Công thức nguyên hàm đổi biến đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

Công thức nguyên hàm đổi biến đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lý thuyết

Định lí 1: Nếu $\int f\left(u\right)du=F\left(u\right)+C$ và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì $\int f\left(u\left(x\right)\right)u\text{'}\left(x\right)d\text{x}=F\left(u\left(x\right)\right)+C$

Hệ quả: Nếu $u=ax+b\left(a\ne 0\right)$ thì ta có $\int f\left(ax+b\right)d\text{x}=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C$

- Ở phương pháp này người ta chia ra các dạng như sau:

+ Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có hoặc biến đổi được biểu thức và đạo hàm của biểu thức đó:$\int f\left(u\left(x\right)\right)u\text{'}\left(x\right)d\text{x}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Đặt $t=u\left(x\right)\Rightarrow dt=u\text{'}\left(x\right)dx$

Bước 2: Thay vào nguyên hàm ta được $\int f\left(u\left(x\right)\right).u\text{'}\left(x\right)dx=\int f\left(t\right)dt$. Đưa về bảng nguyên hàm cơ bản

Bước 3: Sau đó thay trả lại biến x.

Dấu hiệu đặt:

Dạng 2: Đặt $x=\phi \left(t\right).$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau:

a) $I=\int \sqrt{2x-1}dx$

b) $I=\int x{(x^2+1)}^{3}dx\cdot$

c) $I=\int \frac{2xdx}{\sqrt[3]{x^2+4}}$

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:

a) $I=\int \frac{\ln x}{x}dx$

b) $I=\int {\sin }^{4}x\cos xdx$

c) $I=\int e^{\sin x}\cos xdx$

d) $I=\int \frac{dx}{e^x+2}$

Lời giải