50 bài toán về mặt trụ và phương pháp giải bài tập (có đáp án 2024) – Toán 12

Mặt trụ và phương pháp giải bài tập - Toán lớp 12

I. Lý thuyết ngắn gọn

1. Khái niệm về mặt tròn xoay

a. Định nghĩa trục của đường tròn

• Trục của đường tròn (O; R) là đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn đó.

• Khi điểm M không nằm trên đường thẳng Δ thì có duy nhất một đường tròn đi qua M và có trục là Δ, ta kí hiệu đường tròn đó là (C_M) (xem hình vẽ)

b. Định nghĩa mặt tròn xoay

• Trong không gian, cho hình (H) và một đường thẳng Δ. Hình gồm tất cả các đường tròn (C_M) với M thuộc (H) được gọi là hình tròn xoay sinh bởi (H) quay quanh Δ.

• Đường thẳng Δ gọi là trục của hình tròn xoay đó

• Khi (H) là một đường thì hình tròn xoay sinh bởi nó còn gọi là mặt tròn xoay.

Cho hai đường thẳng l và Δ sao cho l song song Δ; d(l, ∆) = R.

Khi ta quay l quanh trục Δ một góc 360° thì l tạo thành một mặt trụ tròn xoay (T) (mặt trụ).

• Δ gọi là trục của mặt trụ (T).

• l gọi là đường sinh của mặt trụ (T).

• R gọi là bán kính của mặt trụ (T).

3. Tính chất

a. Mặt trụ (T) là tập hợp các điểm M cách đường thẳng ∆ cố định một khoảng bằng R không đổi.

b. Nếu $M_1$ là một điểm bất kì nằm trên mặt trụ thì đường thẳng l₁ đi qua M₁ và song song với ∆ sẽ nằm trên mặt trụ đó.

Cho mặt trụ (T) và mặt phẳng (P), ∆ là trục của mặt trụ tròn xoay, $d\left(\left(P\right),\Delta \right)=h$. Khi đó:

- Nếu $\left(P\right)\perp a$ thì $\left(P\right)\cap \left(T\right)=C(I;R)$

- Nếu (P) // ∆ thì:

+ Nếu h < R: (P) cắt (T) theo hai đường sinh thì thiết diện là hình chữ nhật

+ Nếu h = R: (P) tiếp xúc (T), (P) được gọi là tiếp diện của mặt trụ (T)

Điều kiện để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt trụ (T) là:$d\left(\left(P\right);\Delta \right)=R$ (∆ là trục của trụ tròn xoay)

+ Nếu h > R: $\left(P\right)\cap \left(T\right)=\varnothing$

Điều kiện để mặt phẳng (P) không cắt trụ (T) là: $d\left(\left(P\right);\Delta \right)>R$ (∆ là trục của trụ tròn xoay).

4. Định nghĩa hình trụ và khối trụ tròn xoay

a. Định nghĩa hình trụ

Cắt mặt trụ (T) trục ∆, bán kính R bởi hai mặt phẳng phân biệt (P) và (P’) cùng vuông góc với ∆, ta được hai giao tuyến là hai đường tròn (C) và (C’).

Phần mặt trụ (T) nằm giữa hai mặt phẳng cùng với hai hình tròn xác định bởi (C) và (C’) được gọi là hình trụ.

Khi đó: hai đường tròn (C) và (C’) gọi là hai đường tròn đáy, OO’ gọi là trục hình trụ, độ dài OO’ gọi là chiều cao của hình trụ, phần mặt trụ giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ.

b. Định nghĩa khối trụ: Hình trụ cùng với phần bên trong của nó được gọi là khối trụ.

5. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ

- Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính R, chiều cao h là: $S_{xq}=2\pi Rh$

- Diện tích toàn phần hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh hình trụ với diện tích hai đáy: $S_{tp}=S_{xq}+2\times S_d=2\pi Rh+2\pi R^2$

- Thể tích V của khối trụ tròn xoay có chiều cao h, bán kính mặt đáy R là: $V=\pi R^{2}h$

II. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Xác định mặt trụ

Phương pháp giải: Nếu một điểm M di động trong không gian có hình chiếu vuông góc M’ trên $\left(\alpha \right)$ di động trên đường tròn (C) cố định thì M thuộc mặt trụ cố định (T) chứa (C) và có trục vuông góc với $\left(\alpha \right)$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho $\left(\alpha \right)$ và một điểm O nằm trên $\left(\alpha \right)$. Gọi O’ là một điểm nằm ngoài $\left(\alpha \right)$ sao cho hình chiếu H của O’ lên $\left(\alpha \right)$ không trùng với O. Một điểm M di động trên $\left(\alpha \right)$ sao cho $\widehat{OO\text{'}M}=\widehat{O\text{'}MH}$. Chứng minh rằng M nằm trên mặt trụ có trục là OO’.

Lời giải

Ta có H là hình chiếu của O’ lên $\left(\alpha \right)$

$\Rightarrow O\text{'}H\perp \left(\alpha \right)$$\Rightarrow O\text{'}H\perp HM$

Suy ra tam giác O’HM vuông tại H

Từ M kẻ $MK\perp OO\text{'}$ tại K

Xét hai tam giác vuông O’HM và MKO’ có:

O’M là cạnh chung

$\widehat{OO\text{'}M}=\widehat{O\text{'}MH}$

Suy ra hai tam giác O’HM và MKO’ bằng nhau

Suy ra MK = O’H không đổi

Vậy điểm M nằm trên mặt trụ có trục là OO’ và bán kính bằng O’H.

Ví dụ 2: Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là dây cung của hai đường tròn đáy, cạnh AD và BC không phải là đường sinh của hình trụ.

a. Tính độ dài cạnh của hình vuông ABCD.

b. Kẻ đường sinh DH. Chứng minh năm điểm A, B, C, D, H cùng thuộc một mặt cầu.

Lời giải

a. Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD

b. Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}AB\perp AD\\ HB\perp HD\\ CB\perp CD\end{array}\right.$

Suy ra năm điểm A, B, C, D, H cùng thuộc một mặt cầu đường kính BD.

Dạng 2: Diện tích xung quanh hình trụ, thể tích khối trụ

Phương pháp giải: Áp dụng các công thức sau

- Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính R, chiều cao h là: $S_{xq}=2\pi Rh$

- Diện tích toàn phần hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh hình trụ với diện tích hai đáy:

$$\begin{gathered} S_{tp}=S_{xq}+2\times S_d \\ =2\pi Rh+2\pi R^2 \end{gathered}$$

- Thể tích V của khối trụ tròn xoay có chiều cao h, bán kính mặt đáy R là: $V=\pi R^{2}h$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Bên trong một hình trụ vẽ một hình vuông ABCD cạnh a có hai cạnh AB và CD lần lượt thuộc hai đáy của hình trụ. Mặt phẳng chứa hình vuông tạo với đáy của hình trụ một góc 45 độ. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ đó.

Lời giải

Vẽ đường kính BH của đường tròn đáy

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}AB\perp AH\\ AB\perp AD\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(\left(ABCD\right);\left(ABH\right)\right)=\widehat{HAD}=45°$

Suy ra tam giác AHD vuông cân tại H

$\Rightarrow HA=HD=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Suy ra chiều cao hình trụ là: h = HD = $\frac{a}{\sqrt{2}}$

Tam giác HAB vuông tại A, theo Py – ta – go:

$$\begin{gathered} H{B}^2=A{B}^2+A{H}^2 \\ H{B}^2=a^2+\frac{a^2}{2}=\frac{3}{2}{a}^2 \\ \Rightarrow HB=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

$\Rightarrow$Bán kính đáy của hình trụ là: $R=\frac{HB}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

Vậy:

Diện tích xung quanh của hình trụ là: $S_{xq}=2\pi Rh=\frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2}$

Thể tích của khối trụ là: $V=\pi R^{2}h=\frac{3\pi a^3}{8\sqrt{2}}$

Ví dụ 2: Cho hình trụ bán kính đáy R nội tiếp trong lăng trụ tứ giác đều có đường chéo hợp với đáy một góc $\alpha$. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của lăng trụ ngoại tiếp.

Lời giải

Hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn đáy hình trụ bán kính R nên có cạnh: AB = 2R

Dạng 3: Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng

Phương pháp giải:

- Các thiết diện qua trục của một hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau.

- Thiết diện vuông góc với trục của một hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy.

- Nếu một điểm M di động trong không gian có hình chiếu M’ lên một mặt phẳng $\left(\alpha \right)$di động trên một đường tròn (C) cố định thì M thuộc mặt trụ cố định (T) chứa (C) và có trục vuông góc với $\left(\alpha \right)$.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng $4\pi$ . Thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB’A’, biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung có số đo là $120°$. Tính diện tích thiết diện ABB’A’.

Lời giải

Thiết diện qua trục hình trụ là hình có hai kích thước h, 2R

Theo bài ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}h=2R\\ S_{xq}=4\pi \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}h=2R\\ 2\pi Rh=4\pi \end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}R=1\\ h=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Thiết diện song song với trục OO’ là hình chữ nhật ABB’A’

Dây cung AB căng một cung $120°$

$\Rightarrow \widehat{AOB}=120°$

Tam giác OAB có:

$$\begin{gathered} AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2-2.OA.OB.cos\widehat{AOB}} \\ =\sqrt{3} \end{gathered}$$

Vì AA’ là đường sinh $\Rightarrow AA\text{'}=h=2$

Diện tích thiết diện: $S_{ABB\text{'}A\text{'}}=AB.AA\text{'}=2\sqrt{3}$

Ví dụ 2: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng $\frac{3R}{2}$. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng $\frac{R}{2}$. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

Lời giải

Thiết diện song song với trục OO’ là hình chữ nhật ABB’A’

OO’ // (ABB’A’)

$$\begin{gathered} \Rightarrow d\left(OO\text{'};\left(\alpha \right)\right)=d\left(O;\left(\alpha \right)\right) \\ =d\left(O;AB\right) \end{gathered}$$

Gọi H là trung điểm AB

Mà OA = OB

$\Rightarrow OH\perp AB$

Tam giác OAH vuông tại H

$$\begin{gathered} AH=\sqrt{O{A}^2-O{H}^2} \\ \Rightarrow AH=\frac{R\sqrt{3}}{2} \\ AB=2AH=R\sqrt{3} \end{gathered}$$

Vậy $S_{ABB\text{'}A\text{'}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{R}^2$

Dạng 4: Bài toán cực trị

Phương pháp giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho các số thực dương:

Dạng 2 số:

$a+b\ge 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le \frac{a^2+b^2}{2}$

hoặc $ab\le \frac{{(a+b)}^2}{4}$

Dạng 3 số:

$$\begin{gathered} a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc} \\ \Rightarrow abc\le \frac{a^3+b^3+c^3}{3} \end{gathered}$$

hoặc $abc\le \frac{{(a+b+c)}^3}{27}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hình trụ có độ dài đường cao bằng 3, các đường tròn đáy lần lượt là (O; 1) và (O’; 1). Giả sử AB là đường kính cố định của (O; 1) và CD là đường kính thay đổi trên (O’; 1). Tìm giá trị lớn nhất $V_{max}$ của thể tích khối tứ diện ABCD.

Lời giải

Ví dụ 2: Cần sản xuất một vỏ hộp sữa hình trụ có thể tích V cho trước. Để tiết kiệm vật liệu nhất thì bán kính đáy phải bằng bao nhiêu?

Lời giải

Giả sử vỏ hộp sữa có bán kính đáy là R, chiều cao là h (R, h > 0)

Vì thể tích vỏ hộp là V nên ta có:

$V=\pi R^{2}h\Rightarrow h=\frac{V}{\pi R^2}$

Để tiết kiệm vật liệu nhất thì hình trụ vỏ hộp sữa phải có diện tích toàn phần nhỏ nhất

III. Bài tập áp dụng

Bài 1: Một mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh a. Tính thể tích khối lăng trụ đó.

A. $\pi a^3$

B. $\frac{\pi a^3}{2}$

C. $\frac{\pi a^3}{3}$

D. $\frac{\pi a^3}{4}$

Bài 2: Cho hình lập phương cạnh a.Tính thể tích hình trụ ngoại tiếp hình lập phương

A. $\frac{3\pi a^3}{4}$

B. $\frac{\pi a^3}{6}$

C. $\frac{\pi a^3}{2}$

D. $\pi a^3$

Bài 3: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 3, cạnh bên $BC=DA=\sqrt{2}$. Cho hình thang đó quay quanh AB thì được vật tròn xoay có thể tích bằng

A. $\frac{4}{3}\pi$

B. $\frac{5}{3}\pi$

C. $\frac{2}{3}\pi$

D. $\frac{7}{3}\pi$

Bài 4 : Cho hình trụ có bán kính đáy R = 5 cm, chiều cao h = 7 cm. Tính diện tích xung quanh hình trụ

A. $85\pi \left(c{m}^2\right)$

B. $70\pi \left(c{m}^2\right)$

C. $35\pi \left(c{m}^2\right)$

D. $\frac{35\pi }{3}\left(c{m}^2\right)$

Bài 5: Cho hình trụ có chiều cao bằng $6\sqrt{2}cm$. Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song với AB, A’B’. Mà AB = A’B’ = 6cm. Diện tích tứ giác ABB’A’ bằng $60c{m}^2$. Tính bán kính đáy hình trụ

A. 4 cm

B. 5 cm

C. $3\sqrt{2}cm$

D. $5\sqrt{2}cm$

Bài 6: Trong tất cả các khối trụ có cùng thể tích 330. Xác định bán kính đáy của khối trụ có diện tích toàn phần nhỏ nhất

A. $\sqrt[3]{\frac{165}{\pi }}$

B. $\sqrt[3]{\frac{330}{\pi }}$

C. $\sqrt{\frac{165}{\pi }}$

D. $\sqrt{\frac{330}{\pi }}$

Bài 7: Thể tích lớn nhất của khối trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R bằng

A. $\frac{4\pi R^3\sqrt{3}}{9}$

B. $\frac{8\pi R^3\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{8\pi R^3\sqrt{3}}{9}$

D. $\frac{8\pi R^3}{27}$

Bài 8: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình chữ nhật có chu vi bằng 12 cm. Thể tích lớn nhất mà hình trụ có thể nhận được là:

A. $8\pi c{m}^3$

B. $32\pi c{m}^3$

C. $16\pi c{m}^3$

D. $64\pi c{m}^3$

Bài 9: Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’, biết góc giữa mặt phẳng
(A’BC) và (ABC) bằng 45 độ. Diện tích tam giác A’BC bằng $a^2\sqrt{6}$. Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’.

A. $\frac{4\pi a^2\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{8\pi a^2\sqrt{3}}{3}$

C. $2\pi a^2$

D. $4\pi a^2$

Bài 10: Các hình trụ tròn xoay có diện tích toàn phần S không đổi, gọi chiều cao hình trụ là h và bán kính đáy hình trụ là r. Thể tích của khối trụ đó đạt giá trị lớn nhất khi:

A. h = 4r

B. h = 3r

C. h = 2r

D. h = r