Công thức tích phân từng phần đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

Công thức tích phân từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lý thuyết

Định lí: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u\left(x\right)v\text{'}\left(x\right)dx={\left.\left[u\left(x\right)v\left(x\right)\right]\right|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}u\text{'}\left(x\right)v\left(x\right)dx$, hay viết gọn là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv=uv{|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu$.

Các dạng cơ bản:

Giả sử cần tính $I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}P\left(x\right).Q\left(x\right)dx$

Chú ý: Cần phải lựa chọn u và d v hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân $\int v\text{d}u$ dễ tính hơn $\int u\text{d}v$. Ta thường gặp các dạng sau:

Dạng 1. $I=\int P\left(x\right)\left[\begin{array}{l}\sin x\\ \cos x\end{array}\right]\text{d}x$, trong đó $P\left(x\right)$ là đa thức. Ta đặt $\left\{\begin{array}{l}u=P\left(x\right)\\ \text{d}v=\left[\begin{array}{l}\sin x\\ \cos x\end{array}\right]\text{d}x\end{array}\right.$

Dạng 2. $I=\int P\left(x\right)e^{ax+b}\text{d}x$, trong đó $P\left(x\right)$ là đa thức. Ta đặt $\left\{\begin{array}{l}u=P\left(x\right)\\ \text{d}v=e^{ax+b}\text{d}x\end{array}\right.$

Dạng 3. $I=\int P\left(x\right)\ln \left(mx+n\right)\text{d}x$, trong đó $P\left(x\right)$ là đa thức. Ta đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(mx+n\right)\\ \text{d}v=P\left(x\right)\text{d}x\end{array}\right.$

Dạng 4. $I=\int \left[\begin{array}{l}\sin x\\ \cos x\end{array}\right]e^x\text{d}x$. Ta đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\left[\begin{array}{l}\sin x\\ \cos x\end{array}\right]\\ \text{d}v=e^x\text{d}x\end{array}\right.$

Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” và dv = phần còn lại. Nghĩa là nếu có lnx hay log_ax thì chọn u = lnx hay $u={\log }_{a}x=\frac{1}{\ln a}.\ln x$ và dv = còn lại. Nếu không có  ln ;  log thì chọn u = đa thức và dv = còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,….

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau

Ví dụ 2: Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(x+{\cos }^{5}x\right)\sin xdx$

Lời giải