Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Công thức Nguyên hàm từng phần (2024) và cách giải các dạng bài tập

    Với Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất Toán lớp 12 Giải tích chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn bộ Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

    1 7,254 26/12/2023
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

    I. Lý thuyết

    Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

    ∫uxv'xdx=uxvx−∫u'xvxdx

    Hay ∫udv=uv−∫vdu

    II. Phương pháp giải

    Cách 1: Sử dụng định lý trên

    Bước 1. Chọn u, v sao cho f(x)dx = udv (chú ý dv = v'(x)dx).

    Sau đó tính v=∫dv và du = u'.dx.

    Bước 2. Thay vào công thức và tính v=∫vdu

    Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân ∫vdu dễ tính hơn ∫udv. Ta thường gặp các dạng sau

    Dạng 1. I=∫Pxsinxcosxdx, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt u=Pxdv=sinxcosxdx.

    Dạng 2. I=∫Pxeax+bdx, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt u=Pxdv=eax+bdx.

    Dạng 3. I=∫Pxlnmx+ndx, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt u=lnmx+ndv=Pxdx.

    Dạng 4. I=∫sinxcosxexdx. Ta đặt u=sinxcosxdv=exdx.

    Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” và dv phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln hay logax thì chọn u=lnx hay u=logax=1lna.lnx và dv = còn lại. Nếu không có ln; log thì chọn u = đa thức và dv = còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,….

    Cách 2: Sử dụng bảng

    Loại 1: Ví dụ: ∫x3exdx

    Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

    Vậy :

    ∫x3exdx=x3ex−3x2ex+6xex−6ex+C

    Loại 2: Nguyên hàm lặp. Ví dụ: ∫cosxexdx

    Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

    Vậy

    ∫cosxexdx=cosxex−−sinxex+∫−cosxexdx⇒∫cosxexdx=12cosx+sinxex

    III. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm

    a) I=∫xexdx

    b) I=∫xlnxdx

    Lời giải

    a) I=∫xexdx

    Đặt u=xdv=exdx⇒du=dxv=ex

    Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

    I=∫xexdx=xex−∫exdx=xex−ex+C

    b) I=∫xlnxdx

    Đặt u=lnxdv=xdx⇒du=dxxv=x22

    Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

    I=∫xlnxdx=12x2lnx−12∫xdx=12x2lnx−14x2+C

    Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:

    a) I=∫x2cosxdx

    b) I=∫sinx.exdx

    Lời giải

    Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

    Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 (ảnh 1)

    Tham khảo các loạt bài Toán 12 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 7,254 26/12/2023
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: