50 bài tập về biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số (có đáp án 2024) – Toán 12

Với cách giải các dạng toán về Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số môn Toán lớp 12 Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số lớp 12. Mời các bạn đón xem:

1 11664 lượt xem
Tải về


Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số - Toán lớp 12

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Đưa phương trình g(x;m) = 0 về các dạng bài sau:

Dạng 1: f(x) = h(m), trong đó h(m) là một hàm phụ thuộc vào tham số m.

- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x), tìm các giá trị cực đại, cực tiểu, giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của miền xác định của hàm số y = f(x).

- Đường thẳng y = h(m) di động song song với trục hoành, dựa vào số giao điểm của đường thẳng y = h(m) với đồ thị hàm số y = f(x) để biện luận số nghiệm của phương trình g(x;m) = 0.

Dạng 2: f(x)=ax+b, trong đó a cố định, b thay đổi.

- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).

- Tìm các tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) có hệ số góc cho trước là a.

- Tìm giao điểm của tiếp tuyến với trục tung ( hoặc trục hoành) và giao điểm của đường thẳng y=ax+b với trục tung ( hoặc trục hoành). Cho b di động trên trục tung để suy ra số nghiệm của phương trình g(x;m).

Dạng 3: f(x)=ax+b, trong đó a thay đổi, b tùy ý.

- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).

- Tìm điểm A(x0,y0) là điểm cố định của đường thẳng y=ax+b.

- Viết các phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) đi qua A.

- Cho đường thẳng y=ax+b xoay quanh điểm cố định A. Từ đó suy ra nghiệm của phương trình g(x;m) = 0.

Chú ý:

- Nếu hàm số y = f(x) có miền xác định là đoạn thẳng [a,b] thì đồ thị hàm số y =f(x) ta chỉ xét phần x [a,b].

- Một số bài toán đặt ẩn phụ t = (x), với (x) là một biểu thức trong phương trình ban đầu thì:

+ Dựa vào miền xác định của x để tìm miền xác định của t.

+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(t) rồi làm giống như trên.

- Đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối.

1. Dạng y = |f(x)|.

+ Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y = f(x).

+ Lấy các phần của ( C) ở phía trên trục hoành.

+ Lấy thêm phần đối xứng qua trục hoành của các phần của ( C) phía dưới trục hoành.

2. Dạng y=f(x)g(x)

+ Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y = f(x).

+ Lấy các phần của ( C) tương ứng với x sao cho g(x) >0.

+ Lấy thêm phần đối xứng qua trục hoành của các phần của ( C) tương ứng với x sao cho g(x) <0.

3. Dạng y=f(x)g(x) làm tương tự như mục 2.

4. Dạng y = f(x) + |g(x)|.

Đồ thị gồm 2 phần:

+ Đồ thị ( C) y= f(x) + g(x) tương ứng với x sao cho g(x) >0.

+ Đồ thị ( C’) y = f(x) – g(x) tương ứng với x sao cho g(x) <0.

5. Dạng y = f(|x|).

+ Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y= f(x).

+ Lấy phần của ( C) bên phải trục oy tương ứng với x>0.

+ Lấy thêm phần đối xứng qua trục oy của phần của ( C) bên phải trục oy.

Mở rộng: Đối với bài toán bất phương trình làm tương tự, lưu ý:

Giả sử hàm f(x) tồn tại Max-Min trên R. Ta có:

mfx,  xmMaxfxmfx,  xmMinfxm>fx,  xm>Maxfxm<fx,  xm<Minfx

- Nếu hàm f(x) không tồn tại Max-Min trên R, tuy nhiên thông qua bảng biến thiên ta tìm được điều kiện bị chặn: M1<fx<M2, khi đó:

mfx,  xmM2mfx,  xmM1m>fx,  xmM2m<fx,  xmM1

Mở rộng: Đối với dạng bài tập phương trình tương giao.

- Cách giải: Chuyển tất cả ẩn, tham số của phương trình về 1 vế, ta sẽ được phương trình mới có dạng: g(x;m) = 0.

Như vậy, bài toán đã được đưa về dạng cơ bản. Tuỳ từng phương trình, chọn cách giải thích hợp.

B. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Cho hàm số y=2x33x2+1 có đồ thị (C). Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2x33x2m1=0 (*)

Lời giải

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Đồ thị (C)

Ta có:

2x33x2m1=02x33x2+1=m+2

Vậy số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: y=m+2.

- Với m+2<0 hoặc m+2>1m<2 hoặc m>1 thì d và (C) có một điểm chung phương trình (*) có một nghiệm.

- Với m+2=0 hoặc m+2=1m = –2 hoặc m = –1 thì d và (C) có hai điểm chung phương trình (*) có hai nghiệm.

- Với 0<m+2<12<m<1thì d và (C) có ba điểm chung phương trình (*) có ba nghiệm.

Ví dụ 2. Cho hàm số y=x44x2+3 có đồ thị (C). Tìm m để phương trình x4+4x23m=0 (*) có 4 nghiệm phân biệt.

Lời giải

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Đồ thị (C)

Ta có: (*) x44x2+3=m

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: y=m.

Vậy để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thì d và (C) phải cắt nhau tại 4 điểm.

1<m<3

3<m<1

Vậy với 3<m<1 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 3. Cho hàm số y=fx=x42x2+2 có bảng biến thiên như sau

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Số giá trị nguyên dương của m để phương trình 2x44x2+m5=0 có đúng 2 nghiệm

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Lời giải

Ta có: PT đã cho:

x42x2=5m2x42x2+2=9m22

Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y=9m2

Do vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm  (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

9m2=19m2>2m=7m<5

Kết hợp:

m+m=1;2;3;4;7

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Câu 1. (Cho hàm số bậc bốn y=fx có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình fx=12

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

A. 2.

B. 4.

C. 1

D. 3.

Câu 2. Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f(x)=1 là:

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

A. 0.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Câu 3. Cho hàm số bậc ba y=fx có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Số nghiệm thực của phương trình fx=2 là:

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Câu 4. Cho hàm số y = f(x) xác định trên R\0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau.

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f(x)=m có ba nghiệm phân biệt.

A. [-1;2].

B. (-1;2).

C. (-1;2].

D. (- ;2].

Câu 5. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Số nghiệm thực của phương trình 2f(x)3=0 là:

A. 2.

B. 1.

C. 4.

D. 3.

Câu 6. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Số nghiệm thực của phương trình 3f(x)5=0 là:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 0

Câu 7. Cho hàm số y=x4+2x2 có đồ thị như hình bên.

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x4+2x2=m có bốn nghiệm thực phân biệt.

A. m > 0.

B. 0m1 .

C. 0<m<1 .

D. m<1.

Câu 8. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Tìm tất cả các giá trị m để phương trình f(sinx)=0 có nghiệm thực thuộc khoảng (0;π).

A. [-1;3).

B. (-1; 1).

C. (-1;3).

D. [-1;1).

Câu 9. Cho hàm số fx, hàm số y=f'x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên.

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bất phương trình fx<x+m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x0;2 khi và chỉ khi:

A. mf22

B. mf0

C. m>f22

D. m>f0 .

Câu 10. Cho hàm số f(x) , hàm số y = f’(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên.

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bất phương trình f(x)>x+m (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x(0;2) khi và chỉ khi:

A. mf22 .

B. m<f22 .

C. mf0.

D. m<f0.

Câu 11. Cho hàm số bậc ba y=fx có đồ thị như hình vẽ bên.

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Số nghiệm thực của phương trình fx33x=43

A. 3

B. 8

C. 7

D. 4

Câu 12. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Số nghiệm thực của phương trình |f(x33x)|=12 là:

A. 6.

B. 10.

C. 12.

D. 3.

Câu 13. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bất phương trình f(x)<ex+m đúng với mọi x(1;1) khi và chỉ khi

A. mf(1)e

B. m>f(1)1e

C. mf(1)1e

D. m>f(1)e

Câu 14 Cho hàm số f(x)=mx4+nx3+px2+qx+r(m,n,p,q,rR).

Hàm số f’(x) có đồ thị như hình vẽ.

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Tập nghiệm của phương trình f(x) = r có số phần tử là:

A. 4.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Câu 15. Cho hàm số bậc bốn y=fx có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình fx2f(x)+2=0

A. 8

B. 12

C. 6

D. 9

Câu 16. Cho hàm số y=fx có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Số nghiệm thực của phương trình fx2fx=2 là:

A. 6.

B. 12.

C. 8.

D. 9.

Đáp án

Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hàm số – Toán lớp 12 (ảnh 1)

1 11664 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: