Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất – Toán 12
Với Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất Toán lớp 12 Giải tích chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn bộ Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:
Công thức tính cực trị của hàm số chi tiết nhất - Toán lớp 12
1. Lý thuyết
- Định nghĩa: Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng (có thể a là ; b là ) và điểm
a. Nếu tồn tại số sao cho và thì ta nói hàm số đạt cực đại tại .
b. Nếu tồn tại số sao cho và thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại .
Chú ý:
1. Nếu hàm số f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại thì được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số. Kí hiệu là , còn điểm được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn được gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng (a,b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại thì .
Thật vậy giả sử đạt cực đại tại . Khi đó theo định nghĩa ta có:
+ TH1:
+ TH2:
Mà có đạo hàm nên suy ra .
2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị
a. Điều kiện cần
- f (x) đạt cực trị tại , có đạo hàm tại thì .
b. Điều kiện đủ
- Định lí 1: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng và có đạo hàm trên K hoặc trên với
+ Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực đại của hàm số .
+ Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực tiểu của hàm số .
- Nói một cách dễ hiểu thì: Đi từ trái qua phải:
+ Nếu đổi dấu từ + sang - khi đi qua thì là điểm cực đại
+ Nếu đổi dấu từ - sang + khi đi qua thì là điểm cực tiểu.
- Tóm lại muốn hàm số có cực trị tại thì phải đổi dấu khi qua
- Định lí 2: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp 2 trong khoảng , với . Khi đó:
+) Nếu thì là điểm cực đại;
+) Nếu thì là điểm cực tiểu.
3. Quy tắc tìm cực trị
a. Quy tắc 1. (Dựa vào định lí 1)
+B1: Tìm tập xác định
+B2: Tính . Tìm các điểm tại đó hoặc không xác định.
+B3: Lập bảng xét dấu
+B4: Từ bảng xét dấu suy ra các điểm cực trị.
b. Quy tắc 2 (Dựa vào định lí 2)
+B1: Tìm tập xác định
+B2: Tính và giải phương trình được nghiệm
+B3: Tính và suy ra tính chất cực trị của các điểm rồi kết luận.
- Chú ý: Nếu thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị.
- Lưu ý: Hàm trùng phương
+) Có 1 cực trị khi
+) Có 3 cực trị khi
4. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số
a)
b)
Lời giải
a) TXĐ:
Ta có:
Bảng biến thiên (xét dấu):
Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3
b) TXĐ:
Ta có: ;
Ta có: là điểm cực đại
và là hai điểm cực tiểu của hàm số.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số
a) đạt cực đại tại x=1.
b) đạt cực tiểu tại .
Lời giải
a) TXĐ: .
Ta có: ;
Hàm số đạt cực đại tại:
Vậy m =3.
b. TXĐ: .
Ta có:
Hàm số đạt cực tiểu tại:
Vậy m=2.
- Lưu ý: Trong một vài bài toán tính đạo hàm cấp 2 phức tạp ta có thể thay giá trị của m tìm được vào hàm số và sử dụng công cụ của MTCT để xác định dấu của một cách nhanh chóng.
Kết quả là 2 > 0 nên m=2(t/m)
5. Luyện tập
Bài 1. Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a.
b.
c.
Bài 2. Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a.
b.
c.
Bài 3. Tìm m để hàm số:
a. đạt cực đại tại
b. có 3 điểm cực trị
Bài 4. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục tung.
Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 12 đầy đủ và chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12 (sách mới)
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12 (sách mới) | Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12 (sách mới) | Giải bài tập GDQP 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12