phẳng (P): 2x - 3y + z - 2 = 0.

B. d: x = 2 + 4t, y = 1 + 5t, z = 1 + 7t

C. d: x = 2 +4t, y = -1 - 5t. z = 1 + 7i

D. d: x = -2 + 4t, y = 1 + 5t, z = -1 + 7t

Lời giải:

Từ giả thiết suy ra

Mặt khác đường thẳng d đi qua điểm M(2;-1;1) nên phương trình tham số của đường thẳng d là: x = 2+ 4t, y = -1, + 5t, z = 1 + 7t .

Vậy đáp án đúng là B

Câu 8: Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(0;1;1) , vuông góc với đường thẳng

và cắt đường thẳng d2: x = -1, y = t, z = 1 + t

Lời giải:

Gọi A = d ∩ d₂ . Ta có A ∈ d₂ => A(-1; a; a+ 1).

Theo giả thiết:

Thay vào (*) ta được :

-1.3 + (a - 1).1 + a.1 = 0 <=> 2a - 4 = 0 <=> a = 2 <=> $\overrightarrow{ud}$ = $\overrightarrow{MA}$ = (-1; 1; 2)

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là :

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 9: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau : (P): x + y + z - 1 = 0, (Q): 3x + 2y + z + 1 = 0

A. d: x = -3 + t, y = 4 + 2t, z = t    

B. d: x = -3 + t, y = 4 - 2t, z = t    

C. d: x = -3 + t, y = 4 - 2t, z =1 + t

D. d: x =1 - 3t, y = -1 + 4t, z = t

Lời giải:

Tọa độ các điểm thuộc d là nghiệm của hệ phương trình :

Đặt z=t, thay vào hệ trên ta được :

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 10: Trong không gian Oxyz, vị trí tương đối của hai đường thẳng 

d₁: x = 2 + 4t, y = -6t, z = -1-8t và

A. Cắt nhau   

B. song song   

C. chéo nhau   

D. trùng nhau

Lời giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}$ = (4; -6; -8) ;

đường thẳng d2 đi qua điểm M2(7; 2; 0) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}$ = (-6; 9; 12) .

Do hai vectơ $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ cùng phương nên các đáp án A và C là sai.

Thay tọa độ điểm M1 vào d₂ , ta thấy :

Do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ song song.

Vậy đáp án B là đúng

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

- Phương trình của mặt phẳng (ABC) là: x + y + z - 3 = 0

- Hình chóp O.ABC là hình chóp tam giác đều

- Phương trình đường thẳng qua O, vuông góc với mặt phẳng (ABC) là: x = t, y = t, z = t

- Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC bằng 3

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

Từ đó suy ra khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là:

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ: x = 1 + 2, y = 2 + t, z = 1 + 2t và điểm M(2; 1; 4). Khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ là?

Lời giải:

Cách 1. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng Δ.

Ta có: H ∈ Δ => H(1 + t; 2 + t; 1 + 2t)

<=> 6t - 6 = 0 <=> t = 1 => H(2; 3; 3)

Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ là:

Vậy đáp án đúng là C

Cách 2. Δ đi qua điểm A(1 ;2 ;1) và có vectơ chỉ phương là

Ta có:

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau :

Cho mặt cầu (S) có một đường kính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho. Bán kính của mặt cầu (S) là?

Lời giải:

Ta có d1 đi qua điểm M1(7; 3; 9) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}$ = (1; 2; 1); d2 đi qua điểm M2(3; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}$ .

Bán kính của mặt cầu (S) là :

Câu 4: Cho tam giác ABC có ABC có A(2; 2; 1), B(4; 4; 2), C(-2; 4; -3) . Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường phân giác trong AD của tam giác ABC.

Lời giải:

Ta có:

Từ điểm D kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh AB tại điểm E. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC tại F. Do AD là đường phân giác trong của tam giác ABC nên ta suy ra AEDF là hình thoi.

Đặt AE=AF=k. Ta có:

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AD. Từ đó suy ra C là khẳng định đúng.

Ta cũng lưu ý rằng khẳng định A sai, do tam giác ABC không cân tại đỉnh A.

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua điểm M0(x₀; y_0; z₀) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$ , với a, b, c khác 0. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

- Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

- Phương trình tham số của đường thẳng d là: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + at

- Đường thẳng d nằm trong hai mặt phẳng :(P): b(x - x₀) - a(y - y₀) = 0 và (Q): c(x - x₀) - a(z - z₀) = 0

- Phương trình đường thẳng d là: a(x - x₀) + b (y - y₀) + c(z - z₀) = 0

Lời giải:

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của a để hai đường thẳng sau chéo nhau :

d1: x = 1 + at, y = t, z = -1 + 2t, d2: x = 1 - t', y = 2 + 2t', z = 3 - t'

Lời giải:

Hai đường thẳng d1, d2 lần lượt đi qua hai điểm M₁(1; 0; -1), M₂(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương lần lượt là

Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi :

⇔ -5.0 + (a - 2).2 + (2a + 1).4 ≠ 0 ⇔ 10a ≠ 0 ⇔ a ≠ 0

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của a để hai đường thẳng sau vuông góc 

d₁: x = 1 - t, y = 1 + 2t, z = 3 + at, d₂: x = a + at, y = -1 + t, z = -2 + 2t

Lời giải:

Hai đường thẳng đã cho có hai vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}$(-1; 2; a); $\overrightarrow{u_2}$(a; 1; 2)

Để hai đường thẳng sau vuông góc thì

$\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}$ = -1.a + 2.1 + a.2 = 0 ⇔ a + 2 = 0 ⇔ a = -2

Câu 8: Vị trí tương đối của đường thẳng d: x = 1 + 2t, y = 1 - t, z = 1 - t và mặt phẳng (P): x + y + z - 3 = 0 là?

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A( 1 ; 1 ;1) ; có một vecto chỉ phương là ( 2 ; -1 ; -1)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}$ = 2.1 + (-1).1 + (-1).1 = 0 và A ∈ (P)

Suy ra, đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P).

Câu 9: Vị trí tương đối của đường thẳng d: x = 2 + 4t, y = 3 + t, z = -5t và mặt phẳng (P): x + y + z - 3 = 0 là?

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M(2 ;3 ;0) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{ud}$ = (4; 1; -5), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{uP}$ = (1; 1; 1). Ta có :

Suy ra đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

Câu 10: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(2;1;-3) và vuông góc với hai đường thẳng:

Lời giải:

Mặt khác d đi qua điểm M(2 ;1 ;-3).

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

x = 2 + t, y = 1 - 9t, z = -3 - 3t

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-2; -2; -4), M(1; 0; 0) . Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, nằm trong mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0 sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất

Bài 2 Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(-2;3;1), vuông góc với trục Ox, đông thời d song song với mặt phẳng: (P): x + 2y - 3z = 0

Bài 3 Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(0;1;-1), nằm trong mặt phẳng (P): x + 2y + z - 1 = 0 và vuông góc với đường thẳng

Bài 4 Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau: (P): x + 2y - z + 1 = 0, (Q): x + y + 2z + 3 = 0

Bài 5 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P): x + y - z + 3 = 0, (Q): 2x - y + 6z - 2 = 0. phương trình chính tắc của đường thẳng d là?

Bài 6 Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(0;1;-1), vuông góc và cắt đường thẳng Δ: x = 1 - 4t, y = t, z = -1 + 4t

Bài 7 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(8; 4; -5) và mặt phẳng 2x + 2y - z + 1 = 0 . Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho AM² + BM² đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 8 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là: (x + 1)² + (y - 4)² + (z + 3)² = 36 . Số mặt phẳng (P) chứa trục Ox và tiếp xúc với mặt cầu (S) là?

Bài 9 Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 1 + at và mặt phẳng (P): 2x + y + z + b = 0 . Tìm a và b để đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)

Bài 10 Trong không gian Oxyz, tọa độ của hình chiếu vuông góc của điểm M(5;2;3) trên mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 1 = 0 là?

Xem thêm các bài Bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hệ tọa độ trong không gian

Bài tập Phương trình mặt phẳng

Bài tập Ôn tập Chương 3

Bài tập Khái niệm về mặt tròn xoay

Bài tập Mặt cầu