50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2025) và cách giải

Với cách giải Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức môn Toán lớp 8 Đại số gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức. Mời các bạn đón xem:

1 21,147 17/02/2025

Tải về

Trang trước

Trang sau

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức và cách giải bài tập

I. Lý thuyết

Cho biểu thức f(x, y,..)

- M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y,..) nếu M thỏa mãn hai điều kiện sau

+ Với mọi x, y,... thỏa mãn điều kiện xác định thì f(x,y,…) $\leq$ M

+ Tồn tại $x_{0}; y_{0} ...$ sao cho $f (x_{0}; y_{0},..) = M$

- m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x, y,..) nếu m thỏa mãn hai điều kiện sau

+ Với mọi x, y,... thỏa mãn điều kiện xác định thì f(x,y,…) $\geq$ m

+ Tồn tại $x_{0}; y_{0} ...$ sao cho $f (x_{0}; y_{0},..) = m$

Chú ý:

Với hai số a, b cùng dấu a > b $\Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

$a^{2} + m \geq m$ với mọi m

$a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ với mọi a, b.

II. Bài tập vận dụng

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức

Phương pháp giải: Cho phân thức $\frac{A (x)}{B (x)}$ với $B (x) \neq 0$

Bước 1: Đánh giá tử thức và mẫu thức để tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất ở cả tử và mẫu.

Bước 2: Đánh giá phân thức sao cho $\frac{A (x)}{B (x)} \leq M$

Bước 3: Dùng giá trị M vừa tìm được để giải ra x thỏa mãn.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

a) $A = \frac{3}{x^{2} + 6 x + 13}$

b) $B = \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} + 1}$

Lời giải:

a) Điều kiện xác định:

$x^{2} + 6 x + 13 = x^{2} + 6 x + 9 + 4 = {(x + 3)}^{2} + 4$

Vì ${(x + 3)}^{2} \geq 0$ nên ${(x + 3)}^{2} + 4 \geq 4$

A xác định với mọi x

$A = \frac{3}{x^{2} + 6 x + 13}$

$\Leftrightarrow A = \frac{3}{x^{2} + 6 x + 9 + 4}$

$\Leftrightarrow A = \frac{3}{{(x + 3)}^{2} + 4}$

Ta có:

${(x + 3)}^{2} \geq 0$

$\Rightarrow {(x + 3)}^{2} + 4 \geq 0 + 4 = 4$

$\Rightarrow \frac{3}{{(x + 3)}^{2} + 4} \leq \frac{3}{4}$

$\Rightarrow A \leq \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3$

Vậy Amax = $\frac{3}{4}$ khi x = -3

b) Điều kiện xác định:

Vì $x^{2} \geq 0$ nên $x^{2} + 1 \geq 1$

B xác định với mọi x

$B = \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} + 1}$

$\Leftrightarrow B = \frac{4 x^{2} + 4 - x^{2} - 2 x - 1}{x^{2} + 1}$

$\Leftrightarrow B = \frac{4 (x^{2} + 1) - (x^{2} + 2 x + 1)}{x^{2} + 1}$

$\Leftrightarrow B = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + 1}$

$\Leftrightarrow B = 4 - \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Ta có:

$x^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ và ${(x + 1)}^{2} \geq 0$

$\Rightarrow \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} + 1} \geq 0$

$B = 4 - \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} + 1} \leq 4 - 0 = 4$

Dấu “=” xảy ra khi $x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$

Vậy Bmax = 4 khi x = -1

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của $C = \frac{x}{x^{2} + 20 x + 100}$ với $x \neq - 10$

Lời giải:

$C = \frac{x}{x^{2} + 20 x + 100}$

$\Leftrightarrow C = \frac{x}{{(x + 10)}^{2}}$

Đặt $y = \frac{1}{x + 10} \Rightarrow x = \frac{1}{y} - 10$ thay vào C ta được

$\Rightarrow C = \frac{\frac{1}{y} - 10}{{(\frac{1}{y} - 10 + 10)}^{2}}$

$\Leftrightarrow C = \frac{\frac{1 - 10 y}{y}}{\frac{1}{y^{2}}}$

$\Leftrightarrow C = \frac{1 - 10 y}{y} : \frac{1}{y^{2}}$

$\Leftrightarrow C = \frac{1 - 10 y}{y} . y^{2}$

$\Leftrightarrow C = (1 - 10 y) y = - 10 y^{2} + y$

$\Leftrightarrow C = - 10 (y^{2} - \frac{1}{10} y)$

$\Leftrightarrow C = - 10 [y^{2} - 2. y . \frac{1}{20} + {(\frac{1}{20})}^{2} - {(\frac{1}{20})}^{2}]$

$\Leftrightarrow C = - 10 [{(y - \frac{1}{20})}^{2} - \frac{1}{400}]$

$\Leftrightarrow C = - 10 {(y - \frac{1}{20})}^{2} + \frac{1}{40}$

Ta có:

${(y - \frac{1}{20})}^{2} \geq 0$ với mọi y thỏa mãn điều kiện

$\Rightarrow - 10 {(y - \frac{1}{20})}^{2} \leq 0$

$\Rightarrow - 10 {(y - \frac{1}{20})}^{2} + \frac{1}{40} \leq 0 + \frac{1}{40} = \frac{1}{40}$

$\Rightarrow C \leq \frac{1}{40}$

Dấu “=” xảy ra khi $y - \frac{1}{20}$ = 0

$\Rightarrow y = \frac{1}{20} \Rightarrow x = \frac{1}{y} - 10 = \frac{1}{\frac{1}{20}} - 10 = 10$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy Cmax = $\frac{1}{40}$ khi x = 10

Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

Phương pháp giải: Cho phân thức $\frac{A (x)}{B (x)}$ với $B (x) \neq 0$

Bước 1: Đánh giá tử thức và mẫu thức để tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất ở cả tử và mẫu.

Bước 2: Đánh giá phân thức sao cho $\frac{A (x)}{B (x)} \geq m$

Bước 3: Dùng giá trị m vừa tìm được để giải ra x thỏa mãn

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau: $A= \frac{4 x^{2} + 4 x + 4}{4 {(x + 1)}^{2}}$

Lời giải:

Điều kiện: $x \neq - 1$

$A= \frac{4 x^{2} + 4 x + 4}{4 {(x + 1)}^{2}}$

$\Leftrightarrow A = \frac{3 x^{2} + 6 x + 3 + x^{2} - 2 x + 1}{4 {(x + 1)}^{2}}$

$\Leftrightarrow A = \frac{3 (x^{2} + 2 x + 1) + (x^{2} - 2 x + 1)}{4 {(x + 1)}^{2}}$

$\Leftrightarrow A = \frac{3 {(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{4 {(x + 1)}^{2}}$

$\Leftrightarrow A = \frac{3 {(x + 1)}^{2}}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{4 {(x + 1)}^{2}}$

$\Leftrightarrow A = \frac{3}{4} + {(\frac{x - 1}{2 (x + 1)})}^{2}$

$\Leftrightarrow A = \frac{3}{4} + {(\frac{x - 1}{2 x + 2})}^{2}$

Ta có: ${(\frac{x - 1}{2 x + 2})}^{2} \geq 0$

$\Rightarrow A = \frac{3}{4} + {(\frac{x - 1}{2 x + 2})}^{2} \geq \frac{3}{4}$

$\Rightarrow A \geq \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow {(\frac{x - 1}{2 x + 2})}^{2} = 0$

$\Rightarrow \frac{x - 1}{2 x + 2}$ $\Leftrightarrow x - 1 = 0$ $\Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy Amin = $\frac{3}{4}$ khi x = 1

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

$B = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ với $x \neq - y; x \neq 0; y \neq 0$ .

Lời giải:

$B = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

$\Leftrightarrow B = \frac{2 (x^{2} + y^{2})}{2 (x^{2} + 2 x y + y^{2})}$

$\Leftrightarrow B = \frac{2 x^{2} + 2 y^{2}}{2 {(x + y)}^{2}}$

$\Leftrightarrow B = \frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x^{2} - 2 x y + y^{2}}{2 {(x + y)}^{2}}$

$\Leftrightarrow B = \frac{{(x + y)}^{2} + {(x - y)}^{2}}{2 {(x + y)}^{2}}$

$\Leftrightarrow B = \frac{{(x + y)}^{2}}{2 {(x + y)}^{2}} + \frac{{(x - y)}^{2}}{2 {(x + y)}^{2}}$

$\Leftrightarrow B = \frac{1}{2} + {[\frac{x - y}{\sqrt{2} (x + y)}]}^{2}$

$\Leftrightarrow B = \frac{1}{2} + {(\frac{x - y}{\sqrt{2} x + \sqrt{2} y})}^{2}$

Ta có:

${(\frac{x - y}{\sqrt{2} x + \sqrt{2} y})}^{2} \geq 0$

$\Rightarrow B = \frac{1}{2} + {(\frac{x - y}{\sqrt{2} x + \sqrt{2} y})}^{2} \geq \frac{1}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow {(\frac{x - y}{\sqrt{2} x + \sqrt{2} y})}^{2} = 0$

$\Rightarrow \frac{x - y}{\sqrt{2} x + \sqrt{2} y} = 0$

$\Leftrightarrow x - y = 0$ $\Leftrightarrow x = y$

Vậy Bmin = $\frac{1}{2}$ khi x = y và x; y thỏa mãn điều kiện.

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

$C = \frac{- 6}{x^{2} + 2 x + 9}$ .

Lời giải:

Điều kiện:

$x^{2} + 2 x + 9 = x^{2} + 2 x + 1 + 8 = {(x + 1)}^{2} + 8$

Vì ${(x + 1)}^{2} \geq 0$ nên ${(x + 1)}^{2} + 8 \geq 8$

C xác định với mọi x

$C = \frac{- 6}{x^{2} + 2 x + 9}$

$\Leftrightarrow C = \frac{- 6}{x^{2} + 2 x + 1 + 8}$

$\Leftrightarrow C = \frac{- 6}{{(x + 1)}^{2} + 8}$

Ta có:

${(x + 1)}^{2} \geq 0$

$\Rightarrow {(x + 1)}^{2} + 8 \geq 8$

$\Rightarrow \frac{1}{{(x + 1)}^{2} + 8} \leq \frac{1}{8}$

$\Rightarrow \frac{- 6}{{(x + 1)}^{2} + 8} \geq \frac{- 6}{8}$

$\Leftrightarrow \frac{- 6}{{(x + 1)}^{2} + 8} \geq \frac{- 3}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} = 0$

$\Rightarrow x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow x = - 1$

Vậy Cmin = $\frac{- 3}{4}$ khi x = -1.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức sau: $A = \frac{5}{2 x^{2} + 3 x + 10}$ .

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức: $B = \frac{- 3}{x^{2} + 5 x + 10}$ .

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau: $A = \frac{3 x^{2} - 8 x + 6}{x^{2} - 2 x + 1}$ với $x \neq 1$ .

Bài 4: Tìm gá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức: $M = \frac{3 - 4 x}{x^{2} + 1}$ .

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $N = \frac{5 x^{2} - 4 x + 4}{x^{2}}$ với $x \neq 0$ .

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $E = \frac{3 x^{2} + 4 x}{x^{2} + 1}$ .

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất $P = \frac{2017}{x^{2} - 6 x + 20}$ .

Bài 8: Cho biểu thức $Q = \frac{x^{2}}{x - 8} (\frac{x^{2} + 64}{x} - 16) + 19$ với $x \neq 0; x \neq 8$

Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.

Bài 9: Cho biểu thức $B = \frac{{(x + 2)}^{2}}{x} (1 - \frac{x^{2}}{x + 2}) - \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x}$

a) Tìm điều kiện xác định của B.

b) Rút gọn B.

c) Tìm x để B đạt giá trị lớn nhất.

Bài 10: Cho biểu thức $D = \frac{{(x + 2)}^{2}}{x} . (1 - \frac{x^{2}}{x + 2}) - \frac{x^{2} + 10 x + 4}{x}$ với $x \neq - 2; x \neq 0$

Tìm giá tri lớn nhất của Q.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Mở đầu về phương trình và cách giải bài tập

Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải bài tập

Giải bài toán bằng cách lập phương trình và cách giải

Tính giá trị của phân thức và cách giải bài tập

Tìm x để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước và cách giải bài tập

1 21,147 17/02/2025

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3