50 bài toán về bất phương trình mũ và cách giải (có đáp án 2024) – Toán 12

Bất phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập - Toán lớp 12

I. LÝ THUYẾT

• Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

$\boxed{a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a>1\\ f\left(x\right)>g\left(x\right)\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}0<a<1\\ f\left(x\right)<g\left(x\right)\end{array}\right.\end{array}\right.}$

Tương tự với bất phương trình dạng:

$\left[\begin{array}{l}{a}^{f\left(x\right)}\ge a^{g\left(x\right)}\\ a^{f\left(x\right)}<a^{g\left(x\right)}\\ a^{f\left(x\right)}\le a^{g\left(x\right)}\end{array}\right.$

• Trong trường hợp cơ sốcó chứa ẩn số thì:

$\boxed{a^M>a^N\iff \left(a-1\right)\left(M-N\right)>0}$

• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

+ Đưa về cùng cơ số.

+ Đặt ẩn phụ.

+ Sử dụng tính đơn điệu:

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên D thì:

$f\left(u\right)<f\left(v\right)\Rightarrow u>v$

Hàm số y = f(x) đồng biến biến trên D thì:

$f\left(u\right)<f\left(v\right)\Rightarrow u<v$

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Bất phương trình mũ cơ bản

A. Phương pháp

Xét bất phương trình có dạng:

$a^x>b.$

- Nếu $b\le 0$, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì $a^x>b,\forall x\in ℝ.$.

- Nếu $b>0$ thì bất phương trình tương đương với $a^x>a^{{\log }_{a}b}.$

+Với $a>1$, nghiệm của bất phương trình là $x>{\log }_{a}b.$

+Với $0<a<1$, nghiệm của bất phương trình là $x<{\log }_{a}b.$

Chú ý

+ Xét bất phương trình: $a^{f\left(x\right)}>b\left(1\right)$

Nếu $\left\{\begin{array}{c}0<a\ne 1\\ b\le 0\end{array}\right.$ thì (1) luôn đúng.

Nếu $\left\{\begin{array}{c}b>0\\ 0<a<1\end{array}\right.$thì $\left(1\right)\iff f\left(x\right)<{\log }_{a}b$

Nếu $\left\{\begin{array}{c}b>0\\ 1<a\end{array}\right.$thì $\left(1\right)\iff f\left(x\right)>{\log }_{a}b$

+ Xét bất phương trình: $a^{f\left(x\right)}<b\left(2\right)$

Nếu $\left\{\begin{array}{c}0<a\ne 1\\ b\le 0\end{array}\right.$ thì (2) vô nghiệm.

Nếu $\left\{\begin{array}{c}b>0\\ 0<a<1\end{array}\right.$ thì $\left(2\right)\iff f\left(x\right)>{\log }_{a}b$

Nếu $\left\{\begin{array}{c}b>0\\ 1<a\end{array}\right.$ thì $\left(2\right)\iff f\left(x\right)<{\log }_{a}b$ : °aABC

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình $2^x>3^{x+1}$ là

A. $\left(-\infty ;{\log }_{2}3\right]$

B. $\left(-\infty ;{\log }_{\frac{2}{3}}3\right)$

C. $\varnothing$

D. $\left({\log }_{\frac{2}{3}}3;+\infty \right)$

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có:

$$\begin{gathered} 2^x>3^{x+1}\iff 2^x>{3.3}^x \\ \iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^x>3\iff x<{\log }_{\frac{2}{3}}3 \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của BPT là $S=\left(-\infty ;{\log }_{\frac{2}{3}}3\right)$.

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình $2^x+2^{x+1}\le 3^x+3^{x-1}$

A. $x\in \left[2;+\infty \right)$

B. $x\in \left(2;+\infty \right)$

C. $x\in \left(-\infty ;2\right)$

D. $\left(2;+\infty \right)$

Hướng dẫn giải

$$\begin{gathered} 2^x+2^{x+1}\le 3^x+3^{x-1} \\ \iff {3.2}^x\le \frac{4}{3}{.3}^x \\ \iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^x\ge \frac{9}{4} \\ \iff x\ge 2 \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của BPT là $S=\left[2;+\infty \right)$

Chọn D.

Câu 3: Nghiệm của bất phương trình $\frac{3^x}{3^x-2}<3$ là:

A. $\left[\begin{array}{l}x>1\\ x<{\log }_{3}2\end{array}\right.$

B. $x>{\log }_{3}2$

C. $x<1$

D. ${\log }_{3}2<x<1$

Hướng dẫn giải

$$\begin{gathered} \frac{3^x}{3^x-2}<3\iff \frac{3^x-3}{3^x-2}>0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}{3}^x>3\\ 3^x<2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x>1\\ x<{\log }_{3}2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Chọn A.

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình: ${81.9}^{x-2}+3^{x+\sqrt{x}}-\frac{2}{3}{.3}^{2\sqrt{x}+1}\ge 0$ là:

A. $S=\left[1;+\infty \right)\cup \left\{0\right\}$

B. $S=\left[1;+\infty \right)$

C. $S=\left[0;+\infty \right)$

D. $S=\left[2;+\infty \right)\cup \left\{0\right\}$

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình $2^x+{4.5}^x-4<{10}^x$ là:

A. $\left[\begin{array}{l}x<0\\ x>2\end{array}\right..$

B. $x<0.$

C. $x>2.$

D. $0<x<2.$

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

A. Phương pháp

Xét bất phương trình $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}$

Nếu a > 1 thì $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)>g\left(x\right)$ (cùng chiều khi a > 1)

Nếu 0 < a < 1 thì $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)<g\left(x\right)$ (ngược chiều khi 0 < a < 1)

Nếu a chứa ẩn thì $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff (a-1)\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]>0$(hoặc xét 2 trường hợp của cơ số).

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình $2^{x-1}>{\left(\frac{1}{16}\right)}^{\frac{1}{x}}$.

A. $S=\left(2;+\infty \right)$

B. $S=\left(-\infty ;0\right)$

C. $S=\left(0;+\infty \right)$

D. $S=\left(-\infty ;+\infty \right)$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Câu 2: Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x^2-2x}\ge \frac{1}{125}$.

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{5}\right)}^{x^2-2x}\ge \frac{1}{125} \\ \iff x^2-2x\le 3 \\ \iff \left(x+1\right)\left(x-3\right)\le 0 \\ \iff -1\le x\le 3 \end{gathered}$$

Vì phương trình tìm nghiệm nguyên dương nên các nghiệm là $x=\left\{1;2;3\right\}$.

Vậy có tất cả ba nghiệm nguyên dương của BPT.

Câu 3: Giải bất phương trình ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3x^2}<3^{2x+1}$ ta được tập nghiệm:

A. $\left(-\infty ;-\frac{1}{3}\right)$

B. $\left(1;+\infty \right)$

C. $\left(-\frac{1}{3};1\right)$

D. $\left(-\infty ;-\frac{1}{3}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3x^2}<3^{2x+1} \\ \iff 3x^2<2x+1 \\ \iff -\frac{1}{3}<x<1 \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của BPT là $S=\left(-\frac{1}{3};1\right)$.

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x+2}<{\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ là

A. $\left(-\infty ;-\frac{2}{3}\right)$

B. $\left(0;+\infty \right)\backslash \left\{1\right\}$

C. $\left(-\infty ;0\right)$

D. $\left(-\frac{2}{3};+\infty \right)$

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có :

$$\begin{gathered} 2^{x+2}<{\left(\frac{1}{4}\right)}^x\iff 2^{x+2}<2 \\ \iff x+2<-2x\iff x<-\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\infty ;-\frac{2}{3}\right)$.

Câu 5: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x+1}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3x-2}$

A. $S=\left(-\infty ;3\right)$

B. $S=\left(3;+\infty \right)$

C. $S=\left(-\infty ;-3\right)$

D. $S=\left(-\frac{1}{2};3\right)$

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x+1}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3x-2} \\ \iff 2x+1>3x-2 \end{gathered}$$

(vì $0<\frac{1}{2}<1$) $\iff x<3$

Vậy tập nghiệm của BPT có dạng $S=\left(-\infty ;3\right)$.

Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ

A. Phương pháp giải:

Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình: $3^{2x+1}-{10.3}^x+3\le 0$ là

A. $\left[-1;0\right)$

B. $\left(-1;1\right)$

C. $\left(0;1\right]$.

D. $\left[-1;1\right]$

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Câu 2: Nghiệm của bất phương trình $e^x+e^{-x}<\frac{5}{2}$ là

A. $x<\frac{1}{2}$ hoặc $x>2$.

B. $\frac{1}{2}<x<2$.

C. $-\ln 2<x<\ln 2$

D. $x<-\ln 2$ hoặc $x>\ln 2$.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có :

$$\begin{gathered} e^x+e^{-x}<\frac{5}{2}\iff e^x+\frac{1}{e^x}<\frac{5}{2} \\ \iff 2{\left(e^x\right)}^2-5e^x+2<0 \\ \iff \frac{1}{2}<e^x<2 \\ \iff -\ln 2<x<\ln 2 \end{gathered}$$

Câu 3: Nghiệm của bất phương trình $9^{x-1}-{36.3}^{x-3}+3\le 0$ là

A. $x\ge 1$

B. $x\le 3$

C. $1\le x\le 3$

D. $1\le x\le 2$

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Câu 4: Bất phương trình $9^x-3^x-6<0$ có tập nghiệm là

A. $\left(-\infty ;1\right)$

B. $\left(-\infty ;-2\right)\cup \left(3;+\infty \right)$

C. $\left(1;+\infty \right)$

D. $\left(-2;3\right)$.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

$$\begin{gathered} 9^x-3^x-6<0 \\ \iff {\left(3^x\right)}^2-3^x-6<0 \\ \iff -2<3^x<3\iff x<1 \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của BPT là $S=\left(-\infty ;1\right)$.

Câu 5: Tập hợp nghiệm của bất phương trình $3^{3x-2}+\frac{1}{{27}^x}\le \frac{2}{3}$ là

A. $\left(0;1\right).$

B. $\left(1;2\right).$

C. $\left\{\frac{1}{3}\right\}.$

D. $\left(2;3\right).$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

$$\begin{gathered} 3^{3x-2}+\frac{1}{{27}^x}\le \frac{2}{3} \\ \iff \frac{3^{3x}}{9}+\frac{1}{3^{3x}}\le \frac{2}{3} \\ \iff {\left(3^{3x}\right)}^2-{6.3}^{3x}+9\le 0 \\ \iff {\left(3^{3x}-3\right)}^2\le 0 \\ \iff 3^{3x}-3=0\iff x=\frac{1}{3}. \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của BPT là $S=\left\{\frac{1}{3}\right\}.$

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình $\frac{1}{3^x+5}\le \frac{1}{3^{x+1}-1}$ là:

A. $-1<x\le 1.$

B. $x\le -1.$

C. $x>1.$

D. $1<x<2.$

Hướng dẫn giải

Đặt $t=3^x$ ($t>0$), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

$$\begin{gathered} \frac{1}{t+5}\le \frac{1}{3t-1} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3t-1>0\\ 3t-1\le t+5\end{array}\right. \\ \iff \frac{1}{3}<t\le 3\iff -1<x\le 1. \end{gathered}$$

Chọn A.

Dạng 4. Phương pháp logarit hóa

A. Phương pháp

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Tìm tập của bất phương trình: $3^x{.5}^{x^2}<1$

A. $\left(-{\log }_{5}3;0\right]$

B. $\left[{\log }_{3}5;0\right)$

C. $\left(-{\log }_{5}3;0\right)$

D. $\left({\log }_{3}5;0\right)$

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có:

$$\begin{gathered} 3^x{.5}^{x^2}<1\iff {\log }_5\left(3^x{.5}^{x^2}\right)<0 \\ \iff x^2+x{\log }_{5}3<0 \\ \iff -{\log }_{5}3<x<0 \end{gathered}$$

nên $S=\left(-{\log }_{5}3;0\right)$

Câu 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=2^x{.3}^{x^2}$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $f\left(x\right)<1\iff x{\log }_{\frac{1}{3}}2-x^2>0$

B. $f\left(x\right)<1\iff x+x^2{\log }_{2}3>0$

C. $f\left(x\right)<1\iff x{\log }_{3}2+x^2<0$

D. $f\left(x\right)<1\iff x\ln 2+x^2\ln 3<0$

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có

$$\begin{gathered} f\left(x\right)<1\iff \left[\begin{array}{l}{\log }_{\frac{1}{3}}\left(2^x{.3}^{x^2}\right)<{\log }_{\frac{1}{3}}1\\ {\log }_2\left(2^x{.3}^{x^2}\right)<{\log }_{2}1\\ {\log }_3\left(2^x{.3}^{x^2}\right)<{\log }_{3}1\\ \ln \left(2^x{.3}^{x^2}\right)<\ln 1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x{\log }_{\frac{1}{3}}2-x^2>0\\ x+x^2{\log }_{2}3<0\\ x{\log }_{3}2+x^2<0\\ x\ln 2+x^2\ln 3<0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án sai là B.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{{2.3}^x-2^{x+2}}{3^x-2^x}\le 1$ là:

A. $x\in \left(0;{\log }_{\frac{3}{2}}3\right].$

B. $x\in \left(1;3\right).$

C. $x\in \left(1;3\right].$

D. $x\in \left[0;{\log }_{\frac{3}{2}}3\right].$

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình $4^x+4^{x+2}+4^{x+4}\ge 5^x+5^{x+2}+5^{x+4}$ là:

A. $T=\left(-\infty ;{\log }_{\frac{4}{5}}\frac{31}{13}\right].$

B. $T=\left[{\log }_{\frac{4}{5}}\frac{31}{13};+\infty \right).$

C. $T=\left(-\infty ;{\log }_{\frac{4}{5}}\frac{31}{13}\right).$

D. $T=\left({\log }_{\frac{4}{5}}\frac{31}{13};+\infty \right).$

Câu 3: Cho bất phương trình: $3^x+3^{x+1}+3^{x+2}\le 4^x+4^{x+1}+4^{x+2}\left(1\right)$

Tập nghiệm của bất phương trình (1) là:

A. $\left[{\log }_{\frac{3}{4}}\frac{21}{13};+\infty \right)$

B. $\left(-\infty ;{\log }_{\frac{3}{4}}\frac{21}{13}\right]$

C. $\left({\log }_{\frac{3}{4}}\frac{21}{13};+\infty \right)$

D. $\left(-\infty ;{\log }_{\frac{3}{4}}\frac{21}{13}\right)$.

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình $3^x.x^2+54x+{5.3}^x>9x^2+6x{.3}^x+45$ là:

A. $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(2;+\infty \right)$.

B. $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(2;5\right)$.

C. $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(5;+\infty \right)$.

D. $\left(1;2\right)\cup \left(5;+\infty \right)$.

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình $\left(2^x-4\right)\left(x^2-2x-3\right)<0$ là

A. $\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(2;3\right)$

B. $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(2;3\right)$

C. $\left(2;3\right)$

D. $\left(-\infty ;-2\right)\cup \left(2;3\right)$

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình $3^{x+2}\ge \frac{1}{9}$ là:

A. $x\ge -4$

B. $x<0$

C. $x>0$

D. $x<4$.

Câu 7: Tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình: $2^{-\left|x\right|}>\frac{1}{8}$

A. x > 3 hoặc x < -3.

B. -3

C. x < -3

D. x >3

Câu 8: Giải bất phương trình $2^{-x^2+3x}>4$

A. $\left[{}_{x<1}^{x>2}\right.$

B. $2<x<4$

C. $1<x<2.$

D. $0<x<2.$

Câu 9: Tìm tập nghiệm của bất phương trình $0,3^{x^2+x}>0,09$

A. $\left(-\infty ;-2\right)$

B. $\left(-\infty ;-2\right)\cup \left(1;+\infty \right)$

C. $\left(-2;1\right)$

D. $\left(1;+\infty \right)$.

Câu 10: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${\left(\frac{\pi }{3}\right)}^{\frac{1}{x}}<{\left(\frac{\pi }{3}\right)}^{\frac{3}{x}+5}$

A. $S=\left(-\infty ;\frac{-2}{5}\right)$

B. $S=\left(-\infty ;\frac{-2}{5}\right)\cup \left(0;+\infty \right).$

C. $S=\left(0;+\infty \right).$

D. $S=\left(\frac{-2}{5};+\infty \right).$

Câu 11: Tập các số x thỏa mãn ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{4x}\le {\left(\frac{3}{2}\right)}^{2-x}$ là:

A. $\left(-\infty ;\frac{2}{3}\right]$

B. $\left[-\frac{2}{3};+\infty \right)$

C. $\left(-\infty ;\frac{2}{5}\right]$

D. $\left[\frac{2}{5};+\infty \right)$

Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình ${\left(\sqrt{5}-2\right)}^{\frac{2x}{x-1}}\le {\left(\sqrt{5}+2\right)}^x$ là:

A. $\left(-\infty ;-1\right]\cup \left[0;1\right]$

B. $\left[-1;0\right]$

C. $\left(-\infty ;-1\right)\cup \left[0;+\infty \right)$

D. $\left[-1;0\right]\cup \left(1;+\infty \right)$.

Câu 13: Nghiệm của bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{9x^2-17x+11}\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^{7-5x}$ là

A. $x\le \frac{2}{3}$

B. $x>\frac{2}{3}$

C. $x\ne \frac{2}{3}$

D. $x=\frac{2}{3}$

Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{1}{2^{\sqrt{x^2-2x}}}-\frac{2^x}{2}\le 0$ là

A. $\left[0;2\right]$

B. $\left(-\infty ;1\right]$

C. $\left(-\infty ;0\right]$

D. $\left[2;+\infty \right)$.

Câu 15: Bất phương trình ${2.5}^{x+2}+{5.2}^{x+2}\le 133.\sqrt{{10}^x}$ có tập nghiệm là $S=\left[a;b\right]$ thì bằng

A. 6.

B. 10.

C. 12.

D. 16.

Câu 16: Bất phương trình ${2.5}^{x+2}+{5.2}^{x+2}\le 133.\sqrt{{10}^x}$ có tập nghiệm là $S=\left[a;b\right]$ thì $b-2a$ bằng

A. 6.

B. 10.

C. 12.

D. 16.

Câu 17: Giải bất phương trình $2^{\frac{4x-1}{2x+1}}<2^{\frac{2-2x}{2x+1}}+1.$

A. $\left[\begin{array}{c}x<-\frac{1}{2}\\ x>1\end{array}\right.$

B. $-\frac{1}{2}<x<1$

C. $x>1$

D. $x<-\frac{1}{2}$.

Câu 18: Tìm m để bất phương trình $m{.9}^x-(2m+1){.6}^x+m{.4}^x\le 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left(0;1\right)$.

A. $0\le m\le 6$

B. $m\le 6$

C. $m\ge 6$

D. $m\le 0$

ĐÁP ÁN