Tích phân là gì? Công thức và cách giải các dạng bài tập Tích phân (2024)

Tích phân và cách giải bài tập cơ bản - Toán lớp 12

A. LÝ THUYẾT.

1. Định nghĩa.

Cho f là hàm số liên tục trên đoạn $\text{[}a;b\text{]}.$ Giả sử F là một nguyên hàm của f trên $\text{[}a;b\text{]}.$ Hiệu số $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn $\text{[}a;b\text{]}$ của hàm số $f\left(x\right),$ kí hiệu là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Ta dùng kí hiệu ${\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ để chỉ hiệu số $F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Ta gọi $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0$; $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ hay $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt.$Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn $\text{[}a;b\text{]}$ thì tích phân $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$

2. Tính chất của tích phân

+) Tính chất 1: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ với k là hằng số.

+) Tính chất 2: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\pm \underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$

+) Tính chất 3: $\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ với $a<c<b$.

Chú ý: Mở rộng của tính chất 3.

$$\begin{gathered} \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c_1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c_1}{\overset{c_2}{\int }}f\left(x\right)dx+\mathrm{...}\underset{c_n}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx \\ \left(a<c_1<c_2<\mathrm{...}<c_n<b\right) \end{gathered}$$

3. Định lý.

Tích phân của hàm lẻ và hàm chẵn trên .

- Nếu f là một hàm số chẵn, khi đó

- Nếu f là một hàm số lẻ, khi đó .

4. Các tính chất bổ sung.

+) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}0dx=0$

+) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}cdx=c\left(b-a\right)$

+) Nếu $f\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left[a,b\right]$ thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\ge 0$

Hệ quả: Nếu hai hàm số $f\left(x\right)$ và $g\left(x\right)$ liên tục và thỏa mãn $f\left(x\right)\le g\left(x\right),\forall x\in \left[a;b\right]$

thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ.

1. Phương pháp giải:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Như vậy, để tính tích phân của 1 hàm số ta cần:

• Bước 1: Xác định F(x) là nguyên hàm của hàm số.

• Bước 2. Tính F(b) − F(a).

- Chú ý: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân đã nêu ở phần lý thuyết để phân tích bài toán, đưa các hàm số dưới dấu tích phân về dạng cơ bản để xác định được nguyên hàm của hàm số một cách dễ dàng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(x^3-1\right)}^2{x}^{3}dx$ ta thu được kết quả là:

A. $\frac{8}{141}$

B. $\frac{9}{140}$

C. $\frac{140}{9}$

D. $\frac{141}{8}$

Lời giải

Ta có :

$$\begin{gathered} I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(x^3-1\right)}^2{x}^{3}dx \\ =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^6-2x^3+1\right)x^{3}dx \\ =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^9-2x^6+x^3\right)dx \\ =\left(\frac{x^{10}}{10}-\frac{2x^7}{7}+\frac{x^4}{4}\right)\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right. \\ =\frac{1}{10}-\frac{2}{7}+\frac{1}{4}-0=\frac{9}{140} \end{gathered}$$

Chọn B.

Ví dụ 2: Tính tích phân $I=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}|x+1|dx$.

Lời giải

Nhận xét:

$\left|x+1\right|=\left\{\begin{array}{l}x+1,-1\le x\le 2\\ -x-1,-2\le x<-1\end{array}\right..$

Ví dụ 3: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] và $3F\left(a\right)-2=3F\left(b\right)$. Tính tích phân $I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

A. I = - 2

B. I = 2

C. $I=\frac{2}{3}$

D. $I=\frac{-2}{3}$

Lời giải

Chọn D

Ví dụ 4: Cho các tích phân $\underset{-3}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=2;\underset{-3}{\overset{5}{\int }}f\left(t\right)dt=4$ . Tính $\underset{2}{\overset{5}{\int }}f\left(y\right)dy$.

A. I = 2

B. I = 6

C. I = - 2

D. I = - 6

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)dx=5$ . Tính $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left[f\left(x\right)+2\sin x\right]dx$

A. I = 7

B. $I=5+\frac{\pi }{2}$

C. I = 3

D. $I=5+\pi$

Lời giải

Chọn A.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. $\underset{2}{\overset{4}{\int }}{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^{2}dx$ bằng:

A. $\frac{275}{12}$

B. $\frac{305}{16}$

C. $\frac{196}{15}$

D. $\frac{208}{17}$

Câu 2. $\underset{e-1}{\overset{e^2-1}{\int }}\frac{1}{x+1}dx$ bằng:

A. $3\left(e^2-e\right)$

B. 1

C. $\frac{1}{e^2}-\frac{1}{e}$

D. 2

Câu 3. $\underset{0}{\overset{\ln 2}{\int }}\left(e^x+1\right)e^{x}dx$ bằng:

A. $3\ln 2$

B. $\frac{4}{5}\ln 2$

C. $\frac{5}{2}$

D. $\frac{7}{3}$

Câu 4. $\underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx$ bằng:

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

Câu 5. $\underset{2}{\overset{5}{\int }}{\left(3x-4\right)}^{4}dx$ bằng:

A. $\frac{89720}{27}$

B. $\frac{18927}{20}$

C. $\frac{960025}{18}$

D. $\frac{53673}{5}$

Câu 6. Kết quả của tích phân: $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{7+6x}{3x+2}dx$

A. $\frac{1}{2}-\ln \frac{5}{2}$

B. $\ln \frac{5}{2}$

C. 2+ $\ln \frac{5}{2}$

D. $3+2\ln \frac{5}{2}$

Câu 7. Tích phân: $\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|x-2\right|dx$

A. 0

B. 2

C. 8

D. 4

Câu 8. Tích phân $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-x\right|dx$ bằng

A. $\frac{2}{3}$

B. 0

C. 1

D. $\frac{3}{2}$

Câu 9. Tính $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\frac{dx}{1+\left|1-x\right|}$?

A. 2ln3

B. ln3

C. ln2

D. ln6

Câu 10. Nếu${\int }_1^{4}f\left(x\right)dx=6$ và ${\int }_1^4 g\left(x\right)dx=-5$ thì ${\int }_1^4\left[f\right(x)-g(x\left)\right]$ bằng

A. -1.

B. -11.

C. 1.

D. 11.

Câu 11. Cho biết $\underset{2}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=3$, $\underset{2}{\overset{5}{\int }}g\left(x\right)dx=9$. Giá trị của $A=\underset{2}{\overset{5}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$ là:

A. Chưa xác định được

B. 12

C. 3

D. 6

Câu 12. Cho $2I={\int }_1^2(2x^3+\ln x)dx$. Tìm I?

A. $1+2\ln 2$

B. $\frac{13}{2}+2\ln 2$

C. $\frac{13}{4}+\ln 2$

D. $\frac{1}{2}+\ln 2$

Câu 13. Nếu $\underset{0}{\overset{10}{\int }}f\left(x\right)dx=17$ và $\underset{0}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)dx=12$ thì $\underset{8}{\overset{10}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng:

A. 5

B. 29

C. - 5

D. 15

Câu 14. f và g là hai hàm số theo x. Biết rằng $\forall x\in [a,b],f\text{'}\left(x\right)=g\text{'}\left(x\right)$

Trong các mệnh đề:

(I) $\forall x\in [a,b],f\text{'}\left(x\right)=g\left(x\right)$

(II) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$

(III) $\forall x\in [a;b],f\left(x\right)-f\left(a\right)=g\left(x\right)-g\left(a\right)$

Mệnh đề nào đúng?

A. I

B. II

C. Không có

D. III

Câu 15. Để $\underset{1}{\overset{k}{\int }}\left(k-4x\right)dx+3k+1=0$ thì giá trị của k là bao nhiêu ?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Câu 16. Nếu $\underset{0}{\overset{6}{\int }}f\left(x\right)dx=10$ và $\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=7$, thì $\underset{4}{\overset{6}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng:

A. 3

B. 17

C. 170

D. - 3

Câu 17. Tìm a sao cho $I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\text{[a}}^{\text{2}}{\text{+(4 - a)x + 4x}}^{\text{3}}\text{]dx = 12}$

A. Đáp án khác

B. a = - 3

C. a = 5

D. a = 3

Câu 18. Biết $\underset{0}{\overset{b}{\int }}\left(2x-4\right)dx=0$, khi đó b nhận giá trị bằng:

A. $b=1$ hoặc $b=4$

B. $b=0$ hoặc $b=2$

C. $b=1$ hoặc $b=2$

D. $b=0$ hoặc $b=4$

Câu 19. Cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{3x}dx=\frac{e^a-1}{b}$. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng

A. a = - b

B. a < b

C. a > b

D. a = b

Câu 20. Nếu $\underset{a}{\overset{d}{\int }}f\left(x\right)dx=5$; $\underset{b}{\overset{d}{\int }}f\left(x\right)dx=2$, với $a<d<b$ thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng:

A. - 2

B. 3

C. 8

D. 0

Câu 21. Cho tích phân $I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|2^x-4\right|dx$, trong các kết quả sau:

(I). $I=\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(2^x-4\right)dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(2^x-4\right)dx$

(II). $I=\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(2^x-4\right)dx-\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(2^x-4\right)dx$

(III). $I=2\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(2^x-4\right)dx$

Kết quả nào đúng?

A. Chỉ II.

B. Chỉ III

C. Cả I, II, III.

D. Chỉ I.

Câu 22. Cho hàm số y = f(x) liên tục và chỉ triệt tiêu khi x = c trên [a; b]. Các kết quả sau, câu nào đúng?

A. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx\ge \left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\right|$

B. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

C. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\left|\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx\right|+\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\right|$

D. A, B, C đều đúng

Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai về kết quả $\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left|\frac{x+1}{x-2}\right|dx=a\ln \frac{b}{c}-1$ ?

A. $a.b=3(c+1)$

B. $ac=b+3$

C. $a+b+2c=10$

D. $ab=c+1$

Câu 24. Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R thỏa mãn $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=2$. Khi đó giá trị tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$ là:

A. 2

B. 1

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{4}$

Câu 25. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b]. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

A. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

B. $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$ với mọi $x\in (a;b)$.

C. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=f\left(b\right)-f\left(a\right)$.

D. Hàm số G cho bởi $G\left(x\right)=F\left(x\right)+5$ cũng thỏa mãn $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=G\left(b\right)-G\left(a\right)$.

Câu 26. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho $g\left(x\right)\ne 0$ với mọi $x\in [a;b]$. Xét các khẳng định sau:

I. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$.

II. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$.

III. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$.

IV. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}dx=\frac{{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx}}{{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx}}$.

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 27. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu f là hàm số chẵn trên R thì $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx$.

B. Nếu $\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$ thì f là hàm số chẵn trên đoạn $[-1;1]$

C. Nếu $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=0$ thì f là hàm số lẻ trên đoạn $[-1;1]$

D. Nếu $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=0$ thì f là hàm số chẵn trên đoạn $[-1;1]$

Câu 28. Tích phân $\underset{0}{\overset{2}{\int }}k{e}^{x}dx$ (với k là hằng số )có giá trị bằng:

A. $k(e^2-1)$

B. $e^2-1$

C. $k(e^2-e)$

D. $e^2-e$

Câu 29. Tích phân $\underset{-1}{\overset{5}{\int }}\left|x^2-2x-3\right|dx$ có giá trị bằng

A. 0

B. $\frac{64}{3}$

C. 7.

D. 12,5.

Câu 30. Giá trị của a để đẳng thức $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[a^2+(4-4a)x+4x^3\right]dx=\underset{2}{\overset{4}{\int }}2xdx$ là đẳng thức đúng

A. 4.

B. 3.

C. 5

D. 6.

Đáp án