Công thức logarit (2024) đầy đủ, chi tiết nhất

Công thức logarit đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lý thuyết Logarit

1. Logarit là gì?

Cho 2 số dương a, b với $a\ne 1$. Số x thỏa mãn đẳng thức $a^x=b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là ${\log }_{a}b$

2. Tính chất của Logarit

Với $a,b>0;a\ne 1$ ta có

$$\begin{gathered} {\log }_{a}1=0 \\ {\log }_{a}a=1 \\ {a}^{{\log }_{a}b}=b \\ {\log }_a{a}^{\alpha }=\alpha .{\log }_{a}a=\alpha \end{gathered}$$

Bảng tính chất của Logarit

II. Các quy tắc tính Logarit

1. Lôgarit của một tích

- Định lí 1: Với các số dương a, x, y và $a\ne 1$ ta có:

${\log }_a\left(x.y\right)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$

- Chú ý: Định lí 1 có thể mở rộng cho tích của n số dương:

$$\begin{gathered} {\log }_a\left(x_1.x_2\mathrm{...}{x}_n\right) \\ ={\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2+\mathrm{...}+{\log }_a{x}_n \\ \left(a,x_i,i=\overline{1,n}>0;a\ne 1\right) \end{gathered}$$

2. Lôgarit của một thương

- Định lí 2: Với các số dương a, x, y và $a\ne 1$ ta có:

${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$

3. Lôgarit của một lũy thừa

- Định lí 3: Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.

$$\begin{gathered} {\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha .{\log }_{a}b \\ \left(a,b>0;a\ne 1,\alpha \in ℝ\right) \end{gathered}$$

- Đặc biệt:

${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

III. Bảng công thức Logarit đầy đủ

1. Công thức Logarit cơ bản

2. Công thức lũy thừa Logarit

3. Công thức đạo hàm Logarit

4. Công thức đổi cơ số, lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên

- Cho 3 số dương a, b, c với $a\ne 1,c\ne 1$, ta có:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

- Đặc biệt:

$\left\{\begin{array}{l}{\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}\left(b\ne 1\right)\\ {\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b\left(\alpha \ne 0\right)\end{array}\right.$

- Lôgarit thập phân: Là lôgarit cơ số 10. Kí hiệu: ${\log }_{10}x=\log x$

- Lôgarit tự nhiên: Là lôgarit cơ số e. Kí hiệu: ${\log }_{e}x=\ln x$

- Chú ý: Tìm số các chữ số của một lũy thừa:

Bài toán: Số $a^{\alpha }$ có bao nhiêu chữ số?

Số các chữ số của $a^{\alpha }$ chính là $\left[\log a^{\alpha }\right]+1$ (phần nguyên $a^{\alpha }$ cộng 1)

- VD: Số $3^{20}$ có $\left[\log 3^{20}\right]+1=10$ chữ số.

IV. Các dạng bài tập về phương trình Logarit và cách giải

Dạng 1. Đưa về cùng cơ số

Xét phương trình cùng cơ số: log_af(x) = log_ag(x), 0 < a ≠ 1

Bước 1: Nêu điều kiện

Bước 2 Giải phương trình: log_af(x) = log_ag(x) ⇔ f(x) = g(x)

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

Ví dụ: Tập nghiệm của phương trình log₂(x² - 1) = log₂(2x) là

A. {1 + √2} . B. . {2; 41}.

C. {1 + √2; 1 - √2}. D.

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Điều kiện: Khi đó PT x² - 1 = 2x ⇔

Đối chiếu điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là

Dạng 2. Tìm tập nghiệm của phương trình Logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Xét phương trình: f[log_ag(x)] = 0 (0 < a ≠ 1)

Bước 1: Đặt điều kiện: g(x) > 0

Bước 2: Đặt t = log_ag(x)

Giải phương trình f(t) = 0, tìm t.

Bước 3: Thay vào phương trình: t = log_ag(x), tìm x.

Bước 4: Kết hợp với điều kiện và kết luận.

Ví dụ: Nếu đặt t = log₂x thì phương trình trở thành phương trình nào?

A. t² - 5t + 6 = 0 . B. t² + 5t + 6 = 0

C. t² - 6t + 5 = 0 D. t² + 6t + 5 = 0

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt t = log₂x

PT ⇔ ⇔ 1 + t + 2(5 - t) = (5 - t)(1 + t)

⇔ 11 - t = 5 +4t - t² ⇔ t² - 5t + 6 = 0

Dạng 3. Mũ hóa giải phương trình Logarit

Xét phương trình: log_ag(x) = f(x) (0 < a ≠ 1)

Bước 1: Đặt điều kiện g(x) > 0

Bước 2: Giải phương trình:

log_ag(x) = f(x) (0 < a ≠ 1) ⇔ g(x) = a^f(x)

Bước 3: Kết hợp với điều kiện, kết luận nghiệm.

Ví dụ: Phương trình log₂(3.2^x - 1) = 2x + 1 có bao nhiêu nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

[Phương pháp tự luận]

Điều kiện

(thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhập vào màn hình máy tính log₂(3X2^x - 1) - 2X - 1

Ấn SHIFT CALC nhập X=5, ấn =. Máy hiện X=0.

Ấn Alpha X Shift STO A

Ấn AC. Viết lại phương trình:

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 5 =. Máy hiện X=-1.

Ấn Alpha X Shift STO B.

Ấn AC. Viết lại phương trình:

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi B? Ấn =. Máy hỏi X? Ấn 1=

Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.

Dạng 4. Dùng đồ thị tìm tập nghiệm của phương trình Logarit

Giải phương trình: log_ax = f(x) (0 < a ≠ 1) (∗).

Xem phương trình (∗) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = log_ax (0 < a ≠ 1) và y = f(x). Khi đó ta thực hiện hai bước:

Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số y = log_ax (0 < a ≠ 1) và y = f(x)

Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

Ví dụ: Phương trình: ln(x² + x + 1) - ln(2x² + 1) = x² - x có tổng bình phương các nghiệm bằng:

A. 5 . B. 1 . C. 9 . D. 25 .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có ln(x² + x + 1) - ln(2x² + 1) = x² - x

⇔ ln(x² + x + 1) - ln(2x² + 1) = (2x² + 1) - (x² + x + 1)

⇔ ln(x² + x + 1) + (x² + x + 1) = ln(2x² + 1) + (2x² + 1)

Nhận xét: x² + x + 1 > 0,∀x ∈ R và 2x² + 1 > 0, ∀x ∈ R

Xét hàm số f(t) = lnt + t với t ∈ (0,+∞) .

Ta có , ∀t ∈ (0,+∞) nên hàm số f(t) = lnt + t đồng biến trên (0,+∞)

Do đó f(x² + x + 1) = f(2x² + 1) ⇔ x² + x + 1 ⇔ 2x² + 1 ⇔

Vậy tổng bình phương các nghiệm là 1 .

V. Các ví dụ minh họa

VD1. Tìm x biết

a. ${\log }_{2}x=3$

b. $3^x=4$

c. ${\log }_{3}x=4{\log }_{3}a+7{\log }_{3}b$

Lời giải:

VD2. Cho ${\log }_{2}5=a$. Tính ${\log }_{4}1250$ theo a.

Lời giải:

VD3. Cho ${\log }_{3}15=a$ và ${\log }_{3}10=b$. Tính ${\log }_{\sqrt{3}}50$ theo a và b.

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} {\log }_{\sqrt{3}}50={\log }_{3^{\frac{1}{2}}}50 \\ =2{\log }_3\left(5.10\right)=2{\log }_{3}5+2{\log }_{3}10 \end{gathered}$$

Ta thấy:

$$\begin{gathered} {\log }_{3}15=a\iff 1+{\log }_{3}5=a \\ \Rightarrow {\log }_{3}5=a-1 \end{gathered}$$

Thay lại ta được:

$$\begin{gathered} {\log }_{\sqrt{3}}50=2\left(a-1\right)+2b \\ \iff {\log }_{\sqrt{3}}50=2a+2b-2 \end{gathered}$$

VD4. Cho $a={\log }_{2}3$, $b={\log }_{3}5$, $c={\log }_{7}2$. Tính ${\log }_{140}63$ theo a, b, c

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} {\log }_{140}63=\frac{{\log }_{7}63}{{\log }_{7}140} \\ =\frac{{\log }_7{3}^2.7}{{\log }_7{2}^2\mathrm{.5.7}}=\frac{1+2{\log }_{7}3}{1+2{\log }_{7}2+{\log }_{7}5} \end{gathered}$$

+) ${\log }_{7}3={\log }_{2}3.{\log }_{7}2=a.c$

+) ${\log }_{7}5={\log }_{3}5.{\log }_{7}3=b.a.c$

Thay vào ta được:

${\log }_{140}63=\frac{1+2ac}{1+2c+abc}$

VI. Bài tập vận dụng

Bài 1. Tính

a. ${\log }_2\frac{1}{8}$

b. ${\log }_{\frac{1}{4}}2$

c. ${\log }_3\sqrt[4]{3}$

Bài 2. Tính

a. $4^{{\log }_{2}5}$

b. ${27}^{-{\log }_{9}2}$

c. $9^{{\log }_{\sqrt{3}}2}$

Bài 3. Tính

a. $A=\frac{1}{2}{\log }_{7}36-{\log }_{7}14-3{\log }_7\sqrt[3]{21}$

b. $B=\frac{{\log }_{2}24-\frac{1}{2}{\log }_{2}72}{{\log }_{3}18-\frac{1}{3}{\log }_{3}72}$

Bài 4. Tìm x biết

a. ${\log }_{5}x=2{\log }_{5}a-3{\log }_{5}b$$\left(a,b>0\right)$

b. ${\log }_{\frac{1}{2}}x=\frac{2}{3}{\log }_{\frac{1}{2}}a-\frac{1}{5}{\log }_{\frac{1}{2}}b$$\left(a,b>0\right)$

Bài 5. So sánh các cặp số sau

a. ${\log }_{3}5$ và ${\log }_{7}4$

b. ${\log }_{2}10$ và ${\log }_{5}30$

Bài 6.

a. ${\log }_{2}5=a$ và ${\log }_{3}5=b$. Tính ${\log }_{6}5$ theo a và b

b. Cho ${\log }_{2}3=a$; ${\log }_{5}3=b$. Hãy biểu diễn ${\log }_{6}45$ theo a và b.