Công thức tính tích phân hàm mũ, logarit đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

Công thức tính tích phân hàm mũ, logarit đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lý thuyết

Phương pháp đổi biến của hàm số chữa mũ và logarit thường gặp

Phương pháp tích phân từng phần

Công thức tích phân từng phần: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv=uv{|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu$

Chú ý: Cần phải lựa chọn u và d v hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân $\int v\text{d}u$ dễ tính hơn $\int u\text{d}v$. Ta thường gặp các dạng chứa hàm số mũ, logarit như sau:

Dạng 1. $I=\int P\left(x\right)e^{ax+b}\text{d}x$, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt $\left\{\begin{array}{l}u=P\left(x\right)\\ \text{d}v=e^{ax+b}\text{d}x\end{array}\right.$.

Dạng 2. $I=\int P\left(x\right)\ln \left(mx+n\right)\text{d}x$, trong đó P(x) là đa thức. Ta đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(mx+n\right)\\ \text{d}v=P\left(x\right)\text{d}x\end{array}\right.$

Dạng 3. $I=\int \left[\begin{array}{l}\sin x\\ \cos x\end{array}\right]e^x\text{d}x$. Ta đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\left[\begin{array}{l}\sin x\\ \cos x\end{array}\right]\\ \text{d}v=e^x\text{d}x\end{array}\right.$

Thứ tự ưu tiên đặt u: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” và dv = phần còn lại.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

a) $I=\underset{0}{\overset{\ln 3}{\int }}\frac{e^x}{\sqrt{{\left(e^x+1\right)}^3}}dx$

b) $I={\int }_1^{e^3}\frac{{\ln }^{3}x}{x\sqrt{1+\ln x}}dx$

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

a) $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{e}^{\sin x}\sin 2xdx$

b) $I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\ln (x+1)}{x^2}dx$

Lời giải

b) $I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\ln (x+1)}{x^2}dx$