Các dạng toán về phương trình mặt cầu và cách giải (2024) chi tiết nhất

Các dạng toán về phương trình mặt cầu và cách giải - Lớp 12

I. LÝ THUYẾT

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) và bán kính R có phương trình là

$\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$(1).

Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$ (2) với $d=a^2+b^2+c^2-R^2$

Từ đó ta có phương trình (2) với điều kiện $a^2+b^2+c^2-d>0$ là phương trình mặt cầu tâm I (-a; -b; -c) có bán kính là $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$

Đặc biệt nếu mặt cầu (S) có $\left\{\begin{array}{l}\text{tâm }O\left(0;0;0\right)\\ \text{bán kính }R\end{array}\right.$ thì phương trình mặt cầu (S) là

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2=R^2$

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để (S) là một mặt cầu.

Phương pháp giải:

Xét phương trình :

$\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$

Khi đó mặt cầu có tâm I (a; b; c), bán kính R

+) Xét phương trình :

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$

Khi đó mặt cầu có:

$\left\{\begin{array}{l}\text{tâm }I\left(a;b;c\right)\\ \text{bán kính }R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}\end{array}\right.$

Điều kiện để (S) là phương trình mặt cầu là $a^2+b^2+c^2-d>0$

+) Đặc biệt: $\left(S\right):x^2+y^2+z^2=R^2$, suy ra (S) có $\left\{\begin{array}{l}\text{tâm }O\left(0;0;0\right)\\ \text{bán kính }R\end{array}\right.$

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=9$. Tính tọa độ tâm I và bán kính R của (S).

A. I (-1; 2; 1) và R = 3

B. I (1; -2; -1) và R = 3

C. I (-1; 2; 1) và R = 9

D. I (1; -2; -1) và R = 9

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương trình mặt cầu $\left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=9$, ta có tâm $I(-1;2;1)$ và $R=\sqrt{9}=3$.

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z-2=0$. Tính tọa độ tâm I và bán kính R của (S).

A. Tâm I (-1; 2; -3) và bán kính R = 4

B. Tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 4

C. Tâm I (-1; 2; 3) và bán kính R = 4

D. Tâm I (1; -2; 3) và bán kính R = 16.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho phương trình $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2\left(3-m\right)x-2\left(m+1\right)y-2mz+2m^2+7=0$. Tìm tất cả giá trị của m để (S) là một phương trình mặt cầu.

A. $\left[\begin{array}{l}m<2\\ m>3\end{array}\right.$

B. $1\le m\le 3$

C. $\left[\begin{array}{l}m<1\\ m>3\end{array}\right.$

D. $\left[\begin{array}{l}m=1\\ m=3\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tâm I (a; b; c).

Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

Bước 3: Thế vào phương trình (S):

Dạng phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và bán kính R.

$\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A (-1; 2; 0), viết phương trình mặt cầu tâm A bán kính bằng 4

A. $\left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+z^2=16$

B. $\left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+z^2=4$

C. $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+z^2=16$

D. $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+z^2=4$

Hướng dẫn giải

Dạng phương trình mặt cầu :

$\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$

Tâm là A suy ra a = -1, b = 2, c = 0 và R = 4

Thế vào phương trình mặt cầu (S) ta được :

$\left(S\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+z^2=16$

Chọn A.

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho A (-2; 1; 0), B (2; -1; 2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm B và đi qua điểm A.

A. $\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{(z-2)}^2=\sqrt{24}$

B. $\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{(z-2)}^2=24$

C. $\left(S\right):{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+z^2=24$

D. $\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{(z-2)}^2=24$

Hướng dẫn giải

Dạng phương trình mặt cầu :

$\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$

Tâm B (2; -1; 2).

Bán kính :

$$\begin{gathered} R=\left|\overrightarrow{AB}\right| \\ =\sqrt{{\left(2+2\right)}^2+{\left(-1-1\right)}^2+{\left(2-0\right)}^2} \\ =\sqrt{24} \end{gathered}$$

Vậy phương trình mặt cầu là:

$\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{(z-2)}^2=24$

Chọn B.

Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và tiếp xúc với mặt phẳng

Phương pháp giải:

Cho điểm I (a; b; c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên ta có

$R=d\left(I;\left(P\right)\right)=\frac{|Aa+Bb+Cc+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Từ đó viết được phương trình mặt cầu tâm I và bán kính R đã tính phía trên.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 1; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0. Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) là

A. ${\left(\text{x }–2\right)}^2+{\left(\text{y}-1\right)}^2+{\left(\text{z}-1\right)}^2=4$

B. ${\left(\text{x}-2\right)}^2+{\left(\text{y}-1\right)}^2+{\left(\text{z}-1\right)}^2=9$

C. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=3$

D. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=5$

Hướng dẫn giải :

Vì mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính của mặt cầu là

$$\begin{gathered} R=d\left(A;\left(P\right)\right) \\ =\frac{|2.2-1+2.1+1|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}}=2 \end{gathered}$$

Vậy phương trình mặt cầu là :

${\left(\text{x }–2\right)}^2+{\left(\text{y}-1\right)}^2+{\left(\text{z}-1\right)}^2=4$

Chọn A.

Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và tiếp xúc với đường thẳng

Phương pháp giải:

Cho điểm I (a; b; c) và đường thẳng d.

Gọi H là tiếp điểm của đường thẳng d và mặt cầu tâm I. Tìm H.

Khi đó bán kính của mặt cầu R = IH.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+3}{-1}$ và điểm I (1; -2; 3). Phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với d là

A. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=5\sqrt{2}.$

B. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=50.$

C. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=50$

D. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=50$

Hướng dẫn giải

Gọi H là tiếp điểm của đường tròn lớn tâm I và đường thẳng d.

Vì H thuộc d nên H (-1 + 2t; 2 + t; -3 – t). Suy ra $\overrightarrow{IH}=\left(2t-2;t+4;-t-6\right)$.

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u_d}=\left(2;1;-1\right)$

Vì IH vuông góc với đường thẳng d nên

$\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{u_d}=0$

$\iff$(2t – 2).2 + (t + 4).1 + (-t – 6 ).(-1) = 0

$\iff$t = -1

Suy ra $\overrightarrow{IH}=\left(-4;3;-5\right)$.

Vì mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng nên bán kính của mặt cầu:

R = IH

= $\sqrt{{\left(-4\right)}^2+3^2+{\left(-5\right)}^2}=5\sqrt{2}$

Vậy phương trình mặt cầu là ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=50.$

Chọn B.

Dạng 5: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và đường thẳng d cắt mặt cầu theo dây cung AB

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d

Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính độ dài dây cung AB. Suy ra độ dài AH (với H là trung điểm AB)

Bước 3: Tính IA theo định lý Pytago cho tam giác vuông AIH. Suy ra bán kính R = IA.

Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và bán kính R đã tính bên trên.

Ví dụ 8: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (2; 3; -1) và cắt đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-4}=\frac{z}{1}$ tại hai điểm A, B với AB = 16.

A. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=76$

B. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=76$

C. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=66$

D. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=56$

Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d.

Vì H thuộc d nên H (-1 + t; 1 – 4t; t). Suy ra $\overrightarrow{IH}=\left(t-3;-4t-2;t+1\right)$

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}=\left(1;-4;1\right)$

Vì IH vuông góc với đường thẳng d nên

$\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{u_d}=0$

$\iff$(t – 3).1 + (-4t – 2).(-4) + (t + 1).1 = 0

$\iff t=-\frac{1}{3}$.

Suy ra $\overrightarrow{IH}=\left(-\frac{10}{3};-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$ nên

$IH=\sqrt{{\left(-\frac{10}{3}\right)}^2+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=2\sqrt{3}$

Vì AB = 16 nên $HA=\frac{1}{2}AB=8$

Áp dụng định lí Py – ta – go trong tam giác vuông IAB ta có:

$$\begin{gathered} I{A}^2=I{H}^2+H{A}^2 \\ ={\left(2\sqrt{3}\right)}^2+8^2=76 \\ \Rightarrow IA=2\sqrt{19} \end{gathered}$$

Vậy bán kính mặt cầu là R = IA = $2\sqrt{19}$

Khi đó phương trình mặt cầu là ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=76$

Chọn A.

Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và mặt cầu cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn (C)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P)

Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính bán kính r của đường tròn giao tuyến. Suy ra bán kính mặt cầu $R=\sqrt{d^2(I,(P\left)\right)+r^2}$

Bước 3: Kết luận phương trình mặt cầu (S)

Ví dụ 9: Cho mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; 1) và mặt phẳng (Q): 2x – y + z + 7 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là $20\pi$.

A. ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+1\right)}^2=\frac{110}{3}$

B. ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z-1\right)}^2=\frac{110}{3}$

C. ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z-1\right)}^2=\frac{100}{3}$

D. ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z-1\right)}^2=110$

Hướng dẫn giải:

Ta có :

$$\begin{gathered} d\left(I,\left(Q\right)\right)=\frac{|2.1-0+1+7|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+1^2}} \\ =\frac{5\sqrt{6}}{3} \end{gathered}$$

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có diện tích đường tròn giao tuyến là $20\pi =\pi r^2\iff r=2\sqrt{5}.$

Gọi R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:

$$\begin{gathered} R=\sqrt{{\left[d\left(I,\left(Q\right)\right)\right]}^2+r^2} \\ =\sqrt{{\left(\frac{5\sqrt{6}}{3}\right)}^2+{\left(2\sqrt{5}\right)}^2} \\ =\frac{\sqrt{330}}{3}. \end{gathered}$$

Vậy (S):

${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z-1\right)}^2=\frac{110}{3}$

Chọn B.

Dạng 7: Phương trình mặt cầu biết tâm thuộc một đường thẳng và thỏa mãn một điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

Bước 1: Rút tọa độ tâm I theo đường thẳng d đã cho trước.

Giả sử điểm I là tâm của mặt cầu và đường thẳng d có phương trình

$d:\left\{\begin{array}{c}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}\right.$

Khi đó nếu $I\in d$ thì ta có $I(x_0+at;y_0+bt;z_0+ct)$

Bước 2: Dựa vào yêu cầu bài toán lập một phương trình theo biến t để giải

$\Rightarrow$ Tọa độ tâm I

Bước 3: Xác định bán kính R của mặt cầu

Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S).

Ví dụ 10: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1\\ z=-t\end{array}\right.$ và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng $\left(\alpha \right):$ x + 2y + 2z + 3 = 0 và $\left(\beta \right):$ x + 2y + 2z + 7 = 0.

A. ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=\frac{4}{9}$

B. ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=\frac{4}{9}$

C. ${\left(x+3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=\frac{4}{9}$

D. ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=\frac{4}{9}$

Hướng dẫn giải:

Do I thuộc d nên tâm mặt cầu có tọa độ dạng I (t; -1; -t). Khi đó do (S) tiếp xúc với (P), (Q) nên khoảng cách từ I tới (P), (Q) là bằng nhau và cùng bằng bán kính mặt cầu.

$$\begin{gathered} d\left(I;\left(P\right)\right)=d\left(I;\left(Q\right)\right) \\ \iff \frac{\left|t+2.\left(-1\right)+2.\left(-t\right)+3\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} \\ =\frac{\left|t+2.\left(-1\right)+2.\left(-t\right)+7\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} \\ =R \end{gathered}$$

Hay $\left|-t+1\right|=\left|-t+5\right|$

$\iff \left[\begin{array}{c}-t+1=-t+5\\ -t+1=t-5\end{array}\right.$

$\Rightarrow$t = 3 $\Rightarrow$I (3; -1; -3).

Thay vào phương trình khoảng cách ta được $R=\frac{2}{3}$. Vậy phương trình mặt cầu: ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=\frac{4}{9}$

Chọn D

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1 : Mặt cầu:

$\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+z^2=9$ có tâm I là :

A. I (1 ; -2 ; 0)

B. I (-1 ; 2 ; 0)

C. I (1 ; 2 ; 0)

D. I (-1 ; -2 ; 0).

Câu 2 : Mặt cầu:

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2-8x+2y+1=0$ có tâm I là :

A. I (8 ; -2 ; 0)

B. I (-4 ; 1 ; 0)

C. I (-8 ; 2 ; 0)

D. I (4 ; -1 ; 0).

Câu 3 : Mặt cầu:

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2-4x+1=0$ có tọa độ tâm I và bán kính R là :

A. I (2; 0; 0), $R=\sqrt{3}.$

B. I (2; 0; 0), $R=3.$

C. I (0; 2; 0), $R=\sqrt{3}.$

D. I (-2; 0; 0), $R=\sqrt{3}.$

Câu 4: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

A. $x^2+y^2+z^2-2x=0.$

B. $x^2+y^2-z^2+2x-y+1=0.$

C. $2x^2+2y^2={\left(x+y\right)}^2-z^2+2x-1.$

D. ${\left(x+y\right)}^2=2xy-z^2-1.$

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giả sử tồn tại mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+8y-2az+6a=0$. Nếu (S) có đường kính bằng 12 thì a nhận những giá trị nào?

A. $\left[\begin{array}{l}a=-2\\ a=8\end{array}\right.$

B. $\left[\begin{array}{l}a=2\\ a=-8\end{array}\right.$

C. $\left[\begin{array}{l}a=-2\\ a=4\end{array}\right.$

D. $\left[\begin{array}{l}a=2\\ a=-4\end{array}\right.$

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Mặt cầu tâm I (1; 3; 2), bán kính R = 4 có phương trình

A. ${(x-1)}^2+{(y-3)}^2+{(x-2)}^2=4$

B. $(x-1)+(y-3)+(x-2)=16$

C. ${(x-1)}^2+{(y-3)}^2+{(x-2)}^2=16$

D. ${(x-1)}^2+{(y-3)}^2+{(x-2)}^2=8$

Câu 7: Trong không gian Oxyz cho A (-2; 1; 0), B (2; -1; 2). Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là AB.

A. $\left(S\right):{\text{ x}}^2+y^2+{(z-1)}^2=24$

B. $\left(S\right):{\text{ x}}^2+y^2+{(z-1)}^2=\sqrt{6}$

C. $\left(S\right):{\text{ x}}^2+y^2+{(z-1)}^2=6$

D. $\left(S\right):{\text{ x}}^2+y^2+{(z-1)}^2=\sqrt{24}$

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; -3) và đi qua A (1; 0; 4).

A. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=\sqrt{53}.$

B. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=53.$

C. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=53.$

D. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=53.$

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I (-1; 2; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 2 = 0 là

A. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=3$

B. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=9$

C. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=3$

D. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$

Câu 10: Trong không gian Oxyz, mặt cầu:

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y-4=0$ cắt mặt phẳng (P): x + y – z + 4 = 0 theo giao tuyến là đường tròn (C). Tính diện tích S của hình tròn giới hạn bởi (C).

A. $S=6\pi$

B. $S=\frac{2\pi \sqrt{78}}{3}$

C. $S=\frac{26\pi }{3}$

D. $S=2\sqrt{6}\pi$

Câu 11: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua hai điểm A (2; 6; 0), B (4; 0; 8) và có tâm thuộc $d:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{2}=\frac{z+5}{1}$

A. ${\left(x-\frac{32}{3}\right)}^2+{\left(y+\frac{58}{3}\right)}^2+{\left(z+\frac{44}{3}\right)}^2=932$

B. ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+5\right)}^2=\frac{244}{9}$

C. ${\left(x+\frac{32}{3}\right)}^2+{\left(y-\frac{58}{3}\right)}^2+{\left(z-\frac{44}{3}\right)}^2=932$

D. ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=932$

ĐÁP ÁN