50 bài toán về ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay (có đáp án 2024) – Toán 12

Ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay và cách giải - Toán lớp 12

A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Tính thể tích của vật thể.

Cho H là một vật thể nằm giới hạn giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a và x = b (a < b). Gọi S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x ($a\le x\le b$ ). Giả sử S(x) là một hàm liên tục trên [a; b].

Khi đó thể tích V của H là $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$. (hình dưới)

2. Tính thể tích khối tròn xoay.

Bài toán 1. Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox

Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường y = f(x); y = 0; x = a; x = b quanh trục Ox được tính theo công thức

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x$

Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x) và hai đường x = a; x = b (với $f\left(x\right).g\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left[a;b\right]$) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox được tính bởi công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|\text{d}x$.

Bài toán 2. Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Oy

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường x = g(y) , trục tung và hai đường y = a; y = b quanh trục Oy được tính theo công thức $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{g}^2\left(y\right)\text{d}y$

- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn $\left[a,b\right]\left(a\ge 0\right)$. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục tung tạo nên một khối xoay. Thể tích V của khối tròn xoay đó là $V=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}xf\left(x\right)dx$

Chú ý: Khi bài toán không cho hai đường thẳng giới hạn x = a và x = b thì ta giải phương trình f(x) = g(x) để tìm cận của tích phân, trong đó x = a là nghiệm nhỏ nhất và x = b là nghiệm lớn nhất của phương trình.

B. VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1. Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=\pi$ (hình vẽ) quanh trục Ox là

A. $\frac{\pi }{2}$ (đvtt)

B. $\frac{{\pi }^2}{2}$ (đvtt)

C. $\pi$ (đvtt)

D. ${\pi }^2$ (đvtt)

Lời giải

Áp dụng công thức ở định lý trên ta có

$$\begin{gathered} V=\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left(1-\cos 2x\right)dx \\ ={\left.\frac{\pi }{2}\left(x-\frac{1}{2}\sin 2x\right)\right|}_0^{\pi } \\ =\frac{\pi }{2}\left(\pi -\frac{1}{2}\sin 2\pi \right)-\frac{\pi }{2}\left(0-\frac{1}{2}\sin 0\right) \\ =\frac{{\pi }^2}{2} \end{gathered}$$

Chọn B.

Ví dụ 2. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{A^2-x^2}$ và trục hoành quanh trục hoành.

Lời giải

Ta thấy:

$$\begin{gathered} y=\sqrt{A^2-x^2}\iff y^2=A^2-x^2 \\ \iff x^2+y^2=A^2 \end{gathered}$$

Do $\sqrt{A^2-x^2}\ge 0$ với mọi x, do vậy đây là phương trình nửa đường tròn tâm O, bán kính R = A nằm phía trên trục Ox. Khi quay quanh trục Ox thì hình phẳng sẽ tạo nên một khối cầu tâm O, bán kính R = A (hình vẽ). Do vậy ta có luôn $V=\frac{4}{3}.\pi .A^3$

Vậy với bài toán dạng này, ta không cần viết công thức tích phân mà kết luận luôn theo công thức tính thể tích khối cầu.

Ví dụ 3. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=x^2;x=0;x=2$. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục Ox.

A. $V=\frac{8}{3}.$

B. $V=\frac{32}{5}.$

C. $V=\frac{8\pi }{3}.$

D. $V=\frac{32\pi }{5}.$

Lời giải

Thể tích cần tính là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{4}dx=\pi .{\left.\frac{x^5}{5}\right|}_0^2=\frac{32\pi }{5}.$

Chọn D.

Ví dụ 4. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường $x=-y^2+5;x=3-y$ quay quanh Oy.

A. $V=\frac{153}{3}\pi .$

B. $V=\frac{9}{2}\pi .$

C. $V=\frac{81}{10}\pi .$

D. $V=\frac{153}{5}\pi .$

Lời giải:

Chọn D.

Ví dụ 5. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 1, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x\left(0\le x\le 1\right)$ là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và $\ln \left(x^2+1\right)$.

A. $\ln 2-1.$

B. $\frac{1}{2}\left(\ln 2-1\right).$

C. $\ln 2-\frac{1}{2}.$

D. $\frac{1}{2}\ln 2-1.$

Lời giải:

Do thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích thiết diện là:

$S\left(x\right)=x\ln \left(x^2+1\right)$

Ta có thể tích cần tính là

Chọn C.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) xung quanh trục Ox.

A. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x.$

B. $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x.$

C. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x.$

D. $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x.$

Câu 2. Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm x = a, x = b (a < b), có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x\left(a\le x\le b\right)$ là S(x).

A. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)\text{d}x.$

B. $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|S\left(x\right)\right|\text{d}x.$

C. $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)\text{d}x.$

D. $V={\pi }^2\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)\text{d}x.$

Câu 3. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{2+\cos x}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0,x=\frac{\pi }{2}$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?

A. $V=\pi -1$

B. $V=(\pi -1)\pi$

C. $V=(\pi +1)\pi$

D. $V=\pi +1$

Câu 4. Hình phẳng C giới hạn bởi các đường $y=x^2+1$, trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^2+1$ tại điểm (1; 2), khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng:

A. $V=\frac{4}{5}\pi .$

B. $V=\frac{28}{15}\pi .$

C. $V=\frac{8}{15}\pi .$

D. $V=\pi .$

Câu 5. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=e^x$, trục hoành và các đường thẳng x = 0; x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?

A. $V=\frac{\pi e^2}{2}$

B. $V=\frac{\pi (e^2+1)}{2}$

C. $V=\frac{e^2-1}{2}$

D. $V=\frac{\pi (e^2-1)}{2}$

Câu 6. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=2x-x^2$ và y = x khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng:

A. $V=\frac{\pi }{3}.$

B. $V=\frac{\pi }{4}.$

C. $V=\frac{\pi }{5}.$

D. $V=\pi .$

Câu 7. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các parabol $y=4-x^2$ và $y=2+x^2$ quay quanh trục Ox là kết quả nào sau đây?

A. $V=10\pi .$

B. $V=12\pi .$

C. $V=14\pi .$

D. $V=16\pi .$

Câu 8. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường $4y=x^2$, $y=x$ qua quanh trục hoành bằng bao nhiêu?

A. $V=\frac{124\pi }{15}.$

B. $V=\frac{126\pi }{15}.$

C. $V=\frac{128\pi }{15}.$

D. $V=\frac{131\pi }{15}.$

Câu 9. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, $y=-x$ và x = 4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành nhận giá trị nào sau đây:

A. $V=\frac{41\pi }{3}.$

B. $V=\frac{40\pi }{3}.$

C. $V=\frac{38\pi }{3}.$

D. $V=\frac{41\pi }{2}.$

Câu 10. Thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi (C): y = lnx, trục Ox và đường thẳng x = e là:

A. $V=\pi \left(e-2\right).$

B. $V=\pi \left(e-1\right).$

C. $V=\pi e.$

D. $V=\pi \left(e+1\right).$

Câu 11. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, y = - x + 2, y = 0 quay quanh trục Oy, có giá trị là kết quả nào sau đây?

A. $V=\frac{1}{3}\pi .$

B. $V=\frac{3}{2}\pi .$

C. $V=\frac{32}{15}\pi .$

D. $V=\frac{11}{6}\pi .$

Câu 12. Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^4-1$ và trục Ox quanh trục Ox.

A. $\frac{21}{5}\pi .$

B. $6\pi .$

C. $\frac{64}{15}\pi .$

D. $\frac{10}{3}\pi .$

Câu 13. Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x+1}$,đường thẳng x =1 và trục Ox quanh trục Ox.

A. $\frac{1}{2}\pi$

B. $\pi$

C. $3\pi$

D. $2\pi$

Câu 14. Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{4-x}$, đường thẳng x =2 và trục Ox quanh trục Ox.

A. $\pi$

B. $2\pi$

C. $3\pi$

D. $4\pi$

Câu 15. Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x}$, đường thẳng x = 1, đường thẳng x = 3 và trục Ox quanh trục Ox.

A. $\frac{1}{2}\pi$

B. $\pi \sqrt{3}$

C. $\pi$

D. $\frac{2}{3}\pi$

Câu 16. Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2+1$, đường thẳng x = 0, đường thẳng x = 3 và trục Ox quanh trục Ox.

A. $\frac{348}{5}\pi$

B. $\frac{28}{15}\pi$

C. $\frac{206}{15}\pi$

D. $2\pi$

Câu 17. Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3+2$, đường thẳng x = -1, đường thẳng x = 1 và trục Ox quanh trục Ox.

A. $\frac{32\pi }{5}$

B. $\frac{58\pi }{7}$

C. $9\pi$

D. $7\pi$

Câu 18. Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={(x+1)}^2$, trục hoành và trục tung quanh trục Ox.

A. $V=\frac{\pi }{2}$

B. $V=\frac{\pi }{3}$

C. $V=\frac{\pi }{4}$

D. $V=\frac{\pi }{5}$

Câu 19. Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi $\left(C\right):y=\sqrt{x-x^2}$ và trục Ox quanh trục Ox .

A. $V=\frac{\pi }{6}$

B. $V=\frac{\pi }{2}$

C. $V=\frac{\pi }{4}$

D. $V=\frac{\pi }{3}$

Câu 20. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi $\left(C\right):y=-x^2+2x$ và trục Ox quanh trục Ox.

A. $V=\pi \left(đvtt\right)$

B. $V=\frac{3\pi }{2}\left(đvtt\right)$

C. $V=\frac{4\pi }{3}\left(đvtt\right)$

D. $V={\pi }^2\left(đvtt\right)$

Câu 21. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đường $y=\sqrt{16-x^4}$, trục hoành và quay quanh trục Ox là:

A. $\frac{357\pi }{5}$

B. $\frac{256\pi }{5}$

C. $\frac{7}{2}\pi$

D. $\pi$

Câu 22. Tinh thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = tanx hai trục tọa độ và đường thẳng $x=\frac{\pi }{3}$ quanh trục Ox.

A. $V=\pi (\sqrt{3}+\frac{\pi }{3})$

B. $V=\pi (\sqrt{3}-\frac{\pi }{3})$

C. $V=\pi (\sqrt{3}+\frac{\pi }{3})$

D. $V=\pi (\sqrt{3}-\frac{\pi }{3})$

Câu 23. Thể tích của khối tròn xoay tạo nên do quay quanh trục hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=(1-x^2),y=0,x=0$ và x = 2 bằng:

A. $\frac{8\pi \sqrt{2}}{3}$

B. $2\pi$

C. $\frac{46\pi }{15}$

D. $\frac{5\pi }{2}$

Câu 24. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi $\left(P\right)y=x^2-4\text{x\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}4,\hspace{0.17em}y\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}0,\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}0, x\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}3}$

Thể tích V khi quay (H) quanh trục Ox là:

A. $\frac{3\pi }{5}$

B. $\frac{-15\pi }{4}$

C. $\frac{33\pi }{5}$

D. $\frac{-21\pi }{2}$

Câu 25. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^{\frac{1}{2}}.e^{\frac{x}{2}},x=1,x=2,y=0$ quanh trục Ox là:

A. $\pi ({\text{e}}^{\text{2}}+e)$

B. $\pi ({\text{e}}^{\text{2}}-e)$

C. $\pi {\text{e}}^{\text{2}}$

D. $\pi \text{e}$

Câu 26. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4, AD = 8 (như hình vẽ).

Gọi M, N , E, F lần lượt là trung điểm của BC, AD, BN và NC. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay hình tứ giác BEFC quanh trục AB.

A. 100π.

B. 96π.

C. 84π.

D. 90π

Câu 27. Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=0,x=4$ quay quanh trục Ox. Đường thẳng x = a (0 < a < 4) cắt đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$ tại M (hình vẽ bên). Gọi V₁ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng V = 2V₁. Giá trị của a thỏa mãn là?

A. [3; 4).

B. [2; 3).

C. [1; 2).

D. (0; 1).

Câu 28. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{6-x^2}$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox.

A. $V=8\pi \sqrt{6}-2\pi .$

B. $V=8\pi \sqrt{6}+\frac{22}{3}\pi .$

C. $V=8\pi \sqrt{6}-\frac{22}{3}\pi .$

D. $V=4\pi \sqrt{6}+\frac{22}{3}\pi .$

Câu 29. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=1+\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 4 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A. $\frac{14}{3}\pi$

B. $\frac{68}{3}\pi$

C. $\frac{8}{3}\pi$

D. $\frac{2}{3}\pi$

Câu 30. Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=\sin x;y=0;x=0;x=\pi$ khi quay xung quanh Ox là:

A. $\frac{{\pi }^2}{3}$

B. $\frac{{\pi }^2}{2}$

C. $\frac{{\pi }^2}{4}$

D. $\frac{2{\pi }^2}{3}$

Đáp án