50 bài toán về tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ (có đáp án 2024) – Toán 12
Với cách giải các dạng toán về Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải môn Toán lớp 12 Hình học gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải lớp 12. Mời các bạn đón xem:
Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải - Toán lớp 12
I. LÝ THUYẾT
1. Tích vô hướng của hai vectơ
a) Tích vô hướng của hai vectơ
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ và được xác định bởi công thức:
b) Ứng dụng của tích vô hướng
+ Cho vectơ , khi đó độ dài của vectơ được tính theo công thức:
+ Cho hai điểm và . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ . Do đó ta có
+ Cho vectơ và . Khi đó góc giữa hai vectơ và được tính theo công thức:
(với )
+ Hai vectơ vuông góc: Cho vectơ và . Khi đó:
2. Tích có hướng của hai vectơ
a) Tích có hướng của hai vectơ
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ , . Tích có hướng của hai vectơ và kí hiệu là , được xác định bởi
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất của tích có hướng:
Từ đó suy ra 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi 3 vectơ không đồng phẳng hay và 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi
3. Ứng dụng của tích có hướng
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
1. Tích vô hướng của hai vectơ
Dạng 1: Tính biểu thức tọa độ tích vô hướng
Phương pháp giải:
Cho hai vectơ và , khi đó:
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho , . Khi đó bằng
A. 10
B. 2
C. 3
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Dạng 2: Tính độ dài của một vectơ
Phương pháp giải: Cho vectơ , khi đó độ dài của vectơ được tính theo công thức:
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho vectơ . Độ dài vectơ là
A.
B.
C. 21
D. 7
Hướng dẫn giải:
Độ dài vectơ là:
Chọn A.
Dạng 3: Khoảng cách giữa hai điểm
Phương pháp giải: Cho hai điểm và . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ . Do đó ta có
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho . Tọa độ của điểm M là
A. M (0; 0; 3).
B. M (0; 0; 2).
C. M (0; 0; -3).
D. M (0; 3; 0).
Hướng dẫn giải
Do M (0; 0; m)
Mặt khác nên
m – 3 = 0 m = 3
Suy ra M (0; 0; 3).
Chọn A.
Dạng 4: Góc giữa hai vectơ
Phương pháp giải: Cho vectơ và . Khi đó góc giữa hai vectơ và được tính theo công thức:
(với )
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1) và D (-2; 1; -1). Tính góc giữa hai vectơ và .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi là góc tạo bởi hai vectơ và .
Ta có:
Khi đó:
Chọn A.
Dạng 5: Tìm điều kiện để hai vectơ vuông góc
Phương pháp giải: Cho vectơ và . Khi đó:
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vec tơ, và . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
2. Tích có hướng của hai vectơ
Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
Dạng 1: Tính tích có hướng của hai vectơ
Phương pháp giải: Cho hai vectơ và , khi đó:
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho . Khi đó có tọa độ bằng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Dạng 2: Tìm điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Phương pháp giải: và đồng phẳng
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho vectơ . Giá trị của m để đồng phẳng là
A.
B.
C.
D. 1.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Dạng 3: Tính diện tích một số hình phẳng
Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức sau:
+) Diện tích hình bình hành ABCD:
+) Diện tích tam giác ABC:
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (1; 2; 1), B (2; 1; 3) và C (3; 2; 2). Diện tích tam giác ABC bằng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Dạng 4: Tính thể tích khối hộp và tứ diện
Phương pháp giải:
Áp dụng các công thức sau:
+) Thể tích khối hộp ABCD. A’B’C’D’:
+) Thể tích tứ diện ABCD:
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A (1; 2; 1), B (2; 1; 3), C (3; 2; 2), D (1; 1; 1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 1
B. 2
C.
D. 3.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 0; -2), B (2; 1; -1). Độ dài của đoạn thẳng AB là
A.
B.
C.
D.
Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ và . Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
B.
C.
D.
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ và . Tính.
A. P = -10
B. P = -40
C. P = 16
D. P = -34
Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ và. Tính .
A.
B.
C.
D.
Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho . Khi đó có tọa độ bằng
A. (0 ; 0 ; 0).
B. (1 ; 1 ; 1)
C. (2 ; 8 ; 2)
D. (1 ; -2 ; 1).
Câu 6: Cho bốn véc tơ , ,, . Chọn mệnh đề đúng.
A., , đồng phẳng.
B. , , đồng phẳng.
C. , , đồng phẳng.
D. , , đồng phẳng.
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A (1; 1; 1), B (4; 3; 2), C (5; 2; 1). Diện tích tam giác ABC là
A.
B.
C.
D.
Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (1; 0; 1), B (2; 0; -1), C (0; 1; 3), D (3; 1; 1). Thể tích khối tứ diện ABCD là
A.
B.
C. V = 4
D. V = 2.
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có A (-1; 0; 2), B (1; 1; -1), D (0; 1; 1), A’ (2; -1; 0). Thể tích V của khối hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là
A. V = 1.
B. V = 4.
C. V = 5.
D. V = 6.
Câu 10: Cho ba vectơ . Chọn mệnh đề đúng:
A. Ba vectơ đồng phẳng
B. Ba vectơ không đồng phẳng.
C. Ba vectơ cùng phương
D.
ĐÁP ÁN
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có đáp án và lời giải chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12 (sách mới)
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12 (sách mới) | Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12 (sách mới) | Giải bài tập GDQP 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12