50 bài toán về phương trình đường thẳng (có đáp án 2024) – Toán 12
Với cách giải các dạng toán về Các dạng toán về phương trình đường thẳng và cách giải môn Toán lớp 12 Hình học gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Các dạng toán về phương trình đường thẳng và cách giải lớp 12. Mời các bạn đón xem:
Các dạng toán về phương trình đường thẳng và cách giải - Toán lớp 12
I. LÝ THUYẾT
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
- Vectơ khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng d.
- Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ với cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d đường thẳng d có vô số vectơ chỉ phương và các vectơ chỉ phương này cùng phương.
- Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương của nó.
2. Phương trình tham số – Phương trình chính tắc của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương (với ) là phương trình có dạng trong đó t là tham số.
- Nếu thì ta có thể viết phương trình đường thẳng d dưới dạng chính tắc như sau:
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1: Xác định vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng
Phương pháp giải:
Đường thẳng , hoặc thì d đi qua và có 1 VTCP .
là 1 VTCP của d thì cũng là 1 VTCP của d.
Một số dạng thường gặp:
+) d qua hai điểm A, B thì là 1 VTCP của d.
+) Ax + By + Cz + D = 0 thì (A; B; C) là 1 VTCP của d.
+) mà có VTCP thì cũng là 1 VTCP của d.
+) thì là 1 VTCP của d.
+) và thì là 1 VTCP của d.
+) và thì là 1 VTCP của d.
Ví dụ 1: Trong không gian cho A (1; 1; 0) và B (0; 1; 2). Vectơ nào sau đây là một VTCP của đường thẳng AB?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là .
Chọn B.
Ví dụ 2: Cho (P): 3x – y + 2z – 7 = 0 và (Q): x + 3y – 2z + 3 = 0. Biết d là giao tuyến của (P) và (Q), một VTCP của d là:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
(P) có vectơ pháp tuyến là
(Q) có vectơ pháp tuyến là
Vì d là là giao tuyến của (P) và (Q) nên ta có :
Ta chọn VTCP là
Chọn A.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết vectơ chỉ phương.
Phương pháp giải:
a) Loại 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .
+) Phương trình tham số của đường thẳng là:
+) Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
b) Loại 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B.
+) Xác định vectơ chỉ phương của là .
+) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A và có VTCP là
c) Loại 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d.
+) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng là
+) Viết phương trình đường thẳng qua điểm M và có VTCP là
Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.
Nếu đường thẳng song song với trục Ox thì có VTCP là .
Nếu đường thẳng song song với trục Oy thì có VTCP là .
Nếu đường thẳng song song với trục Oz thì có VTCP là
d) Loại 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng .
+) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng là
+) Viết phương trình đường thẳng qua điểm M và có VTCP là .
Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.
Nếu vuông góc với mặt phẳng (Oxy) thì có VTCP là .
Nếu vuông góc với mặt phẳng (Oxz) thì có VTCP là .
Nếu vuông góc với mặt phẳng (Oyz) thì có VTCP là
Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (1; 2; -3) và có vectơ chỉ phương .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Phương trình tham số của đường thẳng là:
Chọn A.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (2; 3; -1), B (1; 2; 4), phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm A và nhận làm vectơ chỉ phương.
Nên phương trình đường thẳng d là:
Chọn C.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (4; -2; 2) và song song với đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
Vì đường thẳng song song với đường thẳng d nên
Vì đi qua điểm M nên ta có phương trình đường thẳng là:
Chọn A.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A (-2; 4; 3) và vuông góc với mặt phẳng 2x – 3y + 6z + 19 = 0.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là .
Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nên .
Vì đi qua điểm A (-2; 4; 3) nên phương trình đường thẳng là:
Chọn C.
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt d1 và thỏa mãn điều kiện khác
a) Loại 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm , vuông góc và cắt đường thẳng d.
Phương pháp giải:
Gọi
Tìm tọa độ điểm H từ điều kiện
là đường thẳng đi qua 2 điểm M và H.
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (2; 3; -1) và đường thẳng Gọi là đưởng thẳng qua M, vuông góc và cắt d. Viết phương trình của
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là .
Gọi N là giao điểm của và d. Vì N (2t; 4t; 3 + t).
Suy ra
Vì
Khi đó:
Suy ra có một vectơ chỉ phương là . Mà đi qua M nên phương trình đường thẳng
Chọn C
b) Loại 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng
Phương pháp giải:
Gọi
Tìm tọa độ điểm B từ điều kiện
là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; -1; 3) và hai đường thẳng:
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Gọi
Đường thẳng d nhận là một VTCP.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là
Ta có:
Đường thẳng d qua A (1; -1; 3) và nhận là một VTCP nên phương trình đường thẳng d là
Chọn C
Loại 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng và .
Phương pháp giải:
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d và , d và
Đường thẳng d đi qua M nên A, B, M thẳng hàng
cùng phương . Từ đó tìm ra A và B.
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2; -1; -6) và hai đường thẳng , . Đường thẳng đi qua điểm M và cắt cả hai đường thẳng , tại hai điểm A, B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng
A. .
B. .
C. 8.
D. 12.
Hướng dẫn giải
Vì A thuộc nên A (1 + 2t; 1 – t; -1 + t).
Vì B thuộc nên B (-2 + 3t’; -1 + t’; 2 + 2t’).
Suy ra ,
.
Ta có A, B, M thẳng hàng khi và chỉ khi
Với t = 1, t’ = 2 ta được A (3; 0; 0), B (4; 1; 6), suy ra
Chọn A.
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1: Trong không gian cho đường thẳng . Một vectơ chỉ phương của d là:
A.
B.
C.
D.
Câu 2: Trong không gian cho M (1; 2; 3). Gọi lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy. Vectơ nào sau đây là VTCP của ?
A.
B.
C.
D.
Câu 3: Trong không gian cho điểm A (0; 1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + z – 4 = 0. Đường thẳng qua A, cắt và song song với (P) có một VTCP là:
A.
B.
C.
D.
Câu 4: Trong không gian cho đường thẳng d có phương trình . Một vectơ chỉ phương của d là
A.
B.
C.
D.
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (3; -2; 0), B (1; 1; 4), C (-5; 3; 2), viết phương trình đường thẳng AM với M là trung điểm của đoạn thẳng BC
A.
B.
C.
D.
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hãy viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (5; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy).
A.
B.
C.
D.
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 4), B (-1; 5; 1), C (3; 2; 1) và mặt phẳng - x + 4y – 2z + 6 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với .
A.
B.
C.
D.
Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A (3; 2; 1). Viết phương trình đường thẳng qua A, cắt đồng thời vuông góc với đường thẳng d.
A.
B.
C.
D.
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M (-1; 2; -3) và song song với đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Câu 10: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A (3; -1; -4) cắt trục Oy và song song với mặt phẳng (P): 2x + y = 0.
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có đáp án và lời giải chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12 (sách mới)
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12 (sách mới) | Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12 (sách mới) | Giải bài tập GDQP 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12