Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất – Toán 12

    Với Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất Toán lớp 12 Giải tích chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn bộ Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

    1 1,926 18/06/2022
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất - Toán lớp 12

    1. Lý thuyết

    - Định nghĩa: Cho hàm số y=fx xác định và liên tục trên khoảng a;b (có thể a là −∞; b là +∞) và điểm x0∈a;b

    a. Nếu tồn tại số h>0 sao cho fx<fx0 ∀x∈x0−h;x0+h và x≠x0 thì ta nói hàm số fx đạt cực đại tại x0.

    b. Nếu tồn tại số h>0 sao cho fx>fx0 ∀x∈x0−h;x0+h và x≠x0 thì ta nói hàm số fx đạt cực tiểu tại x0.

     Chú ý:

    1. Nếu hàm số f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; fx0 được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số. Kí hiệu là fCĐfCT​, còn điểm Mx0;fx0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

    2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn được gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

    3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y=fx có đạo hàm trên khoảng (a,b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f'x0=0.

    Thật vậy giả sử fx đạt cực đại tại x0. Khi đó theo định nghĩa ta có:

    limΔx→0fx0+Δx−fx0Δx=0

    + TH1: Δx>0⇒f'x0+=0

    + TH2: Δx<0⇒f'x0−=0

    Mà fx có đạo hàm nên suy ra f'x=0.

    2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị

    a. Điều kiện cần

    - f (x) đạt cực trị tại x0, có đạo hàm tại x0 thì f'x0=0.

    b. Điều kiện đủ

    - Định lí 1: Giả sử hàm số y=fx liên tục trên khoảng K=x0−h;x0+h và có đạo hàm trên K hoặc trên K\x0 với h>0

    + Nếu f'x>0 trên khoảng x0−h;x0 và f'x<0 trên khoảng x0;x0+h thì x0 là một điểm cực đại của hàm số fx.

    + Nếu f'x<0 trên khoảng x0−h;x0 và f'x>0 trên khoảng x0;x0+h thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số fx.

    Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

    Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

    - Nói một cách dễ hiểu thì: Đi từ trái qua phải:

    + Nếu f'x đổi dấu từ + sang - khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực đại

    + Nếu f'x đổi dấu từ - sang + khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu.

    - Tóm lại muốn hàm số có cực trị tại x0 thì f'x phải đổi dấu khi qua x0

    - Định lí 2: Giả sử hàm số y=fx có đạo hàm cấp 2 trong khoảng x0−h;x0+h, với h>0. Khi đó:

    +) Nếu f'x0=0f''x0<0 thì x0 là điểm cực đại;

    +) Nếu f'x0=0f''x0>0 thì x0 là điểm cực tiểu.

    3. Quy tắc tìm cực trị

    a. Quy tắc 1. (Dựa vào định lí 1)

    +B1: Tìm tập xác định

    +B2: Tính f'x. Tìm các điểm tại đó f'x=0 hoặc f'x không xác định.

    +B3: Lập bảng xét dấu f'x

    +B4: Từ bảng xét dấu suy ra các điểm cực trị.

    b. Quy tắc 2 (Dựa vào định lí 2)

    +B1: Tìm tập xác định

    +B2: Tính f'x và giải phương trình f'x=0được nghiệm xi

    +B3: Tính f''x và f''xi suy ra tính chất cực trị của các điểm xi rồi kết luận.

    - Chú ý: Nếu f''xi=0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị.

    - Lưu ý: Hàm trùng phương  y=ax4+bx2+c

    +) Có 1 cực trị khi a.b≥0

    +) Có 3 cực trị khi a.b<0

    4. Một số ví dụ

    Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số

    a) y=x3−3x2−9x+2

    b) y=x4−2x2+2

    Lời giải

    a) TXĐ: D=ℝ

    Ta có:

    y'=0⇔3x2−6x−9=0⇔x=3x=−1

    Bảng biến thiên (xét dấu):

    Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

    Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm x=−1

    Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3

    b) TXĐ: D=ℝ

    Ta có: y'=4x3−4x;

    y''=12x2−4y'=0⇔x=0x=±1

    Ta có: y''0=−4<0⇒x=0  là điểm cực đại

    y''1=y''−1=8>0

    ⇒x=1 và x=−1 là hai điểm cực tiểu của hàm số.

    Ví dụ 2: Tìm m để hàm số

    a) y=x3−2mx2+m2x−1 đạt cực đại tại x=1.              

    b) y=x2−mx+2x−1 đạt cực tiểu tại x=2.

    Lời giải

    a) TXĐ: D=ℝ.

    Ta có: y'=3x2−4mx+m2;

    y''=6x−4m

    Hàm số đạt cực đại tại:

    x=1⇔y'1=0y''1<0⇔m2−4m+3=06−4m<0⇔m=1m=3m>32⇔m=3

    Vậy m =3.

    b. TXĐ: D=ℝ\1.

    Ta có:

    y'=x2−2x+m−2x−12=1+m−3x−12⇒y''=−2m−3x−13

    Hàm số đạt cực tiểu tại:

    x=2⇔y'2=0y''2>0⇔m−2=0−2m−3>0⇔m=2

    Vậy m=2.

    - Lưu ý: Trong một vài bài toán tính đạo hàm cấp 2 phức tạp ta có thể thay giá trị của m tìm được vào hàm số và sử dụng công cụ ddx của MTCT để xác định dấu của y'' một cách nhanh chóng.      

    Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

    Kết quả là 2 > 0 nên m=2(t/m)

    5. Luyện tập

    Bài 1. Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

    a. x3−6x2+9x−2

    b. x4+2x2−2

    c. y=x2+2x+1x+2

    Bài 2. Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

    a. y=x4−4x2+1

    b.  y=−13x3+2x2+5x−2

    c. y=sinx+cosx

    Bài 3. Tìm m để hàm số:

    a. y=13x3−2mx2+3m2x−3 đạt cực đại tại x=2

    b. y=mx4+m−2x2+3 có 3 điểm cực trị

    Bài 4. Tìm m để hàm số y=13x3+mx2+4m−3x+2 có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục tung.

    Tham khảo các loạt bài Toán 12 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,926 18/06/2022
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: