50 bài tập về diện tích tam giác (có đáp án 2024) – Toán 8

Với cách giải Diện tích tam giác môn Toán lớp 8 Hình học gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Diện tích tam giác. Mời các bạn đón xem:

1 850 lượt xem
Tải về


Diện tích tam giác và cách giải bài tập - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

+ Tam giác thường:

Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao tương ứng.

Tài liệu VietJack

S = 12a.ha (đơn vị diện tích)

Với a là độ dài cạnh BC;ha là độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC.

+ Tam giác vuông

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông

Tài liệu VietJack

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c; AC = b

Diện tích tam giác vuông ABC: S = 12bc (đơn vị diện tích).

Chú ý:

- Nếu hai tam giác có một cạnh bằng nhau thì tỉ số diện tích hai tam giác đó bằng tỉ số hai đường cao tương ứng với hai cạnh đó.

- Nếu hai tam giác có một đường cao bằng nhau thì tỉ số diện tích hai tam giác đó bằng tỉ số các cạnh tương ứng.

II. Dạng bài tập

Dạng 1: Tính diện tích tam giác và chứng minh hệ thức về diện tích tam giác

Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác

+ Đối với tam giác thường.

S = 12a.ha (đơn vị diện tích)

Với a là độ dài cạnh; là độ dài đường cao tương ứng.

+ Đối với tam giác vuông

S = 12bc (đơn vị diện tích)

Với b, c là độ dài hai cạnh góc vuông.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM. Chứng minh .

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Ta có: M là trung điểm của BC nên BM = CM

Kẻ AH BC tại H

Xét tam giác ABM có: AH BC AH BM nên AH là đường cao của tam giác ABM.

Diện tích tam giác ABM là

SAMB=12AH.BM(đơn vị diện tích) (1)

Xét tam giác AMC có: AH BC AHCM nên AH là đường cao của tam giác ACM.

SAMC=12AH.CM(2)

Từ (1) và (2) kết hợp với BM = CM SAMB = SAMC

Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác cân có độ dài cạnh bên là a độ dài cạnh đáy là b theo a, b.

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Giả sử tam giác cân cần tính diện tích là tam giác ABC cân tại A với AB = AC = a; BC = b

Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Vì tam giác ABC cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên H là trung điểm của BC

BH = CH = 12BC = 12b

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

AB2=AH2+BH2(định lý Py – ta – go)

a2=AH2+b22

AH2=a2b24

AH=a2b24=4a2b24=4a2b22

Diện tích tam giác ABC là

S=12AH.BC=124a2b22.b=b4a2b24

Dạng 2: Sử dụng công thức diện tính tích tam giác để tính độ dài các đoạn thẳng, chứng minh hệ thức hình học

Phương pháp giải:

+ Từ công thức S=12ah ta suy ra công thức h=2Saa=2Sh

a, h là độ dài đáy và chiều cao tương ứng.

+ Phát hiện quan hệ diện tích trong hình rồi sử dụng các công thức trên.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Có BC = 60cm. Đường cao AH = 40cm. Tính các đường cao BE và CF của tam giác.

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A nên AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến trong tam giác nên H là trung điểm BC

BH=CH=BC2=602=30cm

Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:

AB2=AH2+BH2(định lý Py – ta – go)

AB2=402+302

AB2=1600+900

AB2=2500

AB=50cm

Mà tam giác ABC là tam giác cân

AB=AC=50cm

Diện tích tam giác ABC là

SABC=12AH.BC=1240.60=1200cm2

Lại có: SABC=12BE.AC=12BE.50=1200cm2

Tính toán tương tự CF=48cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn. Đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

Chứng minh HDAD+HEBE+HFCF=1 .

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Diện tích tam giác ABC là

SABC=12AD.BC=12BE.AC=12CF.AB

Diện tích tam giác BHC là: SBHC=12HD.BC

Diện tích tam giác AHC là: SAHC=12HE.AC

Diện tích tam giác AHB là: SAHB=12HF.AB

Tỉ số diện tích của tam giác BHC và tam giác ABC là:

SBHCSABC=12HD.BC12AD.BC=HDAD (1)

Tỉ số diện tích của tam giác AHC và tam giác ABC là:

SAHCSABC=12HE.AC12BE.AC=HEBE (2)

Tỉ số diện tích của tam giác AHB và tam giác ABC là:

SAHBSABC=12HF.AB12CF.AB=HFCF (3)

Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta được:

SBHCSABC+SAHCSABC+SAHBSABC=HDAD+HEBE+HFCF

HDAD+HEBE+HFCF=SBHC+SAHC+SAHBSABC

HDAD+HEBE+HFCF=SABCSABC=1

Dạng 3: Tìm diện tích lớn nhất, nhỏ nhất của một hình

Phương pháp giải: Để tìm diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của một hình ta có thể liên hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.

Chú ý:

+ Nếu diện tích của một hình luôn lớn hơn hoặc bằng một số m và tồn tại vị trí của hình để diện tích bằng m thì m là diện tích nhỏ nhất của hình.

+ Nếu diện tích của một hình luôn nhỏ hơn hoặc bằng một số M và tồn tại vị trí của hình để diện tích bằng M thì M là diện tích lớn nhất của hình.

Ví dụ 1: Tìm diện tích lớn nhất của tam giác ABC biết AB = 3cm, BC = 4cm.

Tài liệu VietJack

Vẽ AH vuông góc với BC tại H

Theo quan hệ đường vuông góc và đường xiên ta có:

AHAB

Khi đó diện tích tam giác ABC là

SABC=12AH.BC12AB.BC

SABC lớn nhất khi SABC=12AB.BC

Dấu “=” xảy ra khi AH AB hay HB, tam giác ABC vuông tại B

Diện tích lớn nhất của tam giác ABC là:

SABC=12AB.BC=123.4=6cm2

Ví dụ 2: Tính diện tích lớn nhất của tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = a.

Lời giải:

Tài liệu VietJack

Đặt AC = b; AB = c

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

a2=b2+c2(định lý Py – ta – go)

Áp dụng bất đẳng thức cho hai số b, c ta có:

bcb2+c22

Diện tích tam giác ABC là:

SABC=12bc12.b2+c22=b2+c24

SABCb2+c24

SABCa24

Dấu “=” xảy ra b = c

ΔABC vuông cân tại A

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABC là a24 khi tam giác ABC là tam giác vuông cân.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm G . Chứng minh:

a) SAGP=SPGB=SBGM=SMGC=SCGN=SNGA .

b) Các tam giác GAB; GBC và GCA có diện tích bằng nhau.

Bài 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC = 60cm, đường cao AH; AH = 40cm. Gọi D và E theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Tính diện tích tứ giác BDEC.

Bài 3: Tính diện tích tam giác đều có cạnh bằng a.

Bài 4: Cho tam giác ABC. Hãy chỉ ra vị trí điểm M trong tam giác sao cho SMAB+SMAC=SMBC .

Bài 5: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh:

a)SBMN=14SABC

b)SMNPQ=12SABCD

Bài 6: Cho tam giác ABC có diện tích 30 cm2 . G là trọng tâm tam giác. Tính diện tích tam giác BCG.

Bài 7: Cho tam gác ABC có AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Tính độ dài đường cao BK.

Bài 8: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Cho biết BC = 10cm, BD = 9cm, CE = 12cm.

a) Chứng minh BD vuông góc với CE

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 9: Cho tam giác ABC có BC = 6cm. Lấy M trên cạnh AC sao cho AM=13AC . Xác định vị trí điểm N trên BC sao cho MN chia tam giác ABC thành hai phần thỏa mãn tứ giác AMNB có diện tích gấp ba lần diện tích MNC.

Bài 10: Các hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 10cm. Hình nào có diện tích lớn nhất.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Diện tích hình thang và cách giải bài tập

Diện tích hình thoi và cách giải bài tập

Diện tích đa giác và cách giải bài tập

Đa giác, Đa giác lồi, Đa giác đều và cách giải bài tập

Diện tích hình chữ nhật và cách giải bài tập

1 850 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: