50 Bài tập Mặt cầu Toán 12 mới nhất
Với 50 Bài tập Mặt cầu Toán lớp 12 mới nhất được biên soạn bám sát chương trình Toán 12 giúp các bạn học tốt môn Toán hơn.
Tài liệu gồm: 15 bài tập trắc nghiệm, 15 bài tập tự luận có lời giải và 20 bài tập vận dụng. Mời các bạn đón xem:
Bài tập Mặt cầu - Toán 12
I. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là:
Ta có:
Ta nhận thấy tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương chính là tâm của hình lập phương đó. Do đó I chính là trung điểm của AC’ và mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính là
Đáp án đúng là C.
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Câu 3: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S,ABC , biết các cạnh đáy có độ dài bằng a , cạnh bên SA = a .
Câu 4: Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' .
Gọi G, G; lần lượt là tâm của hai đáy ABC và A'B'C' .
Ta có GG' chính là trục của các tam giác ABC và A'B'C' .
Gọi O là trung điểm của GG' thì O cách đều 6 đỉnh của hình lăng trụ
nên là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. Bán kính mặt cầu là R = OA .
Xét tam giác OAG vuông tại G , ta có:
Câu 5: Cho mặt cầu tâm O bán kính R và điểm A bất kì trong không gian. Điểm A không nằm ngoài mặt cầu khi và chỉ khi:
A. OA = R B. OA ≤ R C. OA < R D. OA > R
Đáp án đúng là B.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuôg cân đỉnh B và BC = a, SA ⊥ (ABC), SA = 2a. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Điểm S nằm trong mặt cầu tâm A bán kính a
B. Điểm S nằm ngoài mặt cầu tâm A bán kính 2a
C. Điểm C nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 2a
D. Cả ba điểm S, B, C cùng nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 2a.
Từ giả thiết ta có: SA = 2a; AB = a và AC = a .
Đáp án đúng là C.
Câu 7: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P). Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) có nhiều hơn một điểm chung với mặt cầu (S) nếu :
A. h ≤ R
B. h ≥ R
C. h > R
D. h < R
Từ vị trí tương đối của một mặt phẳng với mặt cầu ta có đáp án đúng là D.
Câu 8: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một đường thẳng d. Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến đường thẳng d. Đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) nếu và chỉ nếu:
A. h ≤ R
B. h = R
C. h > R
D. h < R
Từ vị trí tương đối của một đường thẳng và mặt cầu ta có đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) khi và chỉ khi đường thẳng d tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu (S).
Đáp án đúng là A.
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) theo a là:
A. 2a
B. a
C.
D.
Ta có mặt cầu S(A;r) tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) khi và chỉ khi r = d(A; (SBC)) .
Hạ AH ⊥ SB tại H. Do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB) , suy ra BC ⊥ AH .
Mặt khác AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) hay d(A; (SBC)) = AH Xét tam giác vuông SAB ta có:
Đáp án đúng là D.
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a. SA vuông góc với đáy, góc giữa cạnh bên SB và đáy là 45o . Bán kính mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a là:
Ta có mặt cầu S(A;r) cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a khi và chỉ khi ta có
Ta có:
Hạ AK ⊥ BD tại K, hạ AH ⊥ SK tại H. Do BD ⊥ AK và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAK) , suy ra BD ⊥ AH. Mặt khác AH ⊥ SK nên ta có AH ⊥ (SBDB) hay d(A; (SBD)) = AH. Xét tam giác vuông SAK và tam giác vuông ABD ta có:
Khi đó ta có:
Đáp án đúng là C.
II. Bài tập tự luận có lời giải
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với SC theo a là :
Lời giải:
Ta có mặt cầu S(A ;r) tiếp xúc với đường thẳng SC khi và chỉ khi ta có r = d(A; SC).
Xét tam giác vuông ABC ta có AC = a . Hạ AH ⊥ SC tại H. Xét tam giác vuông SAC ta có :
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA = AB = 2AD = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu tâm B cắt SC theo một dây có độ dài 2a là?
Lời giải:
Do (SAB) ⊥ (ABCD) và (SAD) ⊥ (ABCD) ta có SA ⊥ (ABCD). Theo định lí ba đường vuông góc ta có BC ⊥ SB .
Hạ BH ⊥ SC tại H. Xét tam giác vuông SBC ta có:
Ta có mặt cầu S(B;r) cắt đường thẳng SC theo một dây cung có độ dài 2a khi và chỉ khi ta có
Câu 3: Cho hai quả cầu cùng bán kính là 5cm. Để đựng hai quả cầu Nam phải làm một hình hộp chữ nhật từ bìa carton. Hỏi trong các đáp án dưới đây, Nam cần ít nhất bao nhiêu xen-ti-mét vuông bìa carton để làm được chiếc hộp đó?
Lời giải:
Hình hộp chữ nhật đựng được hai quả cầu bán kính 5cm thì độ dài các cạnh ít nhất là 10cm, 10cm, 20cm. Khi đó ta có: Stp = 2 x 102 + 4 x 10 x 20 = 1000(cm2) .
Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp có đáy là một tứ giác nội tiếp được đường tròn.
-Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là hình chóp tam giác
-Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó có các cạnh bên bằng nhau.
-Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu có cạnh bên vuông góc với đáy.
Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp đó có đáy là một đa giác nội tiếp được đường tròn nên mệnh đề A và B đúng. Hình chps có các cạnh bên bằng nhau có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy nên hình chóp đó có đáy nội tiếp được đường tròn
Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu đáy của nó là hình vuông
-Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là lăng trụ đứng
- Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn
- Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là lăng trụ đứng tam giác.
Đáp án đúng là 4
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
Lời giải:
Theo định lí ba đường vuông góc ta có tam giác SBC, SDC lần lượt vuông tại B, D. Gọi I là trung điểm của SC. Từ các tam giác SAC, SBC, SDC vuông ta có:
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu là
Câu 7: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = a và góc giữa A’B và mặt phẳng (ABC) là 60o . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là :
Lời giải:
Trong tam giác vuông ABC ta có
=> AA' = AB.tan60o = a
Gọi I là tâm của hình chữ nhật BCC’B’ và M là trung điểm của BC. Do tam giác ABC vuông tại A nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và do đó IM là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy ABC và I cách đều B, B’ nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Khi đó ta có :
Câu 8: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
Lời giải:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
Gọi H là tâm đáy
thì SH là trục của hình vuông .
Gọi M là trung điểm của ABCD .
Trong mp (SDH) kẻ trung trực của đoạn SD cắt SH tại O
Thì OS = OA = OC = OD
Nên O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
Bán kính mặt cầu là R = SO .
Ta có :
Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A và AB = SB = a , SB vuông góc với mặt phẳng (ABC). Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng SC và AB là?
Lời giải:
Mặt cầu S(I,r) tiếp xúc với AB, SC lần lượt tại T, K. Khi đó ta có:
2r = IT + IK ≥ d(AB; SC) => r ≥
Dựng hình bình hành ABDC, khi đó ta có ABDC là hình vuông cạnh a. Hạ BH vuông góc với SD tại H. Khi đó ta có BH ⊥ (SCD).
Suy ra: d(SC; AB) = d(AB, (SCD)) = d(B; (SCD))
Câu 10: Cho đường thẳng a và điểm A cách đường thẳng a một khoảng bằng 4cm. Trong các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng a, mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất thì diện tích đó bằng?
Lời giải:
Gọi S(I ;r) là mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với a.
Ta có diện tích của mặt cầu là : S = 4πr3 nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi r đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi tiếp điểm của đường thẳng a và mặt cầu là H và hình chiếu vuông góc hạ từ A lên đường thẳng A là A’. Khi đó ta có :
2r = IA + IH ≥ AH ≥ AA' => r ≥ = 2(cm)
Vậy r đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2cm khi I là trung điểm của AA’.
Khi đó mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất là S = 4π22 = 16π(cm2).
III. Bài tập vận dụng
Bài 1 Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P). Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có điểm chung nếu và chỉ nếu?
Bài 2 Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O cách Δ một khoảng bằng 20cm. Mặt cầu (S) tâm O cắt đường thẳng Δ theo một dây có độ dài 30cm có bán kính r bằng?
Bài 3 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA tạo với đáy một góc bằng 30o và SA=2a. Trong các điểm S, B, C điểm nào nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 3a.
Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, SAB là tam giác đều. Bán kính mặt cầu tâm A cắt SB theo một dây có độ dài a là?
Bài 5 Cho đường tròn (C) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a, chiều cao AH. Quay đường tròn (C) xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng là?
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a và = 30° . Quay tam giác vuông này quanh trục AB , ta được một hình nón đỉnh B . Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình nón
Bài 7 đó và S2 là diện tích mặt cầu có đường kính AB . Khi đó, tỉ số 
là?
Bài 8 Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh a.
Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2AD = 2a, SA vuông góc với đáy, SA = a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là?
Bài 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
Xem thêm các bài Bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:
Bài tập Khái niệm về mặt tròn xoay
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12 (sách mới)
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12 (sách mới) | Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12 (sách mới) | Giải bài tập GDQP 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12