Công thức tìm tâm, bán kính của mặt cầu chi tiết nhất – Toán 12
Với Công thức tìm tâm, bán kính của mặt cầu chi tiết nhất Toán lớp 12 Hình học chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn bộ Công thức tìm tâm, bán kính của mặt cầu chi tiết nhất biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:
Công thức tìm tâm, bán kính của mặt cầu chi tiết nhất - Toán lớp 12
1. Định nghĩa mặt cầu
- Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r. Đoạn OM là bán kính của mặt cầu.
- Người ta kí hiệu mặt cầu tâm O bán kính r là S(O; r) hay (S)
- Nếu hai điểm C, D nằm trên (S) thì đoạn CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó.
- Dây cung AB đi qua O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó độ dài đường kính bằng r
- Một mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó.
2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu
- Phương pháp:
+ Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách O cố định một khoảng bằng r cho trước là mặt cầu tâm O bán kính r
+ Tập hợp tất cả những điểm M nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính AB.
+ Tập hợp tất cả những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách tứ M tới A, B cố định bằng một hằng số là mặt cầu có tâm là trung điểm O của đoạn AB và bán kính
+ Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp hoặc khối lăng trụ có tâm nằm trên trục của đa giác đáy (qua tâm đường tròn ngoại tiếp và vuông góc với đa giác đáy)
+ Mặt cầu giao mặt phẳng theo đường tròn có bán kính r và khoảng cách từ tâm O của mặt cầu tới mặt phẳng là d. Khi đó bán kính mặt cầu là
3. Các ví dụ
VD1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu trong các trường hợp sau đây:
a. Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương
b. Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương
c. Tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương
Lời giải:
a. Gọi O là trung điểm của đường chéo AC’. Khi đó O cách đều 8 đỉnh của hình lập phương tâm của mặt cầu đi qua 8 đỉnh là O
Bán kính
Ta có tam giác AA’C vuông tại A’ có :
Vậy
b. Ta thấy khoảng cách từ O tới cách cạnh của hình lập phương đều bằng nhau.
Gọi H là trung điểm của AA’
Mà OH là đường trung bình tam giác AA’C’ nên
Vậy mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương là mặt cầu
c. Ta thấy O cách đều 6 mặt bên của hình lập phương (I là tâm của hình vuông)
Do đó
Vậy mặt cầu tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương là mặt cầu
VD2. Cho 2 điểm A và B cố định và . Một điểm M thay đổi trong không gian thỏa mãn . Chứng minh rằng M thuộc một mặt cầu cố định. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Lời giải:
VD3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, . Biết SA vuông góc với đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Lời giải:
Ta xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Do ABC vuông tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm D của AC.
Từ D ta kẻ đường thẳng d vuông góc với đáy d // SA
Gọi O là giao của d với SC là trung điểm của SC
Ta thấy O thuộc trục của đáy nên
Mặt khác O là trung điểm của SC nên
Do vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bán kính
VD4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh a. Cạnh bên . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
Lời giải:
Do S.ABC đều nên trục là đường cao SH
Ta có H là trọng tâm tam giác ABC nên :
Kẻ đường trung trực d của SA. Khi đó
Tam giác SIO và SHA đồng dạng nên:
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
VD5. Cho mặt cầu (S) tâm O. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là . Biết . Tính bán kính R của (S).
Lời giải:
Bán kính đường tròn thiết diện là:
Khi đó bán kính của (S) là:
Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 12 đầy đủ và chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12 (sách mới)
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12 (sách mới) | Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12 (sách mới) | Giải bài tập GDQP 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12