Bất phương trình lôgarit | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Công thức giải bất phương trình lôgarit chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Bất phương trình lôgarit cơ bản

- Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng ${\log }_{a}x>b$ (hoặc ${\log }_{a}x\ge b$, ${\log }_{a}x<b$, ${\log }_{a}x\le b$) với $a>0,a\ne 1$.

2. Tập nghiệm của bất phương trình lôgarit cơ bản.

a. Nghiệm của bất phương trình ${\log }_{a}x>b,\left(a>0,a\ne 1\right)$

b. Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{a}x\ge b,\left(a>0,a\ne 1\right)$

c. Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{a}x<b,\left(a>0,a\ne 1\right)$

d. Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{a}x\le b,\left(a>0,a\ne 1\right)$

- Chú ý: Khi giải bất phương trình lôgarit ta cần tìm điều kiện của x.

3. Một số bất phương trình lôgarit đơn giản

VD1. Giải các bất phương trình sau:

a. ${\log }_{0,5}\left(5x+10\right)<{\log }_{0,5}\left(x^2+6x+8\right)$

b. ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2+2x-8\right)\ge -4$

c. ${\log }_3\left[{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)\right]<1$

Lời giải:

a. ${\log }_{0,5}\left(5x+10\right)<{\log }_{0,5}\left(x^2+6x+8\right)$

Điều kiện:

$\left\{\begin{array}{l}5x+10>0\\ x^2+6x+8>0\end{array}\right.\iff x>-2$

Bất phương trình $\iff 5x+10>x^2+6x+8$

(Vì $0,5<1$)

$\iff x^2+x-2<0\iff -2<x<1$

Kết hợp với điều kiện ta được $-2<x<1$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left(-2;1\right)$

b.

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2+2x-8\right)\ge -4$

Điều kiện:

$x^2+2x-8>0\iff \left[\begin{array}{l}x>2\\ x<-4\end{array}\right.$

Bất phương trình:

$$\begin{gathered} \iff x^2+2x-8\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-4} \\ \iff x^2+2x-8\le 16 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff x^2+2x-24\le 0 \\ \iff -6\le x\le 4 \end{gathered}$$

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm là $S=\left[-6;-4\right)\cup \left(2;4\right]$

c. 

${\log }_3\left[{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)\right]<1$

Điều kiện:

$$\begin{gathered} {\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)>0\iff x^2-1<1 \\ \iff -\sqrt{2}<x<\sqrt{2} \end{gathered}$$

Bất phương trình:

$\iff {\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-1\right)<3$

$$\begin{gathered} \iff x^2-1>\frac{1}{8}\iff x^2>\frac{9}{8} \\ \iff \left[\begin{array}{l}x>\frac{3\sqrt{2}}{4}\\ x<-\frac{3\sqrt{2}}{4}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm là:

$S=\left(-\sqrt{2};-\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)\cup \left(\frac{3\sqrt{2}}{4};\sqrt{2}\right)$

VD2. Giải các bất phương trình sau:

a. ${\log }_2\left(x-3\right)+{\log }_2\left(x-2\right)>1$

b. ${\log }_{\sqrt{3}}\left(x-3\right)-{\log }_3\left(x^2-2x+3\right)\le 1$

c. ${\log }_{0,2}x-{\log }_5\left(x-2\right)<{\log }_{0,2}3$

Lời giải:

a.

b.

c.

VD3. Giải các bất phương trình sau:

a. ${\log }_3^{2}x-5{\log }_{3}x+6\le 0$

b. $\frac{1}{5-\log x}+\frac{2}{1+\log x}<1$

c. $4{\log }_{4}x-33{\log }_{x}4\le 1$

Lời giải:

a.

b.

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy:

VD4. Giải bất phương trình: ${\log }_{\frac{1}{3}}x>3x$                                 

Lời giải:

${\log }_{\frac{1}{3}}x>3x$

Điều kiện: x >0

Xét hàm số $f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{3}}x-3x$

Ta có:

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x.\ln \frac{1}{3}}-3<0\forall x>0$

$\Rightarrow f\left(x\right)$ nghịch biến

Do vậy với $x<\frac{1}{3}\Rightarrow f\left(x\right)>f\left(\frac{1}{3}\right)=0$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$

4. Luyện tập

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a. ${\log }_8\left(4-2x\right)\ge 2$

b. ${\log }_{\frac{1}{3}}\left(3x+2\right)<{\log }_{\frac{1}{3}}\left(x-2\right)$

c. ${\log }_2\left(x^2-2x\right)>3$

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

a. ${\log }_2\left(2-x-\sqrt{x^2-1}\right)<1$

b. ${\log }_{\sqrt{5}}\left(6^{x+1}-{36}^x\right)\le 2$

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

a. ${\log }_{0,2}^{2}x-5{\log }_{0,2}x<-6$

b. $\frac{1}{3-{\log }_{2}x}+\frac{3}{1+{\log }_{2}x}>2$

c. ${\log }_{\frac{1}{5}}\left(x^2-6x+18\right)+2{\log }_5\left(x-4\right)<0$

Bài 4. Giải các bất phương trình sau:

a. ${\log }_{\frac{1}{3}}\left[{\log }_2{x}^2\right]>0$

b. ${\log }_{2}x\le 6-x$